2、＝( )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
A [∵z滿足(1＋2i)z＝5i，
∴z＝ ＝＝2＋i，故選A．]
3．在正項等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a3＝2a2＋3，則其前3項的和S3＝( )
A．3 B．9 C．13 D．24
C [設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，
∵a1＝1，a3＝2a2＋3，∴q2＝2q＋3，解得q＝3.
則其前3項的和S3＝1＋3＋32＝13.故選C．]
4．已知矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，則·＝( )
A．20 B．12 C．－12 D．－20
C [如圖，
∵|
3、AB|＝4，|BC|＝|AD|＝2，
∴·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(－)＝2－2＝4－16＝－12.故選C．]
5．ETC，中文翻譯是電子不停車收費系統(tǒng)．如圖是2015－2019年中國ETC累計用戶數(shù)量情況(單位：萬輛)統(tǒng)計圖．則下面結(jié)論中錯誤的是( )
A．2015－2019年中國ETC累計用戶數(shù)量與時間成正相關(guān)
B．2019年中國ETC累計用戶數(shù)量約是2015年的8.1倍
C．2019年中國ETC累計用戶數(shù)量呈爆發(fā)式增長，較2018年同比增長約166.5%
D．2016－2018年，中國ETC每年新增用戶的數(shù)量成遞增數(shù)列
D [對于A選項，根據(jù)統(tǒng)計圖得，2015－
4、2019年中國ETC累計用戶數(shù)量與時間成正相關(guān)，所以A正確．
對于B選項，根據(jù)統(tǒng)計圖得≈8.1，所以B正確．
對于C選項，2019年中國ETC累計用戶數(shù)量為20 400萬輛，2018年中國ETC累計用戶數(shù)量為7 656萬輛，2019年較2018年同比增長≈166.5%，所以C正確．
對于D選項，2016年的新增用戶數(shù)量為2 006萬輛，2017年的新增用戶數(shù)量為1 379萬輛，2018年的新增用戶數(shù)量為1 756萬輛，易知不成遞增數(shù)列，所以D錯誤．故選D．]
6．已知F2為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，且F2在C的漸近線上的射影為點H，O為坐標(biāo)原點，若|OH|＝|F2H|
5、，則C的漸近線方程為( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±2y＝0
A [雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，若|OH|＝|F2H|，可得在直角三角形OHF2中，∠HOF2＝45°，可得C的漸近線方程為x±y＝0.故選A．]
7．已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(x2－x)－f(x)＞0的解集為( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
B [根據(jù)題意，f(x)是定義在R上的減函數(shù)，則f(x2－x)－f(x)＞0?f(x2－x)＞f(x)?x
6、2－x＜x，即x2－2x＜0，解可得0＜x＜2，即不等式的解集為(0,2)，故選B．]
8．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列函數(shù)的解析式(其中e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))與所給圖象最契合的是( )
A．y＝sin(ex＋e－x) B．y＝sin(ex－e－x)
C．y＝tan(ex－e－x) D．y＝cos(ex＋e－x)
D [對于A，當(dāng)x＝0時，y＝sin(ex＋e－x)＝sin 2>0，不滿足條件．排除A；對于B，當(dāng)x＝0時，y＝sin(ex－e－x)＝sin 0＝0，不滿足條件．排除B；對
7、于C，當(dāng)x＝0時，y＝tan(ex－e－x)＝tan 0＝0，不滿足條件．排除C，故選D．]
9.已知C60是一種由60個碳原子構(gòu)成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，C60是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子，它有60個頂點和若干個面，各個面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖所示．已知其中正六邊形的面為20個，則正五邊形的面的個數(shù)為( )
A．10 B．12 C．16 D．20
B [由結(jié)構(gòu)圖知：每個頂點同時在3個面內(nèi)，所以五邊形的面的個數(shù)為＝12，故選B．]
