立體幾何空間成角問題

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1、授授課課內(nèi)內(nèi)容容：空空間間的的角角空空間角專專講講座座題題及其求法法教材地位分析教材地位分析高考地位分析高考地位分析（1）立體幾何板塊主要有兩大類型 （1）判斷、推理型判斷、推理型 （2）有關(guān)的有關(guān)的幾何量的計算，幾何量的計算，其中包括空間角、空間距離、體積的計算?？臻g角及其求法是是立體幾何包括的重要組成部分，是立體幾何板塊的一個重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。（2）在歷屆高考中，空間角及其求法是每年必考的內(nèi)容，與距離的計算、線面位置關(guān)系論證形成新的熱點(diǎn)，該部分的分值約6-16分，屬于中等難度。立體幾何高考分析 高考中，立體幾何板塊往往有高考中，立體幾何板塊往往有4個題目：個題目：2個選擇題，一個填空題個選擇

2、題，一個填空題和和1個大題。在大題中，一般是論證題和空間角（距離）計算組成。在個大題。在大題中，一般是論證題和空間角（距離）計算組成。在選擇題中有時有一個題考查空間角的求法。選擇題中有時有一個題考查空間角的求法。理解空間角的概念、會求空間角的大小。異面直線所成角直線與平面所成角 二 面 角圖 形定義表示范圍要點(diǎn)用什么度量？用什么度量？從一條直線引出的兩從一條直線引出的兩個半平面所組成的圖個半平面所組成的圖形叫做二面角。形叫做二面角。在空間任取一點(diǎn)在空間任取一點(diǎn)o，分別分別作作a，b的平行線，從而的平行線，從而形成的的銳（直）角形成的的銳（直）角異面直線a，b所成角斜線與它在平面斜線與它在平面內(nèi)

3、的射影所成的內(nèi)的射影所成的銳角。銳角。線a與平面 所成角找適當(dāng)點(diǎn)、找射影、二足二足作平行線相連相連1.作出所求的空間角 2.證明所作的角符合定義 3.構(gòu)造三角形并求出所要求角簡言之，空間角的求解步驟為：“一一作作”“二二證證”“三三算算”“一作”“二證”“三算”2.相交成相交成90的兩條直線與一個平面所成的角分別的兩條直線與一個平面所成的角分別是是30與與45，則這兩條直線在該平面內(nèi)的射影所成，則這兩條直線在該平面內(nèi)的射影所成角的正弦值為角的正弦值為()(A)(B)(C)(D)1.平面平面的斜線與的斜線與所成的角為所成的角為30，則此斜線和，則此斜線和內(nèi)內(nèi)所有不過斜足的直線中所成的角的最大值是

4、所有不過斜足的直線中所成的角的最大值是()(A)30 (B)60 (C)90 (D)150課課 前前 熱熱 身身CC3.如如圖圖，正正方方形形ABCD所所在在平平面面與與正正方方形形ABEF所所在在的的平平面面成成60的的二二面面角角，則則異異面面直直線線AD與與BF所所成角的余弦值是成角的余弦值是_.4.異異面面直直線線a、b成成80角角，P為為a、b外外一一定定點(diǎn)點(diǎn)，若若過過P有有且且僅僅有有2條條直直線線與與a、b所所成成角角都都為為，則則的的范范圍是圍是()(A)(B)(C)(D)B返回返回A5.如如圖圖，ABC-A1B1C1是是直直三三棱棱柱柱，BCA=90，點(diǎn)點(diǎn)D1、F1分別是分別

5、是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，若的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，則，則BD1與與AF1所成角的余弦值是所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)（1）平移法：平移法：即根據(jù)定義，以即根據(jù)定義，以“運(yùn)動運(yùn)動”的觀點(diǎn)，用的觀點(diǎn)，用“平移轉(zhuǎn)化平移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線所成的角。的方法，使之成為相交直線所成的角。(1)(1)找出或作出有關(guān)的圖形；找出或作出有關(guān)的圖形；找出或作出有關(guān)的圖形；找出或作出有關(guān)的圖形；(2)(2)證明它符合定義；證明它符合定義；證明它符合定義；證明它符合定義；(3)(3)計算。計算。計算。計算。即：要求先證，要證先作。即：要求先證，要證先作。即：要求先證，要證先作。即：

