《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課后習(xí)題與答案

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案 習(xí)題 一 1．略.見教材習(xí)題參考答案. 2.設(shè)A，B，C為三個事件，試用A，B，C的運算關(guān)系式表示下列事件： （1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2） A與B發(fā)生，C不發(fā)生； （3） A，B，C都發(fā)生； （4） A，B，C至少有一個發(fā)生； （5） A，B，C都不發(fā)生； （6） A，B，C不都發(fā)生； （7） A，B，C至多有2個發(fā)生； （8） A，B，C至少有2個發(fā)生. 【解】（1） A （2） AB （3） ABC （4） A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC= (5) = (6) (7)

2、 BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪ (8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC 3.略.見教材習(xí)題參考答案 4.設(shè)A，B為隨機事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）. 【解】 P（）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.設(shè)A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 當(dāng)AB=A時，P（AB）取到最大值為0.6. （2） 當(dāng)A∪B=Ω時，P（AB）取到最小值為

3、0.3. 6.設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率. 【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =++-= 7.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？ 【解】 p= 8.對一個五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題： （1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五個人的生日不都在星期日的概率.

4、 【解】（1） 設(shè)A1={五個人的生日都在星期日}，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個，故 P（A1）==（）5 （亦可用獨立性求解，下同） （2） 設(shè)A2={五個人生日都不在星期日}，有利事件數(shù)為65，故 P（A2）==()5 (3) 設(shè)A3={五個人的生日不都在星期日} P（A3）=1-P(A1)=1-()5 9.略.見教材習(xí)題參考答案. 10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機地取出n件（n

5、3） n件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P（A）= (2) 由于是無放回逐件取出，可用排列法計算.樣本點總數(shù)有種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有種，從N-M件次品中取n-m件的排列數(shù)為種，故 P（A）= 由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成 P（A）= 可以看出，用第二種方法簡便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種，對于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，n-m次取

6、得次品，每次都有N-M種取法，共有（N-M）n-m種取法，故 此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為 11.略.見教材習(xí)題參考答案. 12. 50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3個鉚釘強度太弱.每個部件用3只鉚釘.若將3只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱.求發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？ 【解】設(shè)A={發(fā)生一個部件強度太弱} 13.一個袋內(nèi)裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率. 【解】 設(shè)Ai={恰有i個白球}（i=2,3）

7、，顯然A2與A3互斥. 故 14.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機取一粒，求： （1） 兩粒都發(fā)芽的概率； （2） 至少有一粒發(fā)芽的概率； （3） 恰有一粒發(fā)芽的概率. 【解】設(shè)Ai={第i批種子中的一粒發(fā)芽}，（i=1,2） (1) (2) (3) 15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止. （1） 問正好在第6次停止的概率； （2） 問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率. 【解】（1） (2) 16.甲、乙兩個籃球運動員，投籃

8、命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率. 【解】 設(shè)Ai={甲進(jìn)i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙進(jìn)i球},i=0,1,2,3,則 =0.32076 17．從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率. 【解】 18.某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求： （1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率. 【解】 設(shè)A={下雨}，B={下雪}. （

9、1） （2） 19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）. 【解】 設(shè)A={其中一個為女孩}，B={至少有一個男孩}，樣本點總數(shù)為23=8，故 或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數(shù)為7. 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）. 【解】 設(shè)A={此人是男人}，B={此人是色盲}，則由貝葉斯公式 21.兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會面，求一人要等另一人半小

10、時以上的概率. 題21圖 題22圖 【解】設(shè)兩人到達(dá)時刻為x,y,則0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小時以上”等價于|x-y|>30.如圖陰影部分所示. 22.從（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，求： （1） 兩個數(shù)之和小于的概率； （2） 兩個數(shù)之積小于的概率. 【解】 設(shè)兩數(shù)為x,y，則0

11、 24.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率. 【解】 設(shè)Ai={第一次取出的3個球中有i個新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均為新球} 由全概率公式，有 25. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問： （1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)

12、習(xí)的人？ （2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？ 【解】設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的}，則={被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的}.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知 （1） 即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702% (2) 即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%. 26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.

