2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題（解析版）

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1、2021年全國(guó)新高考I卷統(tǒng)一考試（數(shù)學(xué)） 一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 設(shè)集合，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定義可求. 【詳解】由題設(shè)有， 故選：B . 2. 已知，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)?，故，? 故選：C. 3. 已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（ ） A. B. C.

2、 D. 【答案】B 【解析】 【分析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)可求得的值，即為所求. 【詳解】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得. 故選：B. 4. 下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論. 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 對(duì)于函數(shù)，由， 解得， 取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為， 則，，A選項(xiàng)滿(mǎn)足條件，B不滿(mǎn)足條件； 取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為， 且，，CD選項(xiàng)均不滿(mǎn)足條件 故選：A.

3、【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)． 5. 已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案． 【詳解】由題，，則， 所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）． 故選：C． 【點(diǎn)睛】橢圓上的點(diǎn)與橢圓的兩焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，常常從橢圓的定義入手，注意基本不等式得靈活運(yùn)用，或者記住定理：兩正數(shù)，和一定相等時(shí)及最大，積一定，相等時(shí)和最小，也可快速求解.

4、 6. 若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果． 【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得： ． 故選：C． 【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過(guò)齊次化處理，可以避開(kāi)了這一討論． 7. 若過(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線(xiàn)方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；

5、 解法二：畫(huà)出曲線(xiàn)的圖象，根據(jù)直觀(guān)即可判定點(diǎn)在曲線(xiàn)下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線(xiàn). 【詳解】在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得， 所以，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即， 由題意可知，點(diǎn)在直線(xiàn)上，可得， 令，則. 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減， 所以，， 由題意可知，直線(xiàn)與曲線(xiàn)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示： 由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn). 故選：D. 解法二：畫(huà)出函數(shù)曲線(xiàn)的圖象如圖所示，根據(jù)直觀(guān)即可判定點(diǎn)在曲線(xiàn)下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線(xiàn).由此可知. 故選：D. 【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的

6、證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀(guān)解決問(wèn)題的有效方法. 8. 有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ） A. 甲與丙相互獨(dú)立 B. 甲與丁相互獨(dú)立 C. 乙與丙相互獨(dú)立 D. 丙與丁相互獨(dú)立 【答案】B 【解析】 【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷

7、 【詳解】 ， 故選：B 【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷是否成立 二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分. 9. 有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（ ） A. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B. 兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)相同 C. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D. 兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線(xiàn)性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，

8、結(jié)合已知線(xiàn)性關(guān)系可判斷B、D的正誤. 【詳解】A：且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤； B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤； C：，故方差相同，正確； D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確； 故選：CD 10. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B寫(xiě)出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤. 【詳解】A：，，所以，，故，正確； B：，，所以，同理，故不一定相等

9、，錯(cuò)誤； C：由題意得：，，正確； D：由題意得：， ，故一般來(lái)說(shuō)故錯(cuò)誤； 故選：AC 11. 已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（ ） A. 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離小于 B. 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離大于 C. 當(dāng)最小時(shí)， D. 當(dāng)最大時(shí)， 【答案】ACD 【解析】 【分析】計(jì)算出圓心到直線(xiàn)的距離，可得出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤. 【詳解】圓的圓心為，半徑為， 直線(xiàn)的方程為，即， 圓心到直線(xiàn)的距離為， 所以，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤； 如下圖所示： 當(dāng)

10、最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確. 故選：ACD. 【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線(xiàn)與半徑為的圓相離，圓心到直線(xiàn)的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍是. 12. 正三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則（ ） A. 當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值 B. 當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值 C. 當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得 D. 當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)； 對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線(xiàn)，進(jìn)而考慮體積是否為定值； 對(duì)于C，考慮借助向量的

11、平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)； 對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 【詳解】 易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）． 對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線(xiàn)段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確． 對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿(mǎn)足，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確． 故選

12、：BD． 【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)． 三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 13. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值. 【詳解】因?yàn)椋剩? 因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故， 時(shí)，整理得到， 故， 故答案為：1 14. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)_____. 【答案】 【解析】 【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果. 【詳解】拋物線(xiàn)： ()的焦點(diǎn), ∵P為上一

13、點(diǎn)，與軸垂直， 所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)方程求得P的縱坐標(biāo)為, 不妨設(shè), 因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)， 又， 因?yàn)?，所? ， 所以的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 故答案為：. 【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵. 15. 函數(shù)的最小值為_(kāi)_____. 【答案】1 【解析】 【分析】由解析式知定義域?yàn)椋懻?、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值. 【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋? ∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增； 又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)， ∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增； ∴ 故答案為：