6、要求先證，要證先作。具體地講是選擇具體地講是選擇具體地講是選擇具體地講是選擇“特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)”作異面直線的平行作異面直線的平行作異面直線的平行作異面直線的平行線，構(gòu)作線，構(gòu)作線，構(gòu)作線，構(gòu)作含含含含異面直線所成異面直線所成異面直線所成異面直線所成(或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角)的角的角的角的角的三角形，再的三角形，再的三角形，再的三角形，再求之。求之。求之。求之。BO1MDB1A1D1C1AC解法一（平移法）：F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二解法二（補(bǔ)形法）：（補(bǔ)形法）：能力思維方法1.如如圖圖所所示示，ABCD是是一一個個正正四四面面體體，E、F分分別別為為BC和和A

7、D的中點(diǎn)的中點(diǎn).求：求：(1)AE與與CF所成的角；所成的角；(2)CF與平面與平面BCD所成的角所成的角.例2：如圖，斜三棱柱ABCABC的底面為一等腰直角三角形，直角邊AB=AC=2cm，側(cè)棱與底面成60角，BCAC，BC=26cm,求BC與底面所成的角。ABCBACO分析：分析：欲求欲求BCBC與底面與底面ABCABC所成的角，關(guān)鍵所成的角，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地找到在于準(zhǔn)確地找到BCBC在底面上的射影。注意到在底面上的射影。注意到ACAC ABAB和和ACAC BCBC，即，即ACAC 平面平面ABCABC，所，所以，平面以，平面ABCABC 平面平面ABCABC，故點(diǎn)，故點(diǎn)CC在底面上在底面

8、上的射影的射影O O在平面在平面ABCABC和平面和平面ABCABC的交線的交線BABA上，上，CBOCBO為所求的角。為所求的角。直線與平面垂直，直線和平面所成的角是90；通常是從斜線上找特殊點(diǎn)，作平面的垂線段，構(gòu)作含所求線面角的三角形求之。求斜線與平面所成的角，關(guān)鍵是找準(zhǔn)斜線段在平面內(nèi)的射影；xOBACBACBC與底面所成的角是例2：如圖，斜三棱柱ABCABC的底面為一等腰直角三角形，直角邊AB=AC=2cm，側(cè)棱與底面成60角，BCAC，BC=26cm,求BC與底面所成的角。分析：欲求BC與底面ABC所成的角，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地找到BC在底面上的射影。注意到ACAB和ACBC，即AC平面AB

9、C，所以，平面ABC平面ABC，故點(diǎn)C在底面上的射影O在平面ABC和平面ABC的交線BA上，CBO為所求的角。解：ACAB，ACBC，AC平面ABC，于是平面ABC平面ABC，作CO平面ABC，則點(diǎn)O令CO=x，則在BA延長線上,CBO就是BC 與底面所成的角，連 OC，是側(cè)棱與底面所成的角為60，CCO在 OBC中 BC=2 6(已知）解得，舍去)在RtBOC中，為什么？x例例1.如如圖棱棱長是是1的正方體，的正方體，P、Q分分別是棱是棱AB、CC1上的內(nèi)上的內(nèi)分點(diǎn)，分點(diǎn)，滿足足.（1）求）求證：A1P平面平面AQD；（2）求直線）求直線PQPQ與平面與平面AQDAQD所成角的正弦值所成角的

10、正弦值.RPQAA1CDBD1C1B1方法提煉方法提煉（1）易證，略（2）如何作出線面角？過Q作QR平行AD，交BB1與R，連接AR，易知面ADQR即為面AQD 由（1）知A1P 面AQD，設(shè)A1P交AR與S，連接SQ即可。由以上的作法可知 即為所求角。S S解析解析只需解QSP即可。2.如如圖圖，在正方體，在正方體AC1中，中，(1)求求BC1與平面與平面ACC1A1所成的角；所成的角；(2)求求A1B1與平面與平面A1C1B所成的角所成的角.【解解題題回回顧顧】“線線線線角角抓抓平平移移，線線面面角角定定射射影影”.也也就就是是說說要要求求直直線線與與平平面面所所成成的的角角，關(guān)關(guān)鍵鍵是是

11、找找到到直直線線在在此此平平面面上上的的射射影影，為為此此，必必須須在在這這條條直直線線上上的的某某一一點(diǎn)點(diǎn)處處作作一一條條(或或找找一一條條)平平面面的的垂垂線線，本本題題中中BO就就是是平平面面的的垂垂線線，垂垂足足H的的位位置置也也必必須須利用利用圖圖形的性形的性質(zhì)質(zhì)來確定來確定.3.如如圖圖，長長方體方體ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=2，AA1=1，E、H分分別別是是A1B1和和BB1的中點(diǎn)的中點(diǎn).求：求：(1)EH與與AD1所成的角；所成的角；(2)AC1與與B1C所成的角所成的角.【解解題題回回顧顧】(2)中中為為了了找找到到異異面面直直線線AC1與與B1C所所成成的

