(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題11 算法、復(fù)數(shù)、推理與證明 第82練 矩陣與變換練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、訓(xùn)練目標(biāo) 了解簡單矩陣與變換的思想與應(yīng)用. 訓(xùn)練題型 (1)矩陣運(yùn)算及逆矩陣的應(yīng)用;(2)變換的應(yīng)用;(3)特征值與特征向量的應(yīng)用. 解題策略 根據(jù)教材上相關(guān)內(nèi)容,理解記憶,無需追求難度,掌握基本概念即可. 1.(2016·蘇北四市一模)已知矩陣A=,求矩陣A的特征值和特征向量. 2.(2016·南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二模)已知是矩陣M=的一個(gè)特征向量,求實(shí)數(shù)a的值. 3.(2016·南通二模)已知二階矩陣M有特征值λ=1及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=,且M=.求矩陣M. 4.(2016·南京三模)已知矩陣A=(k≠0)的一個(gè)特征向量α=,A的逆矩陣A-1對應(yīng)的變換

2、將點(diǎn)(3,1)變?yōu)辄c(diǎn)(1,1).求實(shí)數(shù)a,k的值. 5.(2016·宿遷三校調(diào)研)已知矩陣A=屬于特征值λ的一個(gè)特征向量為a=. (1)求實(shí)數(shù)b的值; (2)若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下,得到的曲線為C′:x2+2y2=2,求曲線C的方程. 6.(2016·南京、鹽城一模)設(shè)矩陣M=的一個(gè)特征值為2,若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2+y2=1,求曲線C的方程. 答案精析 1.解 矩陣A的特征多項(xiàng)式 f(λ)==λ2-5λ+6, 由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3. 當(dāng)λ=2時(shí),特征方程組為 故屬于特征值2的一個(gè)特征向量 α1=; 當(dāng)

3、λ=3時(shí),特征方程組為 故屬于特征值3的一個(gè)特征向量 α2=. 2.解 設(shè)是矩陣M屬于特征值λ的一個(gè)特征向量, 則=λ, 故解得 3.解 設(shè)M=, 則由=, 得 再由=,得 聯(lián)立以上方程解得 a=2,b=1,c=0,d=1, 故M=. 4.解 設(shè)特征向量α=對應(yīng)的特征值為λ, 則=λ, 即 因?yàn)閗≠0,所以a=2. 因?yàn)锳-1=, 所以A=, 即=, 所以2+k=3,解得k=1. 綜上,a=2,k=1. 5.解 (1)因?yàn)榫仃嘇=屬于特征值λ的一個(gè)特征向量為a=, 所以=λ, 即=. 從而解得b=0,λ=2. (2)由(1)知,A=. 設(shè)曲

4、線C上任一點(diǎn)M(x,y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍€C′上一點(diǎn)P(x0,y0), 則==, 從而 因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C′上,所以x+2y=2, 即(2x)2+2(x+3y)2=2, 從而3x2+6xy+9y2=1. 所以曲線C的方程為3x2+6xy+9y2=1. 6.解 由題意,知矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)=(λ-a)(λ-1),因?yàn)榫仃嘙有一個(gè)特征值為2,所以f(2)=0,所以a=2.設(shè)曲線C上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),其在矩陣M的變換下的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x′,y′). 所以M==, 即 因?yàn)榍€C在矩陣M變換下的方程為 x2+y2=1, 所以(2x)2+(2x+y)2=1, 即曲線C的方程為8x2+4xy+y2=1.

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