《（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 24分大題搶分練4（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 24分大題搶分練4（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、24分大題搶分練(四)
(建議用時：30分鐘)
20．(12分)已知E(m,0)為拋物線y2＝2x內(nèi)一定點，過點E作兩條不同的直線交拋物線于點A，B，C，D，點M，N分別是線段AB，CD的中點．
(1)當(dāng)AB⊥CD時，求△EMN的面積的最小值；
(2)若m＝2且kAB＋kCD＝2，證明：直線MN過定點，并求出定點坐標(biāo)．
[解] (1)設(shè)直線AB的斜率kAB＝k(k≠0)，則直線CD的斜率kCD＝－，
直線AB的方程為y＝k(x－m)，直線CD的方程為y＝－(x－m)．
由得k2x2－(2mk2＋2)x＋m2k2＝0，易知Δ＞0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x
2、2＝＝2m＋，x1x2＝m2，
所以y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k－2mk＝.
因為點M是線段AB的中點，所以M.
同理可得N.
所以|EM|＝，|EN|＝，
所以S△EMN＝·|EM|·|EN|＝≥＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝±1時取等號．
所以當(dāng)AB⊥CD時，△EMN的面積的最小值是1.
(2)證明：由題意知，kAB＋kCD＝2，
不妨設(shè)直線AB的斜率kAB＝n，則直線CD的斜率kCD＝2－n，
由(1)可知當(dāng)m＝2時，M點坐標(biāo)為，
同理可得N點坐標(biāo)為，
所以直線MN的方程是y－＝·，
化簡得y＝(x－2)＋.
所以直線MN過定點.
21．(
3、12分)(2020·南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－sin x－aln x－，a∈R.
(1)當(dāng)a＝時，求曲線y＝f(x)在點處的切線方程；
(2)當(dāng)a＝0時，求函數(shù)g(x)＝f(x)－sin x在上的最大值；
(3)若存在x1，x2∈(0，＋∞)，且x1
4、
∴g′(x)＝1－cos x>0在上恒成立，
故g(x)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＝時，函數(shù)取得最大值1＋π.
(3)證明：x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，
則y′＝1－cos x≥0恒成立，
即y＝x－sin x在x>0時，單調(diào)遞增，
故x－sin x>0，即x>sin x.
∵f(x1)＝f(x2)，
∴x1－sin x1－aln x1－π＝x2－sin x2－aln x2－π，
∴a(ln x2－ln x1)＝x2－x1－(sin x2－sin x1)>(x2－x1)，
∴2a>>0，
令t＝，則t>1，
下面證明>，即證明>，
令h(t)＝ln t－，t>1，則h′(t)＝<0，
故h(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，h(t)，
∴2a>>，
∴x1x2<4a2.
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