12、的角角，需需將將AC1平平移移出出長長方方體體外外，實(shí)實(shí)際際上上是是在在原原長長方方體體外外，再再拼拼接接一一個個完完全全相相同同的的長長方方體體，這這是立體幾何中常是立體幾何中常見見的方法之一的方法之一.4.在在120的二面角的二面角-l-的兩個面的兩個面、內(nèi)分別有內(nèi)分別有A、B兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到棱的距離分別為兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到棱的距離分別為2和和4，AB=10，求：，求：(1)AB與與l 所成的角；所成的角；(2)AB與平面與平面所成的角所成的角.返回返回【解題回顧解題回顧】本例是綜合題，解題過程常常是作本例是綜合題，解題過程常常是作圖圖(包括添輔助線或輔助面包括添輔助線或輔助面)、論證、計算三個

13、階、論證、計算三個階段，這樣就綜合考查了空間想象能力、邏輯推理段，這樣就綜合考查了空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力能力和運(yùn)算能力.延伸拓展5.在在棱棱長長為為a的的正正方方體體ABCDABCD中中，E、F分別是分別是BC、AD的中點(diǎn)的中點(diǎn)(1)求證：四邊形求證：四邊形BEDF是菱形；是菱形；(2)求直線求直線AC與與DE所成的角；所成的角；(3)求直線求直線AD與平面與平面BEDF所成的角所成的角.【解題回顧解題回顧】對于第對于第(1)小題，若僅由小題，若僅由BE=ED=DF=FB就就斷斷定定BEDF是是菱菱形形，那那是是不不對對的的，因因存存在在四四邊邊相相等等的的空空間間四四邊邊形形，

14、所所以以必必須須證證B、E、D、F四四點(diǎn)點(diǎn)共共面面.第第(3)小小題題應(yīng)應(yīng)用用了了課課本本一一道道習(xí)習(xí)題題的的結(jié)結(jié)論論，才證明了才證明了AD在平面在平面BEDF內(nèi)的射影在內(nèi)的射影在BD上上返回返回誤解分析返回返回2.凡凡立立體體幾幾何何求求角角或或距距離離的的解解答答題題，一一定定要要注注意意“作、證、指、求作、證、指、求”四個環(huán)節(jié)缺一不可四個環(huán)節(jié)缺一不可.1.求異面直線所成的角，要注意角的范圍是求異面直線所成的角，要注意角的范圍是 ，如能力，如能力思維思維方法方法3，平移后得，平移后得 ，計，計算得算得 ，不能說兩異面直線成角，不能說兩異面直線成角為為 ，而應(yīng)為，而應(yīng)為 第課時 二面角(一)

15、課課 前前 熱熱 身身1.下列命題中：下列命題中：兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；異異面面直直線線a、b分分別別和和一一個個二二面面角角的的兩兩個個面面垂垂直直，則則a、b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補(bǔ)；組成的角與這個二面角的平面角相等或互補(bǔ)；二二面面角角的的平平面面角角是是從從棱棱上上一一點(diǎn)點(diǎn)出出發(fā)發(fā)，分分別別在在兩兩個個面面內(nèi)作射線所成角的最小角；內(nèi)作射線所成角的最小角；正四面體相鄰兩個面所成的二面角的平面角是銳角正四面體相鄰兩個面所成的二面角的平面角是銳角.其中，正確命題的序號是其中，正確命題的序號是_.、2.如如圖圖，正正方方體體ABCDA1

16、B1C1D1中中，二二面面角角B1-AA1-C1的的大大小小為為_，二二面面角角B-AA1-D的的大大小小為為_，二二面角面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.45903.在在二二面面角角-l-的的一一個個平平面面內(nèi)內(nèi)有有一一條條直直線線AB，它它與與棱棱 l 所所成成的的角角為為45，與與平平面面所所成成的的角角為為30，則則這個二面角的大小是這個二面角的大小是_.45或或1354.三三棱棱錐錐ABCD中中，AB=AC=BC=CD=AD=a，要要使使三三棱棱錐錐ABCD的的體體積積最最大大，則則二二面面角角B-AC-D的的大大小小是是 （）（A）（B）（C）（D）AA5.在在二二面面角角

