簡介 中值定理 洛必達法則

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1、會計學1簡介簡介 中值定理中值定理 洛必達法則洛必達法則10 四月 20242 這一章討論導數(shù)(包括偏導數(shù))的應用。主要分三個方面考慮：理論方面，得到幾個中值定理，它們是導數(shù)應用的理論基礎；LHospital法則，它是計算極限的非常有效的方法；函數(shù)性質的研究，包括函數(shù)的單調性與極值(最值)、凹凸性與拐點，最后綜合考慮(包括漸近線)函數(shù)性質畫出函數(shù)圖像。第1頁/共41頁10 四月 202434.1最優(yōu)選擇簡介 最優(yōu)選擇問題即最值問題。就經(jīng)濟方面來說，人們總是希望用最小的成本獲得最大的利潤。為此，我們需要制訂價格以達到最大的銷售量。那么，我們怎樣才能取到這些最值呢？從數(shù)學上說，這就是求函數(shù)的最大值

2、、最小值問題，即最優(yōu)化問題。導數(shù)發(fā)展的起源問題之一就是求最值問題。當微積分發(fā)展起來以后，求最值問題一般都是通過求導運算進行的。這一章將詳細討論最值的求法以及相關的單調、凹凸等問題。第2頁/共41頁10 四月 2024410 四月 202444.2微分中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，由最值定理得，f(x)在閉區(qū)間a,b上有最大值、最小值。為求最值，下面由簡單一些的函數(shù)開始討論?？梢钥闯?，若f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，則在最大值與最小值處的切線的斜率為零。為保證最值在(a,b)內取到，設f(a)=f(b)，所以有下面的定理。一、Rolle定理第3頁/共41頁10 四月 202

3、4510 四月 20245 定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導，且f(a)=f(b)，則存在(a,b)，使xO yCx ABabyf(x)第4頁/共41頁10 四月 20246證第5頁/共41頁10 四月 20247第6頁/共41頁10 四月 2024810 四月 20248 此定理有三個條件：閉區(qū)間上連續(xù)；開區(qū)間內可導；兩端點的函數(shù)值相等。三個條件缺一不可。結論只有一個：有一個(a,b)，使f()=0，至于這個等于什么，從定理中看不出來，這一點和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理類似。xO yAB f(x)不滿足條件abxO yAB f(x)不滿足條件abxO yA

4、B f(x)不滿足條件abc第7頁/共41頁10 四月 20249 應用 對某些方程，有時可用Rolle定理確定解的個數(shù)，討論時一般要用到反證法。例1 證明方程xn+xn-1+x=1在(0,1)中有唯一實根(n1)。證明 記f(x)=xn+xn-1+x-1，則 f(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+1。由f(0)=-10；f(x)在0,1連續(xù)，由零值定理得xn+xn-1+x=1在(0,1)內至少有一個根。假設方程xn+xn-1+x=1 在(0,1)內的解不止一個，設其中的兩個解為x1、x2。則f(x)在x1,x2 連續(xù)，在(x1,x2)內可導，且f(x1)=f(x2)。由Rolle定理知存

5、在(x1,x2)，使f()=0，即 nn-1+(n-1)n-2+1=0而 x10，矛盾。因此原方程在(0,1)中有唯一實根。第8頁/共41頁10 四月 202410例2證由零值定理,即為方程的小于1的正實根.矛盾,第9頁/共41頁10 四月 202411 Rolle定理是導數(shù)應用的理論基礎，當定理中的f(x)寫成不同的表達式時可能出現(xiàn)不同的定理形式，即得到新的中值定理。下面討論兩個應用廣泛的中值定理Lagrange 中值定理和Cauchy中值定理。利用Rolle定理證明其他形式的中值定理的一般思路是：根據(jù)中值定理的結果構造一個函數(shù)，使之符合Rolle定理的條件。大家要注意在證明Lagrange

6、 中值定理和Cauchy中值定理時這種思路的應用，并學會應用它證明其他的中值定理。第10頁/共41頁10 四月 20241210 四月 202412二、Lagrange定理定理(微分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導，C2h xO yABaby=f(x)C1x 分析證明分析證明第11頁/共41頁10 四月 202413稱為Lagrange 中值公式或有限增量公式。根據(jù)需要可寫成：推論1例1 證明 證明 記F(x)=arcsin x+arccos x，則F(x)=0。因此F(x)=C，x-1,1。又F(0)=/2，則推論2 若任意xI，f(x)g(x)，則f

7、(x)=g(x)+C xI 第12頁/共41頁10 四月 202414 可以驗證F(x)滿足Rolle定理的條件，因此存在(a,b)使F()=0，即三、Couchy定理定理 函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內簡要證明 記第13頁/共41頁10 四月 202415Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理三個中值定理之間的關系 三個中值定理的形式不同，使用時要根據(jù)具體情況挑選合適的中值定理。有時需要“造出”其他的中值定理。當用Rolle定理證明其他的中值定理時，考慮要證明的結果，先把結果中的換成x，改寫成F(x)=0的形式，選取合適的F(x)，必要時

