2021年全國高考乙卷數學（文）試題（解析版）

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1、2021年高考全國統(tǒng)一考試（文科數學）一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 已知全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2. 設，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意結合復數的運算法則即可求得z的值.【詳解】由題意可得：.故選：C.3. 已知命題命題，則下列命題中為真命題的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦函數的有界性確定命題的真假性，由指數函數的知識確定命題的真假性

2、，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、為假命題.故選：A4. 函數的最小正周期和最大值分別是（ ）A. 和B. 和2C. 和D. 和2【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，結合三角函數周期性和值域求得函數的最小正周期和最大值.【詳解】由題，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C5. 若滿足約束條件則的最小值為（ ）A. 18B. 10C. 6D. 4【答案】C【解析】【分析】由題意作出可行域，變換目標函數為，數形結合即可得解.詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉換目標函數為，上下平移直線，數形結

3、合可得當直線過點時,取最小值，此時.故選：C.6. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.7. 在區(qū)間隨機取1個數，則取到的數小于的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據幾何概型的概率公式即可求出.【詳解】設“區(qū)間隨機取1個數”，對應集合為： ，區(qū)間長度為，“取到的數小于”， 對應集合為：，區(qū)間長度為，所以故選：B8. 下列函數中最小值為4的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據二次函數的性質可判斷選項不符合題意，再根據基本不等式“一正二定三相等”，

4、即可得出不符合題意，符合題意【詳解】對于A，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數定義域為，而，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，函數定義域為，而且，如當，D不符合題意故選：C9. 設函數，則下列函數中為奇函數的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分別求出選項的函數解析式，再利用奇函數的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數；對于B，是奇函數；對于C，定義域不關于原點對稱，不是奇函數；對于D，定義域不關于原點對稱，不是奇函數.故選：B10

5、. 在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，所以.故選：D11. 設B是橢圓上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】設點，由依題意可知，再根據兩點間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數的性質求出最大值【詳解】設點，因為，所以，而，所以當時，的最大值為故選：A12. 設，若為函數的極大值點，則（ ）A. B. C

6、. D. 【答案】D【解析】【分析】先考慮函數的零點情況，注意零點左右附近函數值是否編號，結合極大值點的性質，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.當時，由時，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數的圖象與性質，利用數形結合的數學思想方法可以快速解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知向

7、量，若，則_【答案】【解析】【分析】利用向量平行充分必要條件得到關于的方程，解方程即可求得實數的值.【詳解】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.14. 雙曲線右焦點到直線的距離為_【答案】【解析】【分析】先求出右焦點坐標，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：15. 記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，則_【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式可得，再結合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.16. 以圖為正視圖，在圖中選兩個分別作為側視圖和俯視

8、圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意結合所給圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側視圖為，俯視圖為，如圖所示，長方體中，分別為棱的中點，則正視圖，側視圖，俯視圖對應的幾何體為三棱錐.故答案為：.三、解答題共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據要求作答（一）必考題：共60分17. 某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產

9、品該項指標數據如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】（1）；（2）新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.【解析】【分析】（1）根據平均數和方差的計算方法，計算出平均數和方差.（2）根據題目所給判斷依據，結合（1）的

10、結論進行判斷.【詳解】（1），.（2）依題意，所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知識可知，由相似比可求出，再根據四棱錐的體積公式即可求出【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面（2）由（1）可知，平面，所以，從而，設，則，即，解得，所以因為底面，故四棱錐的體積為19. 設是首項為1

11、的等比數列，數列滿足已知，成等差數列（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】利用等差數列的性質及得到，解方程即可；利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】因為是首項為1的等比數列且，成等差數列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.20. 已知拋物線的焦點F到準線的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設，由平面向量的知

12、識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當時，；當時，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.21. 已知函數（1）討論的單調性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標【答案】(1)答案見解析；(2) 和.【解析】【分析】(1)首先求得導函數的解析式，然后分類討論導函數的符號即可確定原函數的單調性；(2)首先求得導數過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據此即可

13、求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數的解析式可得：，導函數的判別式，當時，在R上單調遞增，當時，的解為：，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增；綜上可得：當時，在R上單調遞增，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減. (2)由題意可得：，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.（二）選考題:共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做則按所做的第一題計分選修4-4:坐標系與參數方程22.

14、在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1（1）寫出的一個參數方程;（2）過點作的兩條切線以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程【答案】（1），（為參數）；（2）或.【解析】【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數方程；（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.【詳解】（1）由題意，的普通方程為，所以的參數方程為，（為參數）（2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得或選修45:不等式選講23. 已知函數（1）當時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，表示數軸上的點到和的距離之和，則表示數軸上的點到和的距離之和不小于，當或時所對應的數軸上的點到所對應的點距離之和等于6，數軸上到所對應的點距離之和等于大于等于6得到所對應的坐標的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，當且僅當時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.