17、-a-內(nèi)內(nèi)，過過a作作一一個個半半平平面面，使使二二面面角角-a-=45，二二 面面 角角-a-=30，則則 內(nèi)內(nèi) 的的 任任 意意 一一點(diǎn)點(diǎn)P到平面到平面與平面與平面的距離之比為的距離之比為()(A)(B)(C)(D)返回返回課課 前前 熱熱 身身1.二面角二面角-AB-的平面角是銳角，的平面角是銳角，C是平面是平面內(nèi)的內(nèi)的點(diǎn)點(diǎn)(不在棱不在棱AB上上)，D是是C在平面在平面上的射影，上的射影，E是棱是棱AB上滿足上滿足CEB為銳角的任意一點(diǎn)，則為銳角的任意一點(diǎn)，則()(A)CEBDEB(B)CEB=DEB(C)CEBDEB(D)CEB與與DEB的大小關(guān)系不能確定的大小關(guān)系不能確定A2.直直線

18、線AB與與直直二二面面角角-l-的的兩兩個個半半平平面面分分別別交交于于A、B兩兩點(diǎn)點(diǎn)，且且A、B l.如如果果直直線線AB與與、所所成成的的角角分別是分別是1、2，則，則1+2的取值范圍是的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)D3.在長、寬、高分別為在長、寬、高分別為1、1、2的長方體的長方體ABCDA1B1C1D1中，截面中，截面BA1C1與底面與底面ABCD所成角的余弦值是所成角的余弦值是_.4.把把邊邊長長為為a的的正正三三角角形形ABC沿沿著著過過重重心心G且且與與BC平平行的直線折成二面角，此時行的直線折成二面角，此時A點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)變?yōu)?，當(dāng)，當(dāng)時，則此二面角的大小為時，則此二面角的

19、大小為_.arccos(1/3)5.已已知知正正方方形形ABCD中中，AC、BD相相交交于于O點(diǎn)點(diǎn)，若若將將正正方方形形ABCD沿沿對對角角線線BD折折成成60的的二二面面角角后后，給給出出下下面面4個結(jié)論：個結(jié)論：ACBD；ADCO；AOC為正三角形；為正三角形；過過B點(diǎn)點(diǎn)作作直直線線l平平面面BCD，則則直直線線l平平面面AOC其其中正確命題的序號是中正確命題的序號是_返回返回D 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成 的圖形叫做二面角。3 3、二面角、二面角 二面角的大小用它的平面角來度量；（1）定義法：根據(jù)定義作出二面角的平面角；AB求二面角常用方法有：例例 3：如圖，：如圖，已知四面體已知

20、四面體S-ABC中，中，求二面角求二面角A-SC-B的大小的大小SCBAE分析：根據(jù)題意，在棱分析：根據(jù)題意，在棱SC 任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)D，過，過D作作DE SC于于E，作，作DF SB于于F，連，連EF。由定義可知。由定義可知 EDF即為二面角即為二面角A-SC-B的平面的平面角。設(shè)角。設(shè)SD=a，借助已知條件，由，借助已知條件，由Rt SDE、Rt SDF及及Rt ESF求求出出 FDE所在所在 FDE三邊長，再用余弦定理即可求得三邊長，再用余弦定理即可求得:cos FDE=-ctg ctg,即即 FDE=-arccos(ctg ctg)。F（3）垂面法：作二面角棱的垂面，則垂面和二面角的

21、兩個面的交線所成的角即是該二面角的平面角。（2）用三垂線定理或其逆定理作出二面角的平面角；如圖，由三垂線定理(或逆定理),過二面角-a-的一個面上一點(diǎn)P向另一個面作垂線PA，再由垂足A(或點(diǎn)P)向棱作垂線AB(或PB)，連PB(或AB)，則PBA就是二面角-a-的平面角。APBa例例4：斜三棱柱ABC-ABC的一個側(cè)面AACC是矩形，AB是底面RtABC的斜邊，AB=2AA，AC等于AB和AB間的距離，求三棱柱各側(cè)面所成的二面角的大小。ABCBCAD分析：如圖，因BB垂直AC，故可過AC作平面ACDBB于D，則面ACD與各棱均垂直，從而ACD內(nèi)角就是所求的各側(cè)面所成的二面角。將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化到該

22、截面內(nèi)，即可求得各側(cè)面間所成的平面角分別為30,60,90a2ahah用這個關(guān)系式求可銳二面角的平面角。（4）射影法：如圖所示，AD平面M，設(shè)AHD=是二面角A-BC-D的平面角，由 cos =AD/AH可得，ABC與它在過其底邊BC的平面M上的射影DBC以及兩者所成的二面角之間的關(guān)系：ABCDHM（5）公式法：用此公式亦可求二面角的平面角；這實(shí)為異面直線上兩點(diǎn)的距離公式，但這里不局限EFmndABC如圖，CBF=為二面角的lm平面角 ，在CBF中，由余弦定理可求得CFd再由RtECF可得于(0,90,(0,180)。已知直二面角-l-，A,B線段AB=2a，AB與成45的角，與成30角，過A

