(統(tǒng)考版)高考數(shù)學二輪復習 24分大題搶分練4 理(含解析)-人教版高三數(shù)學試題

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1、24分大題搶分練(四) (建議用時:30分鐘) 20.(12分)已知E(m,0)為拋物線y2=2x內一定點,過點E作兩條不同的直線交拋物線于點A,B,C,D,點M,N分別是線段AB,CD的中點. (1)當AB⊥CD時,求△EMN的面積的最小值; (2)若m=2且kAB+kCD=2,證明:直線MN過定點,并求出定點坐標. [解] (1)設直線AB的斜率kAB=k(k≠0),則直線CD的斜率kCD=-, 直線AB的方程為y=k(x-m),直線CD的方程為y=-(x-m). 由得k2x2-(2mk2+2)x+m2k2=0,易知Δ>0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x

2、2==2m+,x1x2=m2, 所以y1+y2=k(x1-m)+k(x2-m)=k-2mk=. 因為點M是線段AB的中點,所以M. 同理可得N. 所以|EM|=,|EN|=, 所以S△EMN=·|EM|·|EN|=≥=1, 當且僅當k2=,即k=±1時取等號. 所以當AB⊥CD時,△EMN的面積的最小值是1. (2)證明:由題意知,kAB+kCD=2, 不妨設直線AB的斜率kAB=n,則直線CD的斜率kCD=2-n, 由(1)可知當m=2時,M點坐標為, 同理可得N點坐標為, 所以直線MN的方程是y-=·, 化簡得y=(x-2)+. 所以直線MN過定點. 21.(

3、12分)(2020·南通模擬)已知函數(shù)f(x)=x-sin x-aln x-,a∈R. (1)當a=時,求曲線y=f(x)在點處的切線方程; (2)當a=0時,求函數(shù)g(x)=f(x)-sin x在上的最大值; (3)若存在x1,x2∈(0,+∞),且x1

4、 ∴g′(x)=1-cos x>0在上恒成立, 故g(x)在上單調遞增, 當x=時,函數(shù)取得最大值1+π. (3)證明:x1,x2∈(0,+∞),且x10, 則y′=1-cos x≥0恒成立, 即y=x-sin x在x>0時,單調遞增, 故x-sin x>0,即x>sin x. ∵f(x1)=f(x2), ∴x1-sin x1-aln x1-π=x2-sin x2-aln x2-π, ∴a(ln x2-ln x1)=x2-x1-(sin x2-sin x1)>(x2-x1), ∴2a>>0, 令t=,則t>1, 下面證明>,即證明>, 令h(t)=ln t-,t>1,則h′(t)=<0, 故h(t)在(1,+∞)上單調遞減,h(t), ∴2a>>, ∴x1x2<4a2.

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