（江蘇專用）高考數學一輪復習 專題探究課三習題 理 新人教A版-新人教A版高三數學試題

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1、1.(2015·天津卷)已知函數f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 解　(1)由已知，有f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因為f(x)在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數，f＝－， f ＝－，f＝， 所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－. 2.(2015·湖南卷)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btan A. (1)證明：sin B＝cos A； (2)若sin C－sin Acos

2、B＝，且B為鈍角，求A，B，C. (1)證明　由正弦定理知＝＝＝2R， ∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入a＝btan A得： ∴sin A＝sin B·，又∵A∈(0，π)，∴sin A＞0， ∴1＝，即sin B＝cos A. (2)解　由sin C－sin Acos B＝知， sin(A＋B)－sin Acos B＝，∴cos Asin B＝. 由(1)知，sin B＝cos A，∴cos2A＝，由于B是鈍角， 故A∈，∴cos A＝，A＝. sin B＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝. 3.(2015·江蘇啟東中學模擬)設函數f(x)＝sin＋cos2x

3、＋sin xcos x. (1)若|x|＜，求函數f(x)的值域； (2)設A，B，C為△ABC的三個內角，若f＝， cos(A＋C)＝－，求cos C的值. 解　(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋＋sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＋ ＝2sin＋. ∵|x|＜，∴－＜2x＋＜， ∴－＜sin≤1， ∴－＜f(x)≤，即f(x)的值域為. (2)由f＝得sin＝1， 又A為△ABC的內角，所以A＝. 又因為在△ABC中，cos(A＋C)＝－， 所以sin(A＋C)＝， 所以cos C＝cos ＝cos(A＋C)＋sin(A＋C)＝. 4.(2

4、016·成都診斷)設函數f(x)＝sin＋2sin2(ω＞0)，已知函數f(x)的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π. (1)求函數f(x)的解析式； (2)若△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝，△ABC的面積為S＝6，a＝2，求b，c的值. 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋1－cos ωx ＝sin ωx－cos ωx＋1 ＝sin＋1. ∵函數f(x)的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π， ∴函數f(x)的周期為2π.∴ω＝1. ∴函數f(x)的解析式為f(x)＝sin＋1. (2)由f(A)＝，得sin＝. 又∵A∈(

5、0，π)，∴A＝. ∵S＝bcsin A＝6， ∴bcsin ＝6，bc＝24， 由余弦定理，得a2＝(2)2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24. ∴b2＋c2＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6. 5.已知△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝ (2sin B，－)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，且m∥n. (1)求銳角B的大??； (2)如果b＝2，求S△ABC的最大值. 解　(1)∵m∥n， ∴2sin B＝－cos 2B， ∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－. 又∵B為銳角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B

6、＝. (2)∵B＝，b＝2， 由余弦定理cos B＝， 得a2＋c2－ac－4＝0. 又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4， 當且僅當a＝c＝2時等號成立. 故S△ABC＝acsin B＝ac≤， 當且僅當a＝c＝2時等號成立， 即S△ABC的最大值為. 6.(2015·四川卷) 如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個內角. (1)證明：tan ＝； (2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan ＋tan ＋tan ＋tan 的值. (1)證明　tan ＝＝＝. (2)解　由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B， 由(1)，有tan ＋tan ＋tan ＋tan ＝＋＋＋ ＝＋. 連接BD， 在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A， 在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C， 所以AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝BC2＋CD2＋2BC·CDcos A， 則cos A ＝ ＝＝， 于是sin A＝＝ ＝. 連接AC，同理可得 cos B＝＝＝， 于是sin B＝＝ ＝. 所以tan ＋tan ＋tan ＋tan ＝＋ ＝＋ ＝.