（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第八篇《第50講 立體幾何中的向量方法(1)——證明平行與垂直 》理（含解析） 蘇教版

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1、 A級　基礎達標演練 (時間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則l1與l2的關系是________(填“垂直”“平行”)． 答案　垂直 2．已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為________． 解析　由已知得c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)， 故a·c＝3m＋n＋1＝0，b·c＝m＋5n－9＝0. 解得 答案?。?,2 3．已知a＝，b＝滿足a∥b，則λ等于________．

2、 解析　由＝＝，可知λ＝. 答案　 4．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，在下列四組向量中能使l∥α的是________(填序號)． ①a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) ②a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) ③a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) ④a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 解析　若l∥α，則a·n＝0. 而①中a·n＝－2， ②中a·n＝1＋5＝6， ③中a·n＝－1，只有④選項中a·n＝－3＋3＝0. 答案?、? 5．正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為________．

3、 解析　以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 設M(x，y，z)， ∵點M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)， ∴x＝a，y＝，z＝.得M， ∴||＝ ＝a. 答案　a 6．如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點，cos 〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則點E的坐標為________． 解析　設PD＝a，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，

4、a)， E，∴＝(0,0，a)，＝ 由cos〈，〉＝，∴＝a ·，∴a＝2. ∴E的坐標為(1,1,1)． 答案　(1,1,1) 7．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，則向量a在向量b方向上的投影為________． 解析　b·a＝(1,1,1)·(－1,2,3)＝，則a在向量b上的投影為. 答案　 二、解答題(每題15分，共45分) 8．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求： (1)a，b，c； (2)(a＋c)與(b＋c)夾角的余弦值． 解　(1)因為a∥b，所以＝＝， 解得x＝2，y＝－4，

5、 這時a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又因為b⊥c， 所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0， 解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． (2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)， 設(a＋c)與(b＋c)夾角為θ，因此cos θ＝＝－. 9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當?shù)淖鴺讼?，求平面AMN的一個法向量． 解　以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系(如圖所示)． 設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則A(1,0,0)， M，N. ∴＝， ＝.

6、設平面AMN的一個法向量為n＝(x，y，z) ∴ 令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)． 10．在底面是菱形的四棱錐PABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，點E在PD上，且PE∶DE＝2∶1. (1)證明：PA⊥平面ABCD； (2)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論． (1)證明　∵底面是菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝AD＝AC＝a， 在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD， ∴PA⊥平面ABCD. (2)解　以A為坐標原點，

7、直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直于平面PAD的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系． 由題設條件知，相關各點的坐標分別為A(0,0,0)， B，C，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E. ∴A＝，A＝，A＝，P＝，B＝. 設點F是棱PC上的點，且BF∥平面AEC， P＝λ＝，其中0＜λ＜1，則B＝B＋P＝＋ ＝. 令B＝λ1A＋λ2A，得 即 解得 B級　綜合創(chuàng)新備選 (時間：30分鐘　滿分：60分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1

8、的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果 B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________． 解析　以D1A1、D1C1、D1D分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設CE＝x，DF＝y(tǒng)， 則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，∴＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴F＝(1,1，y)， 由于A⊥B1E，又因為B1E⊥平面ABF， 只需F·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0?x＋y＝1. 答案　1 2．已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1

9、,5)．若|a|＝，且a分別與，垂直，則向量a＝________. 解析　由已知條件＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，可觀察出a＝±(1,1,1)． 答案　±(1,1,1) 3．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為________． 解析　|a|＝＝3，|b|＝＝3， a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，S平行四邊形＝|a||b|sin〈a，b〉＝. 答案　 4．已知e1、e2、e3為不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2＋e3，c＝e1＋e2－e3，d＝e1＋2e

10、2＋3e3，且d＝xa＋yb＋zc，則x、y、z分別為______________． 解析　由d＝xa＋yb＋zc得e1＋2e2＋3e3＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x＋y－z)e3， ∴解得： 答案　，－，－1 5．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．在棱C1D1上存在一點F，使B1F∥平面A1BE，此時＝________. 答案　1 6．在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中點，則A1B與AM的位置關系是________．(填“垂直”或“不垂直”) 答案　垂直 二、解答題(每

11、小題15分，共30分) 7．如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1. (1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面； (2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面BCC1B1. 證明　(1)建立如圖所示的坐標系，則＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)． 所以＝＋， 故、、共面． 又它們有公共點B， 所以E、B、F、D1四點共面． (2)如圖，設M(0,0，z)， 則＝，而＝(0,3,2)， 由題設得·＝－×3＋z×

12、2＝0，得z＝1. 因為M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以＝(3,0,0)． 又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)， 所以·＝0，·＝0， 從而ME⊥BB1，ME⊥BC. 又BB1∩BC＝B， 故ME⊥平面BCC1B1. 8．如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點． 求證：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 證明　(1)建立如圖所示的空間直角坐標系， 設AC∩BD＝N，連接NE. 則點N、E的坐標分別為 、(0,0,1)． ∴＝. 又點A、M的坐標分別是(，，0)、 ∴＝. ∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝， ∵D(，0,0)，F(xiàn)(，，1)，∴＝(0，，1) ∴·＝0，∴AM⊥DF. 同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.