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1、 第一章 （二） 無窮大 （三）無窮小與無窮大的關(guān)系 （一） 無窮小 第 二 節(jié) 極 限 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三 、 無 窮 小 與 無 窮 大 當(dāng)（一） 無窮小定義6 若0 xx時 , 函數(shù),0)( xf則稱函數(shù))(xf0 xx例如 : ,0)1(lim1 xx函數(shù) 1x當(dāng)1x時為無窮小;,01lim xx函數(shù) x1 x時為無窮小;,011lim xx函數(shù) x11當(dāng)x)x(或為時的無窮小 .時為無窮小.)x(或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義6 )(xf設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|X0時有定義），如果對于任意給定的正數(shù)有 0,總存在正數(shù)d (或
2、正數(shù)X)，使得對于滿足不等式 0|x|X)的一切x,都有不等式則稱f(x)當(dāng)0 xx成立，.)0)(lim(0)(lim 0 xfxf xx 或時為無窮小量，,1sinlim,0sinlim 20 xx xx 但因此不能說“sinx是無窮小”,0 x )x(或時為無窮小. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 簡稱為無窮小量。記作而要說：sinx當(dāng) 說明: 除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 ! 因為0)(lim0 xfxx ,0 ,0d當(dāng)d 00 xx時, 0)(xf顯然 C 只能是 0 !C C0 xx時 , 函數(shù),0)( xf(或 )x則稱函數(shù))(xf為0 xx定義6. 若(或 )x則
3、時的無窮小 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時, 有 ,min 21 ddd 無窮小的性質(zhì)(運算法則)性質(zhì)1. 有限個無窮小的和還是無窮小 .證: 考慮兩個無窮小的和 .設(shè),0lim0 xx ,0lim0 xx,0 ,01 d當(dāng)100 d xx時 , 有2 ,02 d當(dāng)200 d xx時 , 有2 取則當(dāng)d 00 xx 22 因此.0)(lim0 xx這說明當(dāng)0 xx時, 為無窮小量 . 說明: 無限個無窮小之和不一定是無窮小 !例如， nnnnnn 222 1211lim 1類似可證: 有限個無窮小之和仍為無窮小 . 性質(zhì)2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證: 設(shè),),(
4、10 dxx Mu 又設(shè),0lim0 xx即,0 ,02 d當(dāng)),( 20 dxx 時, 有M 取 ,min 21 ddd 則當(dāng)),( 0 dxx 時 , 就有u u MM故,0lim0 uxx即u是0 xx時的無窮小 .推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小 . oy x例44. 求.sinlim x xx 解: 1sin x 01lim xx利用性質(zhì)2 可知.0sinlim x xx x xy sin說明 : y = 0 是x xy sin的漸近線 . 其中 為0 xx時的無窮小量 . 定理 7 ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )Axfxx )(l
5、im0 Axf )( ,證: Axfxx )(lim0 ,0,0 d當(dāng)d 00 xx時,有 Axf )(Axf )( 0lim 0 xx對自變量的其它變化過程類似可證 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Mxf )(（二） 無窮大定義2 . 若任給 M 0 , 0dd 00 xx一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù))(xf當(dāng)0 xx時為無窮大, 使對.)(lim0 xfxx若在定義中將 式改為Mxf )(則記作 )(lim )( 0 xfx xx )(lim( )( 0 xfx xx )( Xx )( x )(lim( xfx (正數(shù) X ) ,記作,)( Mxf 總存在 機動 目錄 上頁
6、 下頁 返回 結(jié)束 注意:1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !例如, 函數(shù)),(,cos)( xxxxf )2( nf )( n當(dāng)n2但0)(2 nf所以x時 , )(xf不是無窮大 ! o xy xxy cos機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 證明 11lim1xx證: 任給正數(shù) M ,要使,11 Mx 即,11 Mx 只要取,1Md則對滿足d 10 x的一切 x , 有Mx 11所以.11lim1 xx 11 xy若 ,)(lim0 xfxx則直線0 xx 為曲線)(xfy 的鉛直漸近線 .漸近線1一般地: xyo 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （三）無窮小與無窮大的關(guān)系若)(xf為無窮大, )(1xf為無窮小 ;若)(xf為無窮小, 且,0)( xf則)(1xf為無窮大.則據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.定理8 在自變量的同一變化過程中,說明: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 無窮小與無窮大的定義3. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系Th74. 無窮小與無窮大的關(guān)系Th8 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 無窮小的性質(zhì)
《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)之三3.無窮小無窮大
