畫法幾何：第四講平面的投影Projection of Plane

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1、第四講第四講 平面的投影平面的投影 Projection of Plane 平面的表示法 Representations of planes 各種位置的平面 Position of Planes 平面上的點(diǎn)和直線Points and lines in planesZXY平面圖形投影總是平面圖形投影總是為平面圖形或直線。為平面圖形或直線。The projection of a planar surface always is a line or a planar surface.1 1、平面的表示法平面的表示法 Representations of planesa ab bc ca a b b

2、c c 不在同一不在同一直線上的直線上的三個(gè)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn) Three points not on a straight linea ab bc ca a b b c c 直線及線直線及線外一點(diǎn)外一點(diǎn) A line and a point not on the linea ab bc ca a b b c c d dd d 兩平行兩平行直線直線 Two parallel linesa ab bc ca a b b c c 兩相交兩相交直線直線Two intersecting linesa ab bc ca a b b c c 平面平面圖形圖形 Planar shape投投 影影 特特 性性 平面平行

3、投影面平面平行投影面-投影體現(xiàn)實(shí)形投影體現(xiàn)實(shí)形 Plane Projection plane 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線 Plane Projection plane 平面傾斜平面傾斜(Inclined)投影面投影面-投影親似原平面投影親似原平面 Plane inclined to Projection plane2、各種位置的平面、各種位置的平面 Positions of Planes平行平行Parallel垂直垂直perpendicular傾斜傾斜inclined存真性存真性True shape親似性親似性Similarity積聚性積聚性Collecting

4、(1)平面對一個(gè)投影面的投影特性平面對一個(gè)投影面的投影特性Projection characteristics of planes to a single projection plane(2)平面在三投影面體系中的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：平面對于三投影面的位置可分為三類：Positions relative to three principal projection planes投影面垂直面投影面垂直面Planes perpendicular to projection plane投影面平行面投影面平行面Planes parallel to p

5、rojection plane一般位置平面一般位置平面General position plane特殊位置平面特殊位置平面Special position planes垂直于某一投影面，傾垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面斜于另兩個(gè)投影面Perpendicular to a projection plane and inclined to the other two平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面垂直于另兩個(gè)投影面Parallel to a projection plane and perpendicular to the other two與三個(gè)投影面都傾斜與三個(gè)投影

6、面都傾斜Inclined to three projection planes正垂面正垂面V-perpendicular側(cè)垂面?zhèn)却姑鎃-perpendicular鉛垂面鉛垂面H-perpendicular 正平面正平面 Frontal plane 側(cè)平面?zhèn)绕矫?Profile plane 水平面水平面 Horizontal planeOXYZHVa AaWa b B bb V 正垂面正垂面 V-perp.plane(3)投影面垂直面投影面垂直面Planes perpendicular to projection plane Ccc c H 鉛垂面鉛垂面 H-perp.plane W 側(cè)垂面?zhèn)却?/p>

7、面 W-perp.planeplumb line：a cord from which a metal(lead)weight is suspended pointing directly to the earths center of gravity;used to determine the vertical from a given point鉛鉛 垂垂 面面 H-perp.planeLeadPerpendicularPlaneabca c b c b a 親似性親似性Affinity親似性親似性Affinity積聚性積聚性collecting鉛垂面鉛垂面H-perpendicular p

8、lane投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。It appears as a line in the perpendicular projection plane.The angles between that line and the projection axes represented the angles between the plane and the other two projection planes.另外兩

9、個(gè)投影面上的投影有親似性。另外兩個(gè)投影面上的投影有親似性。The other two projections are affinal shapes.例例1.已知多邊形的已知多邊形的VH投影投影，求其求其W投影投影。Complete the W projection of polygon with the given V&H projections.a b a (b)c d d(c)e f g h g(h)f(e)a b c d e f g h a b c a b c abc(4)投影面平行面投影面平行面Planes parallel to projection plane積聚性積聚性colle

10、cting積聚性積聚性collecting存真性存真性True shape水平面水平面Horizontal plane投影特性：投影特性：(1)一個(gè)投影存真一個(gè)投影存真 One projection is true-show type.(2)另外兩投影積聚另外兩投影積聚-面面平行于投影軸的線平行于投影軸的線 The other two projections are line-collecting type.(Plane-line axis)(3)積聚性與存真性同時(shí)存在積聚性與存真性同時(shí)存在 Both collecting and true-show typeOXYZHVa AaCWa b B

11、bc c cb (5)一般位置平面一般位置平面General position plane/Oblique plane3D圖形與圖形與2D投影有親似性投影有親似性2D projections is affinal to 3D shape OXYZHVa aWa b bc c cb 一般位置平面投影 Projections of General position planeY上行平面 Ascending plane下行平面 Descending plane一般位置平面投影 Projections of General position plane平面的位置判斷 POSITION OF PLANE