23、、B兩點(diǎn)分別作棱l的垂線AC、BD，求面ABD與面ABC所成角的大小。ACBDHF解法一：如圖,由已知可得平面ABC平面,作DHBC于H，則DH平面ABC，作DFAB于F，連HF，則據(jù)三垂線定理的逆定理知DFH為所求二面角的平面角。例5：于是在DFH中，由余弦定理，得所以即面ABD與面ABC所成的二面角為又知BAD=45,ABC=30，可解得ACBDH 由于D在平面ABC內(nèi)的射影H在BC邊上 ABH為ABD在平面ABC上的射影設(shè)所求的二面角為,則有cos=SABH/SABD，代入上式，得由解法一，易求得例例5：已知直二面角-l-,A,B,線段AB=2a，AB與成45的角，與成30角，過A、B兩

24、點(diǎn)分別作棱l的垂線AC、BD，求面ABD與面ABC所成角的大小。（為什么？）（因BCD為Rt）解法二（射影法）：l故ACBDEF 如圖，作CE、DF都垂直于所求二面角的棱AB，E、F是垂足，設(shè)所求二面角C-AB-D的平面角大小為，易求應(yīng)用公式可得：解法三（公式法）：在四棱錐在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，已知中，已知ABCDABCD為矩形，為矩形，PA PA 平面平面ABCDABCD，設(shè)，設(shè)PA=AB=aPA=AB=a，BC=2aBC=2a，求二面角求二面角B-PC-DB-PC-D的大小。的大小。例例2.DPBCAEF解析解析1定義法定義法 過D作DE PC于E，過E作EF PC于F，連接

25、FD，由二面角的平面角的定義可知 是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解DEF即可。解析解析2PBCADNMQ 垂面法垂面法 易證面PAB面PBC，過A作AM BP于M，顯然AM 面PBC，從而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM與AN相交與A得PC 面AMN。設(shè)面AMN交PC于Q，則 為二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。跳轉(zhuǎn)跳轉(zhuǎn) 易證面PEDA PDC，過E作EF PD于F，顯然PF 面PDC，在面PCE內(nèi)，過E作EG PC于G，連接GF，由三垂線得GF PC 即角EGF為二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可。由解析3的分析過程知，

26、PFC為 PEC在面PDC上的射影，由射影面積公式得sin ，余下的問題比較容易解決！在四棱錐在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，已知中，已知ABCDABCD為矩形，為矩形，PA PA 平面平面ABCDABCD，設(shè)，設(shè)PA=AB=aPA=AB=a，BC=2aBC=2a，求二面角求二面角B-PC-DB-PC-D的大小。的大小。PBCADE EFPBCAD解析3例例2.E E利用三垂線求解利用三垂線求解FG 把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成如圖的直三棱柱PAB-EDC，顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D。解析4射影面積法射影面積法跳轉(zhuǎn)跳轉(zhuǎn) 在四棱錐P-ABCD中，已

27、知ABCD為矩形，PA 平面ABCD，設(shè)PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。DBCAP解析解析5例例3.利用空間余弦定理求解利用空間余弦定理求解 在面PDC內(nèi)，分別過D、B作DE PC于E，BF PC于F，連接EF即可。EF 利用平面知識求BF、EF、DE的長度，再利用空間余弦定理求出 即可。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)方法提煉方法提煉針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1 已知二面角已知二面角 l ，A為面為面 內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，A到到 的的距離為距離為 2，到，到l 的距離為的距離為4。求求二面角二面角 l 的大小。的大小。A.O lDOABPCEEOP針針對對訓(xùn)訓(xùn)練練2 如如圖圖，三三棱棱錐錐P-ABCP-A

28、BC的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)P P在在底底面面ABCABC上上的的射射影影是是底底面面RtRtABCABC斜斜邊邊ACAC的的中中點(diǎn)點(diǎn)O O，若若PB=AB=1PB=AB=1，BC=BC=，求求二二面面角角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。KEY:KEY:撤消撤消針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練3 如圖如圖P為二面角為二面角內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，PA,PB,且且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數(shù)。求這二面角的度數(shù)。BPAOKEY 120針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練4 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（2,3）、）、B（3，2），沿），沿x軸把軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為直角坐標(biāo)平面折成大小為 的二面角后，的二面角后

