《《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)之二2.函數(shù)的極限》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)之二2.函數(shù)的極限（19頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第 一 章 (2)自 變 量 趨 于 有 限 值 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限第 二 節(jié) 極 限,)(xfy對 0)1( xx 0)2( xx 0)3( xx x)4( x)5( x)6(自 變 量 變 化 過 程 的 六 種 形 式 :(1)自 變 量 趨 于 無 窮 大 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限本 節(jié) 內(nèi) 容 : 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二 、 函 數(shù) 的 極 限 XX AA o xy )(xfyA（ 1） 自 變 量 趨 于 無 窮 大 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限定 義 4 設(shè) 函 數(shù) xxf 當(dāng))( 大 于 某 一 正 數(shù) 時(shí) 有 定 義 , 若,0X ,)(, AxfX
2、x 有時(shí)當(dāng) 則 稱 常 數(shù)時(shí) 的 極 限 ,Axfx )(lim )()( xAxf 當(dāng)或幾 何解 釋 : AxfA )(XxXx 或 記 作直 線 y = A 為 曲 線 )(xfy 的 水 平 漸 近 線,0 xxf 當(dāng))( 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 A 為 函 數(shù)1. 函 數(shù) 極 限 的 定 義 如 . 證 明 .01lim xx證 : 01x x1取 ,1X ,時(shí)當(dāng) Xx 01x因 此 01lim xx注 : 就 有故 ,0 欲 使 ,01 x 即 ,1x 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .10 的 水 平 漸 近 線為 xyy o xy xy 1
3、 x1x11 oy xxxgxxf 11)(,1)( 直 線 y = A 仍 是 曲 線 y = f (x) 的 漸 近 線 .兩 種 特 殊 情 況 :Axfx )(lim ,0 ,0X 當(dāng) Xx 時(shí) , 有Axf )(Axfx )(lim ,0 ,0X 當(dāng) Xx 時(shí) , 有Axf )(幾 何 意 義 :例 如 ， 都 有 水 平 漸 近 線 ;0y xx xgxf 21)(,21)( 都 有 水 平 漸 近 線 .1y又 如 ， o xy x21x21機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 38. 證 明 .0sinlim xxx證 : 0sin xx ,1x取 ,1X ,時(shí)當(dāng)
4、 Xx 0sinx因 此 0sinlim xxx注 : 就 有故 ,0 欲 使 ,0sin xx 即 ,1x機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .sin0的水平漸近線為xxyy Axf )( 先 放 大 式 子 例 39. 證 明 .0elim xx證 : 0e x ,ex取 正 數(shù) ,lnX ,時(shí)則當(dāng)Xx 0e x因 此 0elim xx思 考 : 就 有故 ,)1(0 欲 使 ,)( Axf只 要 ,e x 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ?elim?elim的極限存在嗎的極限存在嗎xxxx Axf )( 即 ,lnx （ 2） 自 變 量 趨 于 有 限 值
5、時(shí) 函 數(shù) 的 極 限1. 0 xx 時(shí) 函 數(shù) 極 限 的 定 義引 例 . 測 量 正 方 形 面 積 . 面 積 為 A )邊 長 為(真 值 : ;0 x邊 長面 積 2x直 接 觀 測 值間 接 觀 測 值 任 給 精 度 , 要 求 Ax2確 定 直 接 觀 測 值 精 度 : 0 xx 0 xAx 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 義 5 設(shè) 函 數(shù) )(xf 在 點(diǎn) 0 x 的 某 去 心 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ,0 ,0 當(dāng) 00 xx 時(shí) , 有 Axf )(則 稱 常 數(shù) A 為 函 數(shù) )(xf 當(dāng) 0 xx 時(shí) 的 極 限 ,Axfxx )(lim
6、0 或 )()( 0 xxAxf 當(dāng)即 ,0 ,0 當(dāng) ),( 0 xx 時(shí) , 有若 記 作Axf )(Axfxx )(lim0幾 何 解 釋 : 0 x0 xA A A x0 xy )(xfy 極 限 存 在 函 數(shù) 局 部 有 界這 表 明 : 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 . 證 明 )(lim0 為 常 數(shù)CCCxx 證 : Axf )( CC 0故 ,0 對 任 意 的 ,0當(dāng) 00 xx 時(shí) , 0CC因 此 CCxx 0lim總 有 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 40. 證 明 5)12(lim1 xx證 : Axf )( 5)12(