14、1. 16. 某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)_____；如果對(duì)折次，那么______. 【答案】 (1). 5 (2). 【解析】 【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果. 【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位； 故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同

15、規(guī)格； （2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過(guò)程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想， 設(shè)， 則， 兩式作差得： ， 因此，. 故答案為：；. 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法： （1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解； （2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和； （3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法； （4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和. 四

16、?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟. 17. 已知數(shù)列滿(mǎn)足， （1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求的前20項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可求的通項(xiàng). （2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得的前項(xiàng)和為可化為，利用（1）的結(jié)果可求. 【詳解】（1）由題設(shè)可得 又，， 故，即，即 所以為等差數(shù)列，故. （2）設(shè)的前項(xiàng)和為，則， 因?yàn)椋? 所以 . 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)

17、公式、求和公式等來(lái)求解問(wèn)題. 18. 某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān). （1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列； （2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪

18、類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）類(lèi)． 【解析】 【分析】（1）通過(guò)題意分析出小明累計(jì)得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類(lèi)似，找出先回答類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可． 【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，． ； ； ． 所以的分布列為 （2）由（1）知，． 若小明先回答問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，． ； ； ． 所以． 因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類(lèi)問(wèn)題． 19. 記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，. （1）證明：； （2）若，求. 【

19、答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論. （2）由題設(shè)，應(yīng)用余弦定理求、，又，可得，結(jié)合已知及余弦定理即可求. 【詳解】 （1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得證. （2）由題意知：， ∴，同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，； 綜上，. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，根據(jù)余弦定理及得到的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求. 20. 如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn). （1）證明：； （2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角

20、形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積. 【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2) 【解析】 分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AO⊥平面BCD，即可證得結(jié)果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結(jié)果. 【詳解】（1）因?yàn)锳B=AD,O為BD中點(diǎn)，所以AO⊥BD 因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD， 因此AO⊥平面BCD， 因?yàn)槠矫鍮CD，所以AO⊥CD (2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,連FM 因?yàn)锳O⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD 所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC

21、 因?yàn)镕M⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF 則為二面角E-BC-D的平面角, 因?yàn)?為正三角形,所以為直角三角形 因?yàn)? 從而EF=FM= 平面BCD, 所以 【點(diǎn)睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線(xiàn)定理法，三是垂面法，四是投影法. 21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為. （1）求的方程； （2）設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)的兩條直線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用雙曲線(xiàn)的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線(xiàn)的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程； （2）設(shè)點(diǎn)，

22、設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程，列出韋達(dá)定理，求出的表達(dá)式，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，同理可得出的表達(dá)式，由化簡(jiǎn)可得的值. 【詳解】因?yàn)椋? 所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支， 設(shè)軌跡的方程為，則，可得，， 所以，軌跡的方程為； （2）設(shè)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率不存在，此時(shí)該直線(xiàn)與曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)， 不妨直線(xiàn)的方程為，即， 聯(lián)立，消去并整理可得， 設(shè)點(diǎn)、，則且. 由韋達(dá)定理可得，， 所以，， 設(shè)直線(xiàn)的斜率為，同理可得， 因?yàn)?，即，整理可得? 即，顯然，故. 因此，直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之和為. 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種： （1）從特殊入手，求

23、出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)； （2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值． 22. 已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：. 【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析. 【解析】 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)，原不等式等價(jià)于，前者可構(gòu)建新函數(shù)，利用極值點(diǎn)偏移可證，后者可設(shè)，從而把轉(zhuǎn)化為在上的恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可證明該結(jié)論成立. 【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋? 又， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為. （2）因?yàn)?，故，即? 故， 設(shè)，由（1）可知不妨設(shè). 因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，， 故. 先證：， 若，必成立. 若， 要證：，即證，而， 故即證，即證：，其中. 設(shè)， 則， 因?yàn)椋?，故? 所以，故在為增函數(shù)，所以， 故，即成立，所以成立， 綜上，成立. 設(shè)，則， 結(jié)合，可得：， 即：，故， 要證：，即證，即證， 即證：，即證：， 令， 則， 先證明一個(gè)不等式：. 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故， 故成立 由上述不等式可得當(dāng)時(shí)，，故恒成立， 故在上為減函數(shù)，故， 故成立，即成立. 綜上所述，.