10．拋物線上任意兩點A、B處的切線交于點P，稱△PAB為“阿基米德三角形”．當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線焦點F時，△PA
8、B具有以下特征：
①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；
②△PAB為直角三角形，且PA⊥PB；
③PF⊥AB．
若經(jīng)過拋物線y2＝4x焦點的一條弦為AB，阿基米德三角形為△PAB，且點P的縱坐標(biāo)為4，則直線AB的方程為( )
A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－2＝0
C．x＋2y－1＝0 D．2x－y－2＝0
A [由題意可知，拋物線y2＝4x的焦點F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為：x＝－1，
由△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過拋物線y2＝4x焦點，可得：P點必在拋物線的準(zhǔn)線上，∴點P(－1,4)，∴直線PF的斜率為：＝－2，
又∵PF⊥AB，∴直線AB的斜率為
9、，∴直線AB的方程為：y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0，故選A．]
11.我國傳統(tǒng)的房屋建筑中，常會出現(xiàn)一些形狀不同的窗欞，窗欞上雕刻有各種花紋，構(gòu)成種類繁多的精美圖案．如圖所示的窗欞圖案，是將邊長為2R的正方形的內(nèi)切圓六等分，分別以各等分點為圓心，以R為半徑畫圓弧，在圓的內(nèi)部構(gòu)成的平面圖形．若在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點在窗欞圖案上陰影內(nèi)的概率為( )
A．1－ B．－
C．2－ D．－
B [連接A、B、O，得等邊三角形OAB，則陰影部分的面積為
S陰影＝12×＝R2，
故所求概率為＝＝－.故選B．]
12．已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在(0,2
10、π)上有且僅有兩個零點，則ω的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
C [函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)，
由于x∈(0,2π)，所以ωx－∈，
由于在該區(qū)間上有且僅有兩個零點，
所以，解得<ω≤.故選C．]
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在橫線上．
13．能說明“若a>b，有a2＞b2”為假命題的一組a，b的值依次為________．
1，－1 [“若a>b，有a2＞b2”，能說明該命題為假命題，
此題答案不唯一，可取a＝1，b＝－1，即有a2＝b2.]
14．若變量x，y滿足 ，則x－2y的最大值為________．
4 [變
11、量x，y滿足 的可行域如圖，
目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y，由 ，解得點A(4,0)，z在點A處有最大值：z＝4－2×0＝4.]
15．已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，O為坐標(biāo)原點，B、C兩點在M上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝45°，則橢圓M的離心率為________．
[∵AO是與x軸重合的，且四邊形OABC為平行四邊形， ∴BC∥OA，
則B、C兩點的縱坐標(biāo)相等，根據(jù)橢圓的對稱性，B、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴B、C兩點是關(guān)于y軸對稱的．
由題意知：OA＝a，四邊形OABC為平行四邊形，則BC＝OA＝a，故C的橫坐標(biāo)為x＝，代入橢圓方程M得，y＝
12、b，故B，由BC＝a＝b，所以c＝＝b，
故e＝＝＝.]
16．某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設(shè)備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高42萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高168萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過1 700萬元，則第十實驗室的改建費用為________萬元，改建這十個實驗室投入的總費用最多需要________萬元．
1 536 4 709 [設(shè)每個實驗室的裝修費用為x萬元，設(shè)備費為an萬元，n＝1,2,3，…，10，
則 ，
13、
解得a1＝3，q＝2, ∴a10＝3×29＝1 536，
依題意：x＋1 536<1 700，解得x<164.