13、信息A與B傳遞的頻繁程度為2∶1.若接收站收到的信息是A，試問原發(fā)信息是A的概率是多少？ 【解】 設(shè)A={原發(fā)信息是A}，則={原發(fā)信息是B} C={收到信息是A}，則={收到信息是B} 由貝葉斯公式，得 27.在已有兩個球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球為白球，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種） 【解】設(shè)Ai={箱中原有i個白球}（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（Ai）=,i=0,1,2.又設(shè)B={抽出一球為白球}.由貝葉斯公式知 28.某工廠生

14、產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02，一個次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率. 【解】 設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品}，B={產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品} 由貝葉斯公式得 29.某保險公司把被保險人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹(jǐn)慎的”被保險人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？

15、 【解】 設(shè)A={該客戶是“謹(jǐn)慎的”}，B={該客戶是“一般的”}， C={該客戶是“冒失的”}，D={該客戶在一年內(nèi)出了事故} 則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的次品率. 【解】設(shè)Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）. 31.設(shè)每次射擊的

16、命中率為0.2，問至少必須進(jìn)行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9? 【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨立射擊. 即為 故 n≥11 至少必須進(jìn)行11次獨立射擊. 32.證明：若P（A｜B）=P(A｜)，則A，B相互獨立. 【證】 即 亦即 因此 故A與B相互獨立. 33.三人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為，，，求將此密碼破譯出的概率. 【

17、解】 設(shè)Ai={第i人能破譯}（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率. 【解】設(shè)A={飛機被擊落}，Bi={恰有i人擊中飛機}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 =(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+ (0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40

18、.50.7 =0.458 35.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用，且規(guī)定若10個病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無效，求： （1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗被否定的概率. （2） 新藥完全無效，但通過試驗被認(rèn)為有效的概率. 【解】（1） (2) 36.一架升降機開始時有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率： （1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開”； （2） B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”； （3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開”； （4）

19、 D=“至少有兩位乘客在同一層離開”. 【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種. （1） ，也可由6重貝努里模型： （2） 6個人在十層中任意六層離開，故 （3） 由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；②4人同時離開，有種可能結(jié)果；③4個人都不在同一層離開，有種可能結(jié)果，故 （4） D=.故 37. n個朋友隨機地圍繞圓

20、桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率； （3） 如果n個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率. 【解】 （1） (2) (3) 38.將線段[0，a]任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率 【解】 設(shè)這三段長分別為x,y,a-x-y.則基本事件集為由 0

21、開k次（k=1,2,…,n）才能把門打開的概率與k無關(guān). 【證】 40.把一個表面涂有顏色的立方體等分為一千個小立方體，在這些小立方體中，隨機地取出一個，試求它有i面涂有顏色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）. 【解】 設(shè)Ai={小立方體有i面涂有顏色}，i=0,1,2,3. 在1千個小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方體共有8個.只有位于原立方體的棱上（除去八個角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有128=96個.同理，原立方體的六個面上（除去棱）的小立方體是一面涂色的，共有886=384個

22、.其余1000-（8+96+384）=512個內(nèi)部的小立方體是無色的，故所求概率為 , . 41.對任意的隨機事件A，B，C，試證 P（AB）+P（AC）-P（BC）≤P(A). 【證】 42.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率. 【解】 設(shè)={杯中球的最大個數(shù)為i},i=1,2,3. 將3個球隨機放入4個杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個數(shù)為1時，每個杯中最多放一球，故

23、 而杯中球的最大個數(shù)為3，即三個球全放入一個杯中，故 因此 或 43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率. 【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)}，C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)}，A，B，C兩兩互斥. 可用對稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故P（A）=P（B）.所以 由2n重貝努里試驗中正面出現(xiàn)n次的概率為 故 44.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次