29、，則，則 的值為的值為 。本專題主要復(fù)習(xí)空間角（包括異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角）的定義、求法，可總結(jié)為：空間問題 技 巧“移”、“補(bǔ)”、“換”平面問題線線角，用平移，妙選頂點(diǎn)，線面角，作射影，二足相連。二面角，求法多，空間余弦，用定義，三垂線，射影垂面。熟化歸，解三角，算準(zhǔn)結(jié)果，作證求，三環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣。求解的基本思路為：本專題到此結(jié)束，各位領(lǐng)導(dǎo)、老師、朋友，請批評、指正！1.1.定義定義 以二面角的棱上以二面角的棱上任意任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面上面上分分別引別引垂直于棱垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

30、二面角的平面角。?等角定理等角定理：如果一個角的兩邊和另如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。同，那么這兩個角相等。二面角的平面角必須滿足：二面角的平面角必須滿足：（1）角的頂點(diǎn)在棱上。）角的頂點(diǎn)在棱上。（2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)。）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)。（3）角的邊都要垂直于二面角的棱。）角的邊都要垂直于二面角的棱。返回 求兩條異面直線所成的角關(guān)鍵在于妙選點(diǎn)、作平線妙選點(diǎn)、作平線。常選中點(diǎn)或線端點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)或平行四邊形的性質(zhì)等作出符合要求的平行線。返回中點(diǎn)中點(diǎn)方法提煉1 方法提煉方法提煉1 求兩條異面直線所成的角

31、關(guān)鍵在于妙選點(diǎn)、作妙選點(diǎn)、作平行線平行線。常選中點(diǎn)中點(diǎn)或線端點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)或平行四邊形的性質(zhì)等作出符合要求的平行線。返回 求直線和平面所成角要領(lǐng)“找射影，二足相連”。由于平面的一條斜線在這個平面的射影只有一條，所以關(guān)鍵在于尋該斜線在面上的射影。方法提煉2撤消求二面角的方法比較多，常見的有（1）定義法定義法 在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，（3）垂面法垂面法 在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，（2）利用三垂線求解利用三垂線求解 在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，(1)定義法（定義法（點(diǎn)在棱上點(diǎn)在棱上）(3)垂面法（垂面法（點(diǎn)在空間內(nèi)點(diǎn)

32、在空間內(nèi)）oABoAAoB(2)三垂線定理法三垂線定理法（點(diǎn)在面內(nèi)點(diǎn)在面內(nèi)）如例如例3解析解析1如例如例3解析解析2如例如例3解析解析3方法提煉方法提煉3（4）射影面積法射影面積法 利用射影面積與斜面的關(guān)系求解利用射影面積與斜面的關(guān)系求解如圖所示，如圖所示，射影射影 DBC、斜面斜面ABC與兩面所與兩面所成的二成的二面角面角 之間有：之間有：ABCDHM（5）空間余弦定理）空間余弦定理運(yùn)用公式運(yùn)用公式 求解，如例求解，如例3解析解析5 方法提煉方法提煉3（續(xù)）返回推廣EFmndClnmcnmc推廣2222222abcos EF222+d 22abcos 撤消 用此公式為空間余弦定理，可用此公式

33、為空間余弦定理，可求異面直線上兩點(diǎn)的距離求異面直線上兩點(diǎn)的距離，異面直線所異面直線所成角成角，還可，還可求二面角的平面角求二面角的平面角。如圖，如圖，CBF=為二面角的為二面角的平面角平面角 ，在，在 CBF中，中，由余弦定理可求得由余弦定理可求得CF再由RtECF可得EFmndABClmd返回小結(jié)小結(jié)：1 1、正確掌握空間各種角的定義及取值范圍：、正確掌握空間各種角的定義及取值范圍：（1 1）異面直線所成角）異面直線所成角 的范圍：的范圍：009090（2 2）直線與平面所成的角）直線與平面所成的角 的范圍：的范圍：009090（3 3）二面角的平面角）二面角的平面角 的范圍通常認(rèn)為：的范圍

34、通常認(rèn)為：00180180 2 2、求空間各角的大小，通常是轉(zhuǎn)化為平面角來計算；、求空間各角的大小，通常是轉(zhuǎn)化為平面角來計算；其格式為：應(yīng)先定其位，后算其值。其格式為：應(yīng)先定其位，后算其值。3 3、用間接法求空間角，在答題時，要規(guī)范解題過程。、用間接法求空間角，在答題時，要規(guī)范解題過程。能力思維方法【解解題題回回顧顧】本本題題是是1990年年全全國國高高考考題題，(1)的的證證明明關(guān)關(guān)系系較較復(fù)復(fù)雜雜，需需仔仔細(xì)細(xì)分分析析。(2)的的平平面面角角就就是是CDE，很很多考生沒有發(fā)現(xiàn)，卻去人為作角，導(dǎo)致混亂多考生沒有發(fā)現(xiàn)，卻去人為作角，導(dǎo)致混亂.1.在在三三棱棱錐錐SABC中中，SA平平面面ABC

