(江蘇專用)高考數(shù)學一輪復習 專題探究課二習題 理 新人教A版-新人教A版高三數(shù)學試題

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1、1.已知函數(shù)f(x)=ln x+x2+ax(a∈R).若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),求a的取值范圍. 解 法一 函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞), ∵f(x)=ln x+x2+ax,∴f′(x)=+2x+a. ∵函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f′(x)≥0, 即+2x+a≥0對x∈(0,+∞)都成立. ∴-a≤+2x對x∈(0,+∞)都成立. ∵當x>0時,+2x≥2=2,當且僅當=2x,即x=時取等號. ∴-a≤2,即a≥-2.∴a的取值范圍為[-2,+∞). 法二 函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),∴f(x)=ln x+x2+ax,∴f′(x)=+2x+

2、a=.方程2x2+ax+1=0的判別式Δ=a2-8. ①當Δ≤0,即-2≤a≤2時,2x2+ax+1≥0,此時,f′(x)≥0對x∈(0,+∞)都成立,故函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù). ②當Δ>0,即a<-2或a>2時,要使函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),只需2x2+ax+1≥0對x∈(0,+∞)都成立. 設h(x)=2x2+ax+1,則解得a>0. 故a>2.綜合①②得a的取值范圍為[-2,+∞). 2.(2016·蘇北四市調(diào)研)設f(x)=ax3+bx+c(a≠0)為奇函數(shù),其圖象在點(1,f(1))處的切線與直線x-6y-7=0垂直,導函數(shù)f′(x

3、)的最小值為-12. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間,并求函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值. 解 (1)因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x) 即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c 所以c=0, 又f′(x)=3ax2+b的最小值為-12, 所以b=-12. 由題設知f′(1)=3a+b=-6. 所以a=2,故f(x)=2x3-12x. (2)f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-). 當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況表如下: x (-∞,-) - (-,) (,+∞) f′(x)

4、 + 0 - 0 + f(x)  極大值  極小值  所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-)和(,+∞). 因為f(-1)=10,f(3)=18, f()=-8,f(-)=8, 當x=時,f(x)min=-8; 當x=3時,f(x)max=18. 3.(2015·萊州一中模擬)已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. (1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)g(x)的解析式; (2)對任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)g′(x)=3x2+2ax-1 由題意3x2+2

5、ax-1<0的解集是, 即3x2+2ax-1=0的兩根分別是-,1. 將x=1或-代入方程3x2+2ax-1=0,得a=-1. 所以g(x)=x3-x2-x+2. (2)由題意2xln x≤3x2+2ax-1+2在x∈(0,+∞)上恒成立, 可得a≥ln x-x-, 設h(x)=ln x-x-, 則h′(x)=-+=-, 令h′(x)=0,得x=1或-(舍), 當0<x<1時,h′(x)>0,當x>1時,h′(x)<0,所以當x=1時,h(x)取得最大值,h(x)max=-2, 所以a≥-2,所以a的取值范圍是[-2,+∞). 4.(2015·全國Ⅰ卷)設函數(shù)f(x)=e

6、2x-aln x. (1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)零點的個數(shù); (2)證明:當a>0時,f(x)≥2a+aln . (1)解 f(x)的定義域為(0,+∞), f′(x)=2e2x-(x>0). 當a≤0時,f′(x)>0,f′(x)沒有零點; 當a>0時,因為y=e2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,y=-在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 所以f′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增. 又f′(a)>0,當b滿足0<b<且b<時, f′(b)<0,故當a>0時,f′(x)存在唯一零點. (2)證明 由(1),可設f′(x)在(0,+∞)的唯一零點為x0, 當x∈(0,x0)時,f′(

7、x)<0;當x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0. 故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0). 由于2e2x0-=0, 所以f(x0)=e2x0-aln x0=-aln =-aln +2ax0=+2ax0+ aln ≥2a+aln .故當a>0時,f(x)≥2a+aln . 5.(2015·廣東卷)設a>1,函數(shù)f(x)=(1+x2)ex-a. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個零點; (3)若曲線y=f(x)在點P處的切線與x軸平行,且在點M(m,n)處的

8、切線與直線OP平行(O是坐標原點),證明:m≤ -1. (1)解 f′(x)=2xex+(1+x2)ex=(x2+2x+1)ex =(x+1)2ex,?x∈R,f′(x)≥0恒成立. ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞). (2)證明 ∵f(0)=1-a,f(a)=(1+a2)ea-a, ∵a>1,∴f(0)<0,f(a)>2aea-a>2a-a=a>0, ∴f(0)·f(a)<0, ∴f(x)在(0,a)上有一零點,又∵f(x)在(-∞,+∞)上遞增, ∴f(x)在(0,a)上僅有一個零點, ∴f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個零點. (3)證明 f′(x)=(x+1)

9、2ex,設P(x0,y0),則f′(x0)=ex0(x0+1)2=0,∴x0=-1, 把x0=-1,代入y=f(x)得y0=-a, ∴kOP=a-. f′(m)=em(m+1)2=a-, 令g(m)=em-(m+1),g′(m)=em-1. 令g′(x)>0,則m>0,∴g(m)在(0,+∞)上增. 令g′(x)<0,則m<0,∴g(m)在(-∞,0)上減. ∴g(m)min=g(0)=0. ∴em-(m+1)≥0,即em≥m+1. ∴em(m+1)2≥(m+1)3,即a-≥(m+1)3. ∴m+1≤ ,即m≤ -1. 6.(2016·蘇、錫、市、鎮(zhèn)模擬)已知函數(shù)f(x)

10、=x3+x+k在(b,f(b))處的切線方程為4x-y-1=0(b>0).m(x)=f(x)-x3-1-aln x,g(x)=-,(a∈R). (1)求k,b的值; (2)設函數(shù)h(x)=m(x)-g(x),求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)若在[1,e](e=2.718…)上存在一點x0,使得m(x0)<g(x0)成立,求a的取值范圍. 解 (1)由題意知:f′(x)=3x2+1, 因為f(x)=x3+x+k在(b,f(b))處的切線方程為4x-y-1=0,其中b>0. 所以解得 (2)h(x)=x+-aln x.h′(x)=1--==. ①當a+1>0時,即a>-1時,

11、當x∈(0,1+a)時,h′(x)<0,當x∈(1+a,+∞)時,h′(x)>0, 所以h(x)在(0,1+a)上單調(diào)遞減,在(1+a,+∞)上單調(diào)遞增. ②當a+1≤0,即a≤-1時, 當x∈(0,+∞)時,h′(x)>0, 所以函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. (3)在[1,e]上存在一點x0,使得m(x0)<g(x0)成立, 即在[1,e]上存在一點x0,使得h(x)<0.即函數(shù)h(x)=x+-aln x在[1,e]上的最小值小于零. 由(2)可知 ①當a+1≥e,即a≥e-1時,h(x)在[1,e]上單調(diào)遞減, 所以h(x)的最小值為h(e),由h(e)=e+-a<0可得a>,因為>e-1,所以a>; ②當a+1≤1,即a≤0時,h(x)在[1,e]上單調(diào)遞增, 所以h(x)最小值為h(1), 由h(1)=1+1+a<0可得a<-2; ③當1<a+1<e,即0<a<e-1時, 可得h(x)最小值為h(1+a), 因為0<ln(a+1)<1,所以0<aln(a+1)<a, 所以h(1+a)=2+a-aln(1+a)>2, 此時h(1+a)<0不成立. 綜上可得所求a的范圍是(-∞,-2)∪

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