8、可乘以不等于零的(函)數(shù)。第14頁/共41頁10 四月 202416 例1 f(x)、g(x)在a,b上連續(xù)，(a,b)內可導，f(a)=f(b)=0，求證：證明 設F(x)=f(x)g(x)，則F(x)在a,b上連續(xù)，(a,b)內可導，且F(a)=F(b)=0,由Rolle定理知中值定理的應用習題一.證明“”的存在性問題.-構造輔助函數(shù)法 二.證明不等式-利用lagrange 定理，柯西定理第15頁/共41頁10 四月 202417 例2 f(x)、g(x)在a,b上連續(xù)，(a,b)內可導，f(a)=f(b)=0，求證：證明 設F(x)=f(x)eg(x)，則F(x)在a,b上連續(xù)，(a,b

9、)內可導，且F(a)=F(b)=0，由Rolle定理知第16頁/共41頁10 四月 202418 例3 已知f(x)在a,b上連續(xù)，求證：存在M0，使對(a,b)中的任意x1、x2，都有|f(x1)-f(x2)|M|x1-x2|證明 f(x)在a,b上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理，f(x)在a,b上有界，即存在M0，使|f(x)|M。對(a,b)中的任意x1、x2，由已知，f(x)在x1,x2上連續(xù)，在(x1,x2)內可導，由Lagrange 中值定理知，存在(x1,x2)使 f(x1)-f(x2)=f()(x1-x2)而|f()|M。因而有|f(x1)-f(x2)|M|x1-x2|第

10、17頁/共41頁10 四月 202419例4證由上式得第18頁/共41頁10 四月 202420例6證分析:結論可變形為例5第19頁/共41頁10 四月 2024214.3 LHospital法則 中值定理是微積分中的理論基礎，在很多方面都有重要的應用。下面用Cauchy中值定理導出計算極限的行之有效的方法LHospital法則。據(jù)說這種求極限方法是由17世紀的Johann Bernoulli首先發(fā)現(xiàn)的。Guillaume LHospital是一位有錢的侯爵，酷愛數(shù)學。他請Bernoulli教他微積分，結果也搶走了Bernoulli的功勞。因此有的書把LHospital譯為“洛必達”。LHos

11、pital法則是計算極限的方法。計算極限最簡單的是代入法，當不能直接代入時，即出現(xiàn)等時用初等方法很難甚至不能求出極限，這時LHospital法則顯示了巨大的威力。第20頁/共41頁10 四月 202422定理(LHospital法則)設函數(shù)f(x)、g(x)滿足條件：則有注 對自變量的其它變化趨勢此定理仍適用。第21頁/共41頁10 四月 202423 證明 令f(a)g(a)0，則f(x)和g(x)在點a 的某一鄰域內連續(xù)。設x是這鄰域內的一點，則f(x)和g(x)在x和a形成的區(qū)間上滿足Cauchy中值定理的條件，因此有 顯然當xa時xa。于是 應用時，當分子分母都是無窮小量時，直接對分子

12、、分母分別求導，然后計算。第22頁/共41頁10 四月 202424注：第23頁/共41頁10 四月 202425極限不存在洛必達法則失效。如：第24頁/共41頁10 四月 202426 注 分子、分母分別求導后得到的極限若不存在，說明不能用LHospital法則，但不能確定原極限不存在。這時應想別的方法進行計算。例如對極限若用LHospital法則，則有最后的極限不存在。但由無窮小量的性質得第25頁/共41頁10 四月 202427例1解 如果經(jīng)過一次LHospital法則后仍是0/0不定式，則可再一次用LHospital法則分別對分子、分母求導，直到分子、分母中至少有一個不是無窮小量再代入

13、。例2解此題也可先把分母中的sinx代換成x再用LHospital法則。第26頁/共41頁10 四月 202428練習答案 ln23 1 用LHospital法則計算極限的過程中，隨時都可以化簡和進行無窮小量代換。例3解第27頁/共41頁10 四月 202429定理 設函數(shù)f(x)、g(x)滿足條件：則有 當分子、分母都是無窮大量時，可用此結果，對分子分母分別求導，必要時可進行化簡、無窮小量代換等。第28頁/共41頁10 四月 202430例4解練習答案第29頁/共41頁10 四月 202431 至于把哪一個放到分母上，需要一些技巧(如應盡量把指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)移到分母上；必要時可以化簡、無窮小

14、量代換、變量代換等)，要掌握這些技巧需要多加練習。例1想辦法把它化為分式形式，如第30頁/共41頁10 四月 202432解答案練習第31頁/共41頁10 四月 202433 若是分式則先進行通分；帶根號的先有理化；有時也可考慮作變量代換，如令x=1/t?？傊癁榉质降男问?。例2解此處應盡量讓lnx的系數(shù)中不含x，以便于求導后去掉對數(shù)符號。第32頁/共41頁10 四月 202434例3解第33頁/共41頁10 四月 202435利用公式化為0型：步驟:第34頁/共41頁10 四月 202436例4解例5解第35頁/共41頁10 四月 202437例6解第36頁/共41頁10 四月 202438練習答案 LHospital法則是計算極限的重要方法，運用時注意以下幾點：運算熟練后，特別是多次運用LHospital法則時，每一次都要驗證所求是否不定式；當計算后的極限不存在且不是無窮大時，或計算時發(fā)現(xiàn)結果重復出現(xiàn)，說明不能用LHospital法則，應盡量尋求別的方法。如第37頁/共41頁10 四月 202439第38頁/共41頁