35、，ABBC，DE垂直平分垂直平分SC，且分別交，且分別交AC、SC于于D、E，又，又 SA=AB=a，BC=2a，(1)求證：求證：SC平面平面BDE；(2)求平面求平面BDE與平面與平面BDC所成的二面角大小所成的二面角大小.2.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰為的射影恰為AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)M.又知又知AA1與底面與底面ABC所成的角為所成的角為60.(1)求證：求證：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.【解解題題回回顧顧】先先由由第第(1)小小題題的的結(jié)結(jié)論論易易知知BCAA1，

36、再利用作出棱再利用作出棱AA1的垂面的垂面BNC來確定平面角來確定平面角BNC.將將題題設(shè)設(shè)中中“AA1與與底底面面ABC所所成成的的角角為為60”改改為為“BA1AC1”仍仍可可證證得得三三角角形形AA1C為為正正三三角角形形，所所求求二面角仍為二面角仍為 .本題的解答也可利用三垂線定理來推理本題的解答也可利用三垂線定理來推理.3.如圖，正三棱柱如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為的底面邊長為a，側(cè)棱，側(cè)棱長為長為 ，若經(jīng)過對角線，若經(jīng)過對角線AB1且與對角線且與對角線BC1平行的平平行的平面交上底面一邊面交上底面一邊A1C1于點(diǎn)于點(diǎn)D.(1)確定點(diǎn)確定點(diǎn)D的位置，并證明的位置，并證

37、明你的結(jié)論；你的結(jié)論；(2)求二面角求二面角A1-AB1-D的大小的大小.【解解題題回回顧顧】第第(2)題題中中二二面面角角的的放放置置屬屬于于非非常常規(guī)規(guī)位位置置的的圖圖形形(同同例例(1)的的變變題題)，看看起起來來有有些些費(fèi)費(fèi)勁勁，但但是是一一旦旦將將圖圖形形的的空空間間位位置置關(guān)關(guān)系系看看明明白白，即即可可發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)解解決決此此種種問問題的基本方法仍然與常規(guī)位置時相同題的基本方法仍然與常規(guī)位置時相同.返回返回延伸拓展4.如如圖圖，已已知知A1B1C1ABC是是正正三三棱棱柱柱，D是是AC的的中中點(diǎn)點(diǎn).(1)證明證明AB1平面平面DBC1.(2)假假設(shè)設(shè)AB1BC1，求求以以BC1為為棱棱

38、，DBC1與與CBC1為為面面的二面角的二面角的度數(shù)的度數(shù).【解解題題回回顧顧】本本題題為為1994年年全全國國高高考考理理科科試試題題，圖圖中中的的正正三三棱棱柱柱放放置置的的位位置置和和一一般般放放置置的的位位置置不不同同.這這是是高高考考題題中中常常出出現(xiàn)現(xiàn)的的現(xiàn)現(xiàn)象象，目目的的是是考考查查各各種種位位置置的的正正三三棱棱柱性質(zhì)，這一點(diǎn)應(yīng)引起讀者注意柱性質(zhì)，這一點(diǎn)應(yīng)引起讀者注意.返回返回誤解分析返回返回1.二二面面角角是是立立體體幾幾何何的的重重點(diǎn)點(diǎn)、熱熱點(diǎn)點(diǎn)、難難點(diǎn)點(diǎn)，求求二二面面角角的的大大小小方方法法多多，技技巧巧性性強(qiáng)強(qiáng)但但一一般般先先想想定定義義法法，再再想想三三垂垂線線定定理

39、理法法，如如課課前前熱熱身身4，及及能能力力思思維維方方法法1中中，如果盲目作垂線，則會干擾思維如果盲目作垂線，則會干擾思維2.實(shí)實(shí)施施解解題題過過程程仍仍要要注注意意“作作、證證、指指、求求”四四環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)，計計算算一一般般是是放放在在三三角角形形中中，因因此此，“化化歸歸”思思想想很很重重要要.能力思維方法1.平平面面四四邊邊形形ABCD中中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿，沿對對角角線線AC將四將四邊邊形折成直二面角形折成直二面角.證證：(1)AB面面BCD；(2)求面求面ABD與面與面ACD所成的角所成的角.【解解題題回回顧顧】準(zhǔn)準(zhǔn)確確畫畫出出折折疊疊后后的的圖圖形形