24、數(shù)的概率. 【解】設(shè)A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)}，由對稱性知P（A）=P（B） （1） 當(dāng)n為奇數(shù)時，正、反面次數(shù)不會相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5 (2) 當(dāng)n為偶數(shù)時，由上題知 45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率. 【解】 令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù). 乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù). 顯然有 =（甲正≤乙正）=（n+1-甲反≤n-乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反） 由對稱性知P（甲正>乙正）=P（甲反>

25、乙反） 因此P(甲正>乙正)= 46.證明“確定的原則”（Sure-thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，則P（A）≥P(B). 【證】由P（A|C）≥P(B|C),得 即有 同理由 得 故 47.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(k≥n)個旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個旅客的概率. 【解】 設(shè)Ai={第i節(jié)車廂是空的}，（i=1,…,n）,則 其中i1

26、,i2,…,in-1是1，2，…，n中的任n-1個. 顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是 故所求概率為 48.設(shè)隨機試驗中，某一事件A出現(xiàn)的概率為ε>0.試證明：不論ε>0如何小，只要不斷地獨立地重復(fù)做此試驗，則A遲早會出現(xiàn)的概率為1. 【證】 在前n次試驗中，A至少出現(xiàn)一次的概率為 49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？ 【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國徽} B={這只硬幣為正品} 由題知

27、 則由貝葉斯公式知 50.巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？ 【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2n-r次，設(shè)n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2n-r次火柴視作2n-r重貝努里試驗，則所求概

28、率為 式中2反映B1與B2盒的對稱性（即也可以是B2盒先取空）. （2） 前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率為 51.求n重貝努里試驗中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率. 【解】 設(shè)在一次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.則由 以上兩式相減得所求概率為 若要求在n重貝努里試驗中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得 . 52.設(shè)A，B是任意兩個隨機事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值. 【解】因為（A∪B）∩（∪）=A∪B （∪B）∩（A∪）=AB∪ 所求

29、  故所求值為0. 53.設(shè)兩兩相互獨立的三事件，A，B和C滿足條件： ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【解】由 故或,按題設(shè)P（A）<,故P（A）=. 54.設(shè)兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）. 【解】

30、 ① ② 故 故 ③ 由A,B的獨立性，及①、③式有 故 故 或（舍去） 即P（A）=. 55.隨機地向半圓0

31、積成正比，則原點和該點的連線與x軸的夾角小于π/4的概率為多少？ 【解】利用幾何概率來求，圖中半圓面積為πa2.陰影部分面積為 故所求概率為 56.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 【解】 設(shè)A={兩件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品} 57.設(shè)有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份.隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p； （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到

32、的一份是女生表的概率q. 【解】設(shè)Ai={報名表是取自第i區(qū)的考生}，i=1,2,3. Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2. 則 (1) (2) 而 故 58. 設(shè)A，B為隨機事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小. (2006研考) 解：因為 所以

33、 . 習(xí)題二 1.一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律. 【解】 故所求分布律為 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數(shù)，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函數(shù)并作圖； (3) . 【解】 故X的分布律為 X 0 1 2 P （2） 當(dāng)

34、x<0時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0 當(dāng)0≤x<1時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 當(dāng)1≤x<2時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 當(dāng)x≥2時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函數(shù) (3) 3.射手向目標(biāo)獨立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率. 【解】 設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3. 故X的分布律為 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函數(shù) 4.（1） 設(shè)

35、隨機變量X的分布律為 P{X=k}=， 其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a. （2） 設(shè)隨機變量X的分布律為 P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 試確定常數(shù)a. 【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知 故 (2) 由分布律的性質(zhì)知 即 . 5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 兩人投中次數(shù)相等的概率; （2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率. 【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)

36、，則X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) + (2) =0.243 6.設(shè)某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)？ 【解】設(shè)X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù)，則X~b(200,0.02)，設(shè)機場需配備N條跑道，則有 即

37、 利用泊松近似 查表得N≥9.故機場至少應(yīng)配備9條跑道. 7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，0.0001） 8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】設(shè)在每次試驗中成功的概率為p，則 故

38、 所以 . 9.設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號， （1） 進(jìn)行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率； （2） 進(jìn)行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率. 【解】（1） 設(shè)X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，0.3） (2) 令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，0.3） 10.某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔起點無關(guān)（時間以小時計）.