∴該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要：
10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋＝10x＋3 069≤4 709. ]
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
(一)必考題：共60分．
17．(12分)近年來，昆明加大了特色農(nóng)業(yè)建設(shè)，其中花卉產(chǎn)業(yè)是重要組成部分．昆明斗南毗鄰滇池東岸，是著名的花都，有“全國10支鮮花7支產(chǎn)自斗南”之說，享有“金斗南”
14、的美譽．為進一步了解鮮花品種的銷售情況，現(xiàn)隨機抽取甲、乙兩戶斗南花農(nóng)，對其連續(xù)5日的玫瑰花日銷售情況進行跟蹤調(diào)查，將日銷售量作為樣本繪制成莖葉圖如圖，單位：扎(20支/扎)．
(1)求甲、乙兩戶花農(nóng)連續(xù)5日的日均銷售量，并比較兩戶花農(nóng)連續(xù)5日銷售量的穩(wěn)定性；
(2)從兩戶花農(nóng)連續(xù)5日的銷售量中各隨機抽取一個，求甲的銷售量比乙的銷售量高的概率．
[解] (1)記甲、乙連續(xù)5日的日平均銷售量分別是甲，乙，則甲＝＝28，
乙＝＝30，
由莖葉圖可知乙的數(shù)據(jù)比較集中，說明乙的銷售量比較穩(wěn)定．
(2)從兩戶花農(nóng)連續(xù)5日的銷售量中各隨機抽取一個，總的基本事件為25個，分別為：
{18,2
15、5}，{18,28}，{18,30}，{18,31}，{18,36}，
{25,25}，{25,28}，{25,30}，{25,31}，{25,36}，
{27,25}，{27,28}，{27,30}，{27,31}，{27,36}，
{30,25}，{30,28}，{30,30}，{30,31}，{30,36}，
{40,25}，{40,28}，{40,30}，{40,31}，{40,36}，
其中甲高于乙的有8個基本事件，分別為：
{27,25}，{30,25}，{30,28}，{40,25}，{40,28}，{40,30}，{40,31}，{40,36}，
∴甲的銷售量比乙
16、的銷售量高的概率P＝.
18．(12分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1.
(1)證明：平面A1BD⊥面BC1D1；
(2)求三棱錐B1-A1BD與D1-A1BD的體積比．
[解] (1)證明：連接AD1，因為AD＝AA1，所以A1D⊥AD1，
因為四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以AD1∥BC1，所以A1D⊥BC1，
又A1D⊥C1D1，BC1∩C1D1＝C1，
∴A1D⊥平面BC1D1，
又A1D?平面A1BD，
所以平面A1BD⊥平面BC1D1.
(2)連接B1D1，因為B1D1∥BD，
所以B1D1∥平面A1BD，
所以B1，D1 到
17、面A1BD的距離相等，
故三棱錐B1-A1BD 與D1-A1BD 體積之比為1∶1.
19．(12分)△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求A；
(2)從三個條件：①a＝，②b＝，③△ABC的面積為，中任選一個作為已知條件，求△ABC周長的取值范圍．
[解] (1)b2＋c2＝a2＋bc，可得cos A＝＝＝，
由A∈(0，π)，可得A＝.
(2)選①a＝，又A＝，可得＝＝＝2，
可設(shè)B＝＋d，C＝－d，－＜d＜，
即有△ABC的周長l＝a＋b＋c＝2sin B＋2sin C＋＝2sin＋2sin＋＝2＋＝2cos d＋，
由c
18、os d∈，可得周長l的范圍是(2，3]．
選②b＝，由A＝，由正弦定理可得a＝，c＝＝＝＋，
則周長為l＝a＋b＋c＝＋＋＝＋＝＋，由B∈，可得0＜＜，即有0＜tan ＜，
可得△ABC的周長的取值范圍是(2，＋∞)．
若選③S△ABC＝，由A＝，可得S△ABC＝bcsin A＝bc＝，即bc＝4.
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－12，
則周長l＝a＋b＋c＝＋(b＋c)，
由b＋c≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時等號成立，所以l≥＋4＝6，
則△ABC的周長的范圍是[6，＋∞)．
20．(12分)已知
19、橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，右焦點為F(c,0)，左頂點為A，右頂點B在直線l：x＝2上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點P是橢圓C上異于A，B的點，直線AP交直線l于點D，當(dāng)點P運動時，判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．
[解] (1)依題可知B(a,0)，a＝2，
因為e＝＝，
所以c＝1，b＝，
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)法一：以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：由題意可設(shè)直線AP的方程為y＝k(x＋2)(k≠0)．
則點D坐標(biāo)為(2,4k)，
BD中點E的坐標(biāo)為(2,2k)，
直線方程代入橢圓方程，可得
(3＋4
20、k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則
－2x0＝.