40、，弄弄清清有有關(guān)關(guān)點(diǎn)點(diǎn)、線線之之間間的的位位置置關(guān)關(guān)系系，便便可可知知這這是是一一個個常常見見空空間間圖圖形形(四個面都是直角三角形的四面體四個面都是直角三角形的四面體).2.在直角梯形在直角梯形P1DCB中，中，P1DCB，CDP1D，P1D=6，BC=3，DC=3，A是是P1D的的中中點(diǎn)點(diǎn).沿沿AB把把平平面面P1AB折折起起到到平平面面PAB的的位位置置，使使二二面面角角P-CD-B成成45，設(shè)設(shè)E、F分分別為別為AB、PD的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)求求證證：AF平面平面PEC；(2)求二面角求二面角P-BC-A的大??；的大小；【解解題題回回顧顧】找二面角的平面角找二面角的平面角時時不要盲目去

41、作，而不要盲目去作，而應(yīng)應(yīng)首先由首先由題設(shè)題設(shè)去分析，去分析，題題目中是否已有目中是否已有.3.正正方方體體ABCDA1B1C1D1中中，E是是BC的的中中點(diǎn)點(diǎn)，求求平平面面B1D1E和平面和平面ABCD所成的二面角的正弦所成的二面角的正弦值值.【解解題題回回顧顧】解法一利用公式解法一利用公式 .思路思路簡單簡單明明了了，但但計計算算量量較較解解法法二二大大.解解法法二二的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是確確定定二二面面角角的的棱棱，再再通通過過三三垂垂線線定定理理作作出出平平面面角角，最最終終解解直直角三角形可求出角三角形可求出.4.如如圖圖，在在底底面面是是直直角角梯梯形形的的四四棱棱錐錐SABCD中中，A

42、BC=90，SA面面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12.(1)求四棱求四棱錐錐SABCD的體的體積積；(2)求面求面SCD與面與面SBA所成的二所成的二面角的正切面角的正切值值.【解解題題回回顧顧】(1)較較易易，(2)因因所所求求二二面面角角無無“棱棱”，故故先先延延長長BA、CD以以確確定定棱棱SE，然然后后證證明明BSC為為平平面面角，本角，本題題當(dāng)然可以用當(dāng)然可以用 直接求直接求.返回返回延伸拓展(I)沿沿圖圖中中虛虛線線將將它它們們折折疊疊起起來來，是是哪哪一一種種特特殊殊幾幾何何體體?并請畫出其直觀圖，比例尺是并請畫出其直觀圖，比例尺是1/2；(II)需需要要多多少少個個這

43、這樣樣的的幾幾何何體體才才能能拼拼成成一一個個棱棱長長為為6cm的的正正方方體體ABCDA1B1C1D1，請請畫畫出出其其示示意意圖圖(需需在在示示意圖中分別表示出這種幾何體意圖中分別表示出這種幾何體)；5.如圖為一幾何體的展開圖：如圖為一幾何體的展開圖：(III)設(shè)設(shè)正正方方體體ABCDA1B1C1D1的的棱棱CC1的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為E，試試求求：異異面面直直線線EB與與AB1所所成成角角的的余余弦弦值值及及平平面面AB1E與平面與平面ABC所成二面角所成二面角(銳角銳角)的余弦值的余弦值.【解解題題回回顧顧】要要研研究究翻翻折折前前后后的的兩兩個個圖圖形形，注注意意弄弄清清以下幾點(diǎn)：以下幾點(diǎn)

44、：分分別別畫畫出出翻翻折折前前后后的的平平面面圖圖形形和和立立體體圖圖形形，字字母母標(biāo)標(biāo)注要一致；注要一致；翻翻折折前前后后幾幾何何圖圖形形的的位位置置關(guān)關(guān)系系及及相相關(guān)關(guān)量量的的變變與與不不變變要分清；要分清；在在解解決決立立體體圖圖形形問問題題進(jìn)進(jìn)行行計計算算時時，要要盡盡可可能能地地參參照照翻折前的平面圖形翻折前的平面圖形.返回返回返回返回誤解分析1.在利用公式在利用公式 求二面角的大小時，分子是求二面角的大小時，分子是射射影影的的面面積積，分分母母是是原原來來多多邊邊形形的的面面積積，不不要要顛顛倒倒.另另外外計計算算面面積積要要準(zhǔn)準(zhǔn)確確，在在解解答答題題中中運(yùn)運(yùn)用用此此公公式式要要加加以以必必要的說明要的說明.2.解解折折疊疊題題時時，一一定定要要分分清清折折前前與與折折后后的的變變與與不不變變的的量量，有有時時在在折折后后的的立立體體圖圖中中不不好好計計算算的的量量要要回回到到折折前前圖中去計算圖中去計算.