7、 x 22 x欲 使,0取 ,2 則 當(dāng) 10 x 時(shí) , 必 有 1)12()( xAxf因 此 ,)( Axf 只 要 ,22 x 1)12(lim1 xx 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,22 x 即 例 41. 證 明 424lim 21 xxx證 : Axf )( 4242 xx 4)2( x故 ,0 取 , 當(dāng) 20 x 時(shí) , 必 有 2211 2 xxx因 此 211lim 21 xxx 2 x 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 練 習(xí) 證 明 211lim 21 xxx證 : Axf )( 2112 xx 21 x故 ,0 取 , 當(dāng) 10 x
8、 時(shí) , 必 有 2112xx因 此 211lim 21 xxx 1 x 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 (3) 左 極 限 與 右 極 限左 極 限 : )( 0 xf Axfxx )(lim0,0 ,0 當(dāng) ),( 00 xxx 時(shí) , 有 .)( Axf右 極 限 : )( 0 xf Axfxx )(lim0,0 ,0 當(dāng) ),( 00 xxx時(shí) , 有 .)( Axf定 理 3 . Axfxx )(lim 0 Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 42. 設(shè) 函 數(shù) 0,2 0,0 0,12)( xx xx
9、xxf討 論 0 x 時(shí) )(xf 的 極 限 是 否 存 在 . xyo 112 xy 2 2xy解 因 為 )(lim0 xfx )12(lim0 xx 1)(lim0 xfx )2(lim0 xx 2顯 然 ,)0()0( ff 所 以 )(lim0 xfx 不 存 在 . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 43. 設(shè) 函 數(shù) 0,2 0,0 0,2)( 2 xx xxaxxf當(dāng) 0 x 時(shí) )(xf 的 極 限 存 在 ， 求 常 數(shù) a . 解 因 為 )(lim0 xfx )2(lim0 axx ,a)(lim0 xfx )2(lim 20 xx .2因 為 當(dāng)
10、,)(0的極限存在時(shí)xfx所 以 由 極 限 存 在 的 充 要 條 件 有)(lim)(lim 00 xfxf xx 即 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .2a 定 理 4(唯 一 性 ) .,)(lim0則極限值唯一存在若xfxx證 : 已 知 ,)(lim0 Axfxx ,),( 0 x則有 AAxfxf )()( ,1取,),( 0時(shí)當(dāng)xx 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 定 理 5(局 部 有 界 )則存在某一個(gè)存在若,)(lim0 xfxx .),()(,),( 00上有界在使得某一去心鄰域 xxfx AAxf )(
11、 .1 A 定 理 6 若 ,)(lim0 Axfxx 且 A 0 ,),( 0 時(shí)使 當(dāng) xx .0)( xf )0)( xf證 : 已 知 ,)(lim0 Axfxx 即 ,0 ,),( 0 x 當(dāng)時(shí) , 有 .)( AxfA當(dāng) A 0 時(shí) , 取 正 數(shù) ,A則 在 對 應(yīng) 的 鄰 域 上.0)( xf( 0) )( A 則 存 在( A 0 ) ),( 0 x),( 0 xx ),( 0 x 0 x0 xA A A x0 xy )(xfy)0( 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 推 論 若 在 0 x 的 某 去 心 鄰 域 內(nèi) 0)( xf )0)( xf , 且 ,)
12、(lim0 Axfxx 則 .0A )0( A證 : 用 反 證 法 . 則 由 定 理 1, 0 x 的 某 去 心 鄰 域 , 使 在 該 鄰 域 內(nèi) ,0)( xf 與 已 知所 以 假 設(shè) 不 真 , .0A(同 樣 可 證 0)( xf 的 情 形 )思 考 : 若 定 理 2 中 的 條 件 改 為 ,0)( xf 是 否 必 有 ?0A不 能 ! 0lim 20 xx存 在 如 假 設(shè) A 0 , 條 件 矛 盾 , 故 時(shí) ,當(dāng) 0)( xf 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 函 數(shù) 極 限 的 或 X 定 義 及 應(yīng) 用2. 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) :保 號 性 定 理與 左 右 極 限 等 價(jià) 定 理思 考 與 練 習(xí)1. 若 極 限 )(lim0 xfxx 存 在 , )()(lim 00 xfxfxx 2. 設(shè) 函 數(shù) )(xf 且 )(lim1 xfx 存 在 , 則. a 3 是 否 一 定 有 第 四 節(jié) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1,12 1,2 xx xxa ？
《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)之二2.函數(shù)的極限