12、S一般位置平面General-position plane投影面垂直面Planes perpendicular to a projection planeH perpendicular plane投影面垂直面Planes perpendicular to a projection plane投影面平行面Planes parallel to a projection plane3、平面上的點(diǎn)和直線、平面上的點(diǎn)和直線Points and lines in planes判斷直線在平面判斷直線在平面內(nèi)的方法內(nèi)的方法How to determine if a line in a plane 定定 理理

13、一一Theorem 1 若一直線過平面上若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。該平面內(nèi)。A line is on a plane if it goes through two points belonging to the plane定定 理理 二二Theorem 2 若一直線過平面上的一點(diǎn)，若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。則此直線在該平面內(nèi)。A line will be on a plane if it goes through one point in the plane and paralle

14、l to a line lying in the plane(1)平面上取任意直線平面上取任意直線 Locate arbitrary line in plane線在面上的條件線在面上的條件Line located in the plane if:(1)過面上的兩點(diǎn)過面上的兩點(diǎn) Through two points in the plane (2)過面上一點(diǎn)過面上一點(diǎn),且平且平 行于面行于面上另一直線上另一直線 Through one point of the plane and parallel to one line in the planeABALabcb c a abcb c a d m

15、nn m d例例2 2：已知平面由直線：已知平面由直線ABAB、ACAC所確定，試在平面內(nèi)任作一所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。條直線。Construct a line arbitrarily in plane defined by lines AB and AC.解法一解法一Solution1解法二解法二Solution2根據(jù)定理二根據(jù)定理二By Theorem 2根據(jù)定理一根據(jù)定理一By Theorem 1例例3：在平面：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到H面的面的距距 離為離為10mm。Construct a horizontal line 10mm away fr

16、om H projection plane in plane ABCn m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！The exclusive solution!點(diǎn)在面上的幾何條件:必在面內(nèi)的一條直線上必在面內(nèi)的一條直線上Point lies in a plane if it lies on a line in the plane.(2)平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn) Locating a point in a plane 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。A point can b

17、e located in a plane by first constructing a auxiliary line on the plane through the point.面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)必先取線面上取點(diǎn)必先取線 Locating a point in plane must be by first locating a line.步驟步驟Steps:(1)在在P面內(nèi)過面內(nèi)過A點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線L Draw line L on P through point A.例例4:A是平面是平面P上一點(diǎn)上一點(diǎn),已知已知A點(diǎn)的點(diǎn)的V投影投影,求求H投影投影AP,find th

18、e H projection of point A.分析分析:若若A點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面P上上,必在過必在過A點(diǎn)的點(diǎn)的直線直線L上上(L在在P上上)If AP then A L(L P)p p2 1 12ll llLPa aA(2)作直線作直線L的的H投影投影Draw H projection of line L.(3)根據(jù)從屬性作出直線根據(jù)從屬性作出直線L上的上的A點(diǎn)的點(diǎn)的H投影投影Get the H projection of point A.例例5：已知：已知K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABC上，求上，求K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。K plane ABC,find the H projection

19、of point K.bacc a k b kabca b k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解By converging plane通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解By auxiliary linebckada d b c ada d b c k bc例例6 6：已知：已知ACAC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。ACV,Complete the H projection of parallelogram ABCD解法一解法一Solution 1解法二解法二Solution 2(3)過點(diǎn)或直線作平面過點(diǎn)或直

20、線作平面Construct plane through point or line過空間中任意一點(diǎn)過空間中任意一點(diǎn)A A作平面作平面Construct plane through point AL L過空間中任意一直線過空間中任意一直線L L作平面作平面Construct plane through line L結(jié)論結(jié)論:要有約束條件才能得到唯一解要有約束條件才能得到唯一解Conclusion:Exclusive solution must with extra constraintsA A過直線過直線L L作平面作平面Construct plane through line Lll lla

21、a a am m m mll lla a a am m m m過點(diǎn)過點(diǎn)A A作平面作平面Construct plane through point A思考思考:能否作出面平行面能否作出面平行面?Thinking:Can we construct a plane parallel to a projection plane投射面呢？投射面呢？Then how about a plane perpendicular to a projection plane?ll lla a a am m m m作業(yè)：作業(yè)：P16P16-2(a)(b)-2(a)(b)P17 P17-(-(a)(b)(ca)(b)(c)P18P18P19P19-6-6復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)Refer toRefer to：教材第：教材第 132-142 132-142 頁頁