39、（1） 求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率. 【解】（1） (2) 11.設(shè)P{X=k}=, k=0,1,2 P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4 分別為隨機變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}. 【解】因為，故. 而 故得 即 從而 12.某教科書出版了

40、2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率. 【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計算, 得 13.進(jìn)行某種試驗，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率. 【解】 14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償

41、金.求： （1） 保險公司虧本的概率; （2） 保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”為單位來考慮. （1） 在1月1日，保險公司總收入為250012=30000元. 設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為 由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有 (2) P(保險公司獲利不少于10000) 即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上 P（保險公司獲利不少于20000） 即保險公司獲利不少于

42、20000元的概率約為62% 15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為 f(x)=Ae-|x|, -∞

43、子管損壞的概率； （3） F（x）. 【解】 （1） (2) (3) 當(dāng)x<100時F（x）=0 當(dāng)x≥100時 故 17.在區(qū)間［0，a］上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這質(zhì)點的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù). 【解】 由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為 故當(dāng)x<0時F（x）=0 當(dāng)0≤x≤a時 當(dāng)x>a時，F(xiàn)（x）=1 即分布函數(shù) 18.設(shè)隨機變量X在[2，5]上

44、服從均勻分布.現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即 故所求概率為 19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分鐘計）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依題意知，即其密度函數(shù)為 該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為 ,即其分布律為 20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從

45、N（50，42）. （1） 若動身時離火車開車只有1小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？ （2） 又若離火車開車時間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？ 【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則 若走第二條路，X~N（50，42），則 ++ 故走第二條路乘上火車的把握大些. （2） 若X~N（40，102），則 若X~N（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些. 21.設(shè)X~N（3，22）， （1） 求P{2

46、3}; （2） 確定c使P{X＞c}=P{X≤c}. 【解】（1） (2) c=3 22.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）X~N（10.05,0.062）,規(guī)定長度在10.050.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率. 【解】 23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（小時）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}

47、≥0.8，允許σ最大不超過多少？ 【解】 故 24.設(shè)隨機變量X分布函數(shù)為 F（x）= （1） 求常數(shù)A，B； （2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）. 【解】（1）由得 （2） (3) 25.設(shè)隨機變量X的概率密度為 f（x）= 求X的分布函數(shù)F（x），并畫出f（x）及F（x）. 【解】當(dāng)x<0時F（x）=0 當(dāng)0≤x<1時 當(dāng)1≤x<2時

48、 當(dāng)x≥2時 故 26.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 （1） f(x)=ae-l|x|,λ>0; (2) f(x)= 試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）. 【解】（1） 由知 故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x≤0時 當(dāng)x>0時 故其分布函數(shù) (2) 由 得 b=1 即X的密度函數(shù)為 當(dāng)x≤0時F（x）

49、=0 當(dāng)0

50、 28.設(shè)隨機變量X的分布律為 X -2 -1 0 1 3 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律. 【解】Y可取的值為0，1，4，9 故Y的分布律為 Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 29.設(shè)P{X=k}=()k, k=1,2,…,令 求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律. 【解】 30.設(shè)X~N

51、（0，1）. （1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度. 【解】（1） 當(dāng)y≤0時， 當(dāng)y>0時， 故 (2) 當(dāng)y≤1時 當(dāng)y>1時 故 (3) 當(dāng)y≤0時 當(dāng)y>0時 故 31.設(shè)隨機變量X~U（0,1），試求： （1） Y=eX的分布函數(shù)及密度

52、函數(shù)； （2） Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù). 【解】（1） 故 當(dāng)時 當(dāng)10時， 即分布函數(shù) 故Z的密度函數(shù)為 32.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 f(x)= 試求Y=sinX的密度函數(shù). 【解】 當(dāng)y≤0時， 當(dāng)0

53、 當(dāng)y≥1時， 故Y的密度函數(shù)為 33.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)如下： 試填上(1),(2),(3)項. 【解】由知②填1。 由右連續(xù)性知，故①為0。 從而③亦為0。即 34.同時擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止，求拋擲次數(shù)X的分布律. 【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨立。再設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點}。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。 35.隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?

