高考數(shù)學(xué)總復(fù)習 第二章第12課時 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與定積分課時闖關(guān)（含解析）

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1、 一、選擇題 1．(2011·高考湖南卷)由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為(　　) A. B．1 C. D. 解析：選D.根據(jù)定積分的定義，所圍成的封閉圖形的面積為 cosxdx＝sinx＝sin－sin＝. 2．用邊長為48 cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒．所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為(　　) A．6 cm　　　　　　　　 B．8 cm C．10 cm D．12 cm 解析：選B.設(shè)剪去的小正方形邊長為x cm，則V＝x·(4

2、8－2x)2＝4x(24－x)2，∴V′(x)＝4(24－x)2＋8x(24－x)(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.故選B. 3．函數(shù)f(x)＝ex(sinx＋cosx)在區(qū)間[0，]上的值域為(　　) A．[，e] B．(，e) C．[1，e] D．(1，e) 解析：選A.f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx， 當0≤x≤時，f′(x)≥0，∴f(x)是[0，]上的增函數(shù)． ∴f(x)的最大值為f()＝e， f(x)的最小值為f(0)＝. 4．(2012·蘭州調(diào)研)函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，

3、則a的取值范圍為(　　) A．0≤a<1 B．0

4、0， ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b. ∴，即. 解得a＝0，b＝－4， ∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4. 令f′(x)＝0，得x＝±∈[－2,2]， ∴極值點有兩個． ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)max＋f(x)min＝0. ∴①③正確，故選C. 二、填空題 6．函數(shù)f(x)＝x2－lnx在[1，e]上的最大值為________． 解析：∵f′(x)＝x－，∴當x∈(1，e)時，f′(x)＞0，∴f(x)在[1，e]上是增函數(shù)，故f(x)min＝f(1)＝. 答案： 7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在區(qū)間[－2，－1]上的最大值就是函數(shù)f(x

5、)的極大值，則m的取值范圍是________． 解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，則x＝，由題設(shè)得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]． 答案：[－4，－2] 8．已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1對x∈(0,1]總有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當x∈(0,1]時不等式ax3－3x＋1≥0可化為 a≥， 設(shè)g(x)＝，x∈(0,1]， g′(x)＝＝－， g′(x)與g(x)隨x變化情況如下表： x f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 4 ↘ 因此g(x)的最大值為4，則實數(shù)a的取值范圍是[

6、4，＋∞)． 答案：[4，＋∞) 三、解答題 9．已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，求函數(shù)y＝f(x)在上的最大值和最小值． 解：∵f′(－1)＝0， ∴3－2a＋1＝0，即a＝2. ∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)． 由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－； 由f′(x)＜0，得－1＜x＜－. 因此，函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，， 單調(diào)遞減區(qū)間為. ∴f(x)在x＝－1處取得極大值為f(－1)＝2； f(x)在x＝－處取得極小值為f＝. 又∵f＝，f(1)＝6，且＞， ∴f(x)在上的最大值為f(1)＝6，

7、 最小值為f＝. 10．(2011·高考浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求所有的實數(shù)a，使e－1≤f(x)≤e2對x∈[1，e]恒成立． 注：e為自然對數(shù)的底數(shù)． 解：(1)因為f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0， 所以f′(x)＝－2x＋a＝－. 由于a>0，所以f(x)的增區(qū)間為(0，a)，減區(qū)間為(a，＋∞)． (2)由題意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e. 由(1)知f(x)在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增， 要使e－1≤f(x)≤e2對x∈[1，e]恒成立． 只要 解得a＝e. 11．某

8、造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)＝3700x＋45x2－10x3(單位：萬元)，成本函數(shù)為C(x)＝460x＋5000(單位：萬元)，又在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)的定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． (1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；(提示：利潤＝產(chǎn)值－成本) (2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？ (3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么？ 解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；

9、MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)． (2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)， ∵1≤x≤20，x∈N*，∴P′(x)＝0時，x＝12， 當1≤x<12，且x∈N*時，P′(x)>0， 當12