所以x0＝，y0＝.
因為點F坐標(biāo)為(1,0)，
①當(dāng)k＝±時，點P的坐標(biāo)為，
直線PF的方程為x＝1，D的坐標(biāo)為(2，±2)．
此時以BD為直徑的圓(x－2)2＋(y±1)2＝1與直線PF相切．
②當(dāng)k≠±時，則直線PF的斜率
kPF＝＝.
所以直線PF的方程為y＝(x－1)，
即x－y－1＝0.
點E到直線PF的距離
d＝＝＝|2k|，
又因為|BD|＝2R＝4|k|，
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當(dāng)點P運動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．
法
21、二：以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：設(shè)點P(x0，y0)，則＋＝1(y0≠0)．
①當(dāng)x0＝1時，點P的坐標(biāo)為，直線PF的方程為x＝1，
D的坐標(biāo)為(2，±2)．
此時以BD為直徑的圓(x－2)2＋(y±1)2＝1與直線PF相切．
②當(dāng)x0≠1時直線AP的方程為y＝(x＋2)，
點D的坐標(biāo)為D，BD中點E的坐標(biāo)為，故|BE|＝，
直線PF的斜率為kPF＝，
故直線PF的方程為y＝(x－1)，
即x－y－1＝0，
所以點E到直線PF的距離
d＝＝＝|BE|，
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當(dāng)點P運動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．
21．
22、(12分)(2020·河北名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝1時，討論f(x)極值點的個數(shù)；
(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．
[解] (1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝ln x－ex＋1(x>0)，則f′(x)＝－ex，顯然f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又f′＝2－>0，f′(1)＝1－e<0，
所以f′(x)在上存在唯一零點x0，
當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)>0，
當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f′(x)<0，
所以x0是f(x)的極大值點，且是唯一極值點．
(2)令f(x)＝0，則a＝，令y＝a，g(x)＝，則y＝a
23、與g(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個交點，
g′(x)＝(x>0)，
令h(x)＝－ln x－1，則h′(x)＝－－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，而h(1)＝0，
故當(dāng)x∈(0,1)時，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，故g(x)max＝g(1)＝，
又g＝0，當(dāng)x>1時，g(x)>0，
作出圖象如圖：
由圖可得：0
24、4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸與x軸的非負半軸重合．曲線C的極坐標(biāo)方程是1＋2sin2θ＝，直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos－＝0.
(1)求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點P(2,0)，直線l與曲線C相交于點M、N，求＋的值．
[解] (1)曲線C的極坐標(biāo)方程是1＋2sin2θ＝，
整理得：ρ2＋2(ρsin θ)2＝6，
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：＋＝1.
直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos－＝0.
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：x＋y－2＝0.
(2)由于點P(2,0)在直線l上，所以可設(shè)直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，即 (t為參數(shù))，
代入
25、曲線C的直角坐標(biāo)方程為
t2－2t＋4＋3×t2＝6，
化簡得：t2－t－1＝0.
所以t1＋t2＝，t1t2＝－1，
故＋＝＋＝||＝＝.
23．(10分)[選修4－5：不等式選講]已知函數(shù)f(x)＝|x|－|2x－2|.
(1)求不等式f(x)≥－3的解集；
(2)若a∈R，且a≠0，
證明：|4a－1|＋≥4f(x)．
[解] (1)不等式f(x)≥－3等價于 或 或 ，
解得－1≤x<0或0≤x<1或1≤x≤5，
所以不等式的解集為{x|－1≤x≤5}．
(2)證明：由(1)知函數(shù)f(x)的最大值是f(1)＝1，即f(x)≤1恒成立，因為
|4a－1|＋≥＝＝|4a|＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝±時等號成立，
∴|4a－1|＋≥4f(x)，即得證.
（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 仿真模擬卷1（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題