54、 【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字，則 X~b(n,0.1) 即 得 n≥22 即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。 36.已知 F（x）= 則F（x）是（ ）隨機變量的分布函數(shù). （A） 連續(xù)型； （B）離散型； （C） 非連續(xù)亦非離散型. 【解】因為F（x）在（-∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且 ,所以F（x）是一個分布函數(shù)。 但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的

55、分布函數(shù)。選（C） 37.設(shè)在區(qū)間[a,b]上，隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間 [a,b]等于（ ） (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [-π/2,0]; (D) [0,]. 【解】在上sinx≥0，且.故f(x)是密度函數(shù)。 在上.故f(x)不是密度函數(shù)。 在上，故f(x)不是密度函數(shù)。 在上，當(dāng)時，sinx<0，f(x)也不是密度函數(shù)。 故選（A）。 38.設(shè)隨機變量X~N（0，

56、σ2），問：當(dāng)σ取何值時，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？ 【解】因為 利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點且惟一。 故當(dāng)時X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。 39.設(shè)在一段時間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P（λ），每個顧客購買某種物品的概率為p，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進(jìn)入商店的顧客購買這種物品的人

57、數(shù)Y的分布律. 【解】 設(shè)購買某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即 由全概率公式有 此題說明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀. 40.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1-e-2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為 由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0

58、度函數(shù)為 即Y~U（0，1） 41.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 f(x)= 若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考) 【解】由P（X≥k）=知P（X6,則P（X

59、 （1991研考） 【解】由離散型隨機變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為 X -1 1 3 P 0.4 0.4 0.2 43.設(shè)三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率. 【解】令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則 X~b(3,p) 由P（X≥1）=知P（X=0）=（1-p）3= 故p= 44.若隨機變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？ 【解】 45.若隨機變量X~N（2，σ2），且P

60、{2

61、進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則 ={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠} 由題意知B=∪AB，且 令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù)，則X~6（n，0.94）, 故 47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率. 【解】設(shè)X為考生的外語成績，則X~N（72，σ2） 故 查表知 ,即σ=12 從而X~N（72，122）

62、 故 48.在電源電壓不超過200V、200V~240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求： （1） 該電子元件損壞的概率α; (2) 該電子元件損壞時，電源電壓在200~240V的概率β 【解】設(shè)A1={電壓不超過200V}，A2={電壓在200~240V}， A3={電壓超過240V}，B={元件損壞}。 由X~N（220，252）知

63、 由全概率公式有 由貝葉斯公式有 49.設(shè)隨機變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】 因為P（1

64、eX的密度函數(shù)fY(y). (1995研考) 【解】P（Y≥1）=1 當(dāng)y≤1時， 當(dāng)y>1時， 即 故 51.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 fX(x)=, 求Y=1-的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為λt

65、的泊松分布. （1） 求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布； （2） 求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時的情形下，再無故障運行8小時的概率Q.（1993研考） 【解】（1） 當(dāng)t<0時， 當(dāng)t≥0時，事件{T>t}與{N(t)=0}等價，有 即 即間隔時間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。 （2） 53.設(shè)隨機變量X的絕對值不大于1，P{X=-1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{-1

66、 (1997研考) 【解】顯然當(dāng)x<-1時F（x）=0；而x≥1時F（x）=1 由題知 當(dāng)-1P{|Y-μ2|<1}，試比較σ1與σ2的大小. (2006研考) 解： 依題意 ，，則 ， . 因為，即 ， 所以有 ，即. 習(xí)題三 1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律. 【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表： X Y 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取