專題測(cè)試練習(xí)題 正余弦定理及其應(yīng)用

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1、專題07 正余弦定理及其應(yīng)用【自主熱身,歸納總結(jié)】 1、在ABC中,設(shè)a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,若a5,A,cosB,c_.【答案】： 7【解析】：因?yàn)閏osB,所以B(0,),從而sinB,所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB,又由正弦定理得,即,解得c7. 2、在ABC中,已知AB1,AC,B45,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】： 【解析】：在ABC中,已知c1,b,B45,由余弦定理b2a2c22accosB,得a2a10.因?yàn)閍0,所以a,即BC. 已知兩條邊以及一個(gè)角,研究第三邊的問(wèn)題的本質(zhì)是三邊一角,所以應(yīng)用余弦定理是最直接的方法,它要比應(yīng)用正弦定理來(lái)得方便

2、、快捷 3、 在中,若,則的值為 【答案】【解析】由正弦定理得,不妨設(shè)則由余弦定理得.【課本探源】（必修5第26頁(yè)第10題）在三角形中,若則角等于 4、在銳角ABC中,若ABC的面積為,則的長(zhǎng)是 【答案】、 【解析】： 因?yàn)?由,解得,因?yàn)槭窃阡J角中,所以（或求出銳角,再求）,在銳角中,由余弦定理得：,所以,即.5、在中,已知,且的面積為,則邊長(zhǎng)為 【答案】：76、在ABC中,已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若bsinAsinBacos2B2c,則的值為_(kāi)【答案】：. 2【解析】：由正弦定理得,sinBsinAsinBsinAcos2B2sinC,即sinA(sin2Bcos2B)2

3、sinC,即sinA2sinC,再由正弦定理得,2.7、在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,則 .【答案】：4【思路分析】本題第一步應(yīng)將的條件化成正余弦的等式；第二步由于本題求是的三角形邊長(zhǎng),所以將三角函數(shù)值等式轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的等式；第三步：再結(jié)合解方程組即可.【解析】：解法一：由可得：,即,所以有,即由正、余弦定理可得：,即,又所以,即.解法二：也可在, 用余弦定理可得,解得,下同解法一.8、 在ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.已知ac2b,sinBsinC,則cosA_.【答案】【解析】：由sinBsinC得bc.又因?yàn)閍c2b,所以ac,因此cosA9、設(shè)A

4、BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,則cosA_【答案】、 10、設(shè)的內(nèi)角,的對(duì)邊分別是,且滿足,則 【答案】;. 4 解法1（正弦定理） 根據(jù)正弦定理可得,即,又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?所以所以,則解法2（射影定理） 因?yàn)榧翱傻?注意到,兩式相除可得,再由正弦定理可得解后反思：解三角形問(wèn)題中若等式既有三角函數(shù)又有邊,則可以考慮利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為只含有邊或只含有三角函數(shù)的等式處理.解法2則利用了三角形中的射影定理（教材必修5p17練習(xí)5）結(jié)合條件整體處理.11、在ABC中,BC=,AC=1,以AB為邊作等腰直角三角形ABD（B為直角頂點(diǎn),C、D兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)）當(dāng)變化時(shí),線

5、段CD長(zhǎng)的最大值為 【答案】3思路分析 要求的長(zhǎng),只需將表示為的函數(shù)形式,然后應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)求它的最大值則可,因此在中應(yīng)用余弦定理可得,再在中分別應(yīng)用正弦定理、余弦定理得及,故,由此可得結(jié)果【解析】：在中,由正弦定理得,由余弦定理得在中,由余弦定理得,故,即【問(wèn)題探究,變式訓(xùn)練】例1、.如圖,在ABC中,D是BC上的一點(diǎn)已知B60,AD2,AC,DC,則AB_. 【答案】【解析】：在ACD中,因?yàn)锳D2,AC,DC,所以cosADC,從而ADC135,所以ADB45.在ADB中,所以AB 【變式1】、如圖,在ABC中,AB3,AC2,BC4,點(diǎn)D在邊BC上,BAD45,則tanCAD的值為

6、_【答案】【解析】： 從構(gòu)造角的角度觀察分析,可以從差的角度(CADA45),也可以從和的角度(ACAD45),所以只需從余弦定理入手求出A的正切值,問(wèn)題就迎刃而解了解法1 在ABC中,AB3,AC2,BC4,由余弦定理可得cosA,所以tanA,于是tanCADtan(A45).解法2 由解法1得tanA.由tan(45CAD)得,即,解得tanCAD.【變式2】、ABCD(第15題)如圖,在中,已知點(diǎn)在邊上,（1）求的值；（2）求的長(zhǎng)【解析】：（1）在中,所以同理可得, 所以【變式3】、如圖,在梯形ABCD中,已知ADBC,AD1,BD2,CAD,tanADC2.(1) 求CD的長(zhǎng)；(2)

7、 求BCD的面積【解析】： (1)因?yàn)閠anADC2,且ADC(0,),所以sinADC,cosADC.所以sinACDsin sin sinADCcoscosADCsin ,(6分)在ADC中,由正弦定理得CD(2) 因?yàn)锳DBC, 所以cosBCDcosADC,sinBCDsinADC在BDC中,由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosBCD,得BC22BC350,解得BC7, (12分)所以SBCDBCCDsinBCD77.【變式4】、如圖,在四邊形ABCD中,已知AB13,AC10,AD5,CD,50.(1) 求cosBAC的值；(2) 求sinCAD的值；(3) 求BAD的面積

8、 【解析】： (1) 因?yàn)閏osBAC,所以cosBAC.(2) 在ADC中,AC10,AD5,CD.由余弦定理,得cosCAD.因?yàn)镃AD(0,),所以sinCAD.(3) 由(1)知,cosBAC.因?yàn)锽AC(0,),所以sinBAC.從而sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosBACsinCAD .所以SBADABADsinBAD135 28.【關(guān)聯(lián)1】、中,點(diǎn)在邊上,且,:k:,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 【答案】：(,)【解析】：解法一：因?yàn)镈C2BD,所以有,即,所以有,又ABADAC3k1,可設(shè),所以,即,所以.【關(guān)聯(lián)2】、 在ABC中,已知AC3,A45,點(diǎn)

9、D滿足2,且AD,則BC的長(zhǎng)為_(kāi) 【答案】3 【解析】： 由2可得點(diǎn)D為線段CB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn),作CEAB,DFAB,在RtACE中先求出AECE,再在RtBCE中根據(jù)求出DF,進(jìn)而求出AF,EF,FB,然后根據(jù)勾股定理或余弦定理求BC的長(zhǎng)度即可如圖,過(guò)點(diǎn)C作CEAB,DFAB,垂足分別為E,F.在RtACE中,因?yàn)锳C3,A45,所以AECE.因?yàn)?,所以,從而DFCE.在RtADF中,AD,所以AF ,EFAFAE.因?yàn)?,所以,從而B(niǎo)FEF,BEBFEF.解法1 在RtBCE中,BC3.解法2 所以AB3,所以在ABC中,由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosBAC,所

10、以BC29182339,所以BC3.【關(guān)聯(lián)3】、. 在ABC中,D為邊AC上一點(diǎn),ABAC6,AD4,若ABC的外心恰在線段BD上,則BC_.【答案】3【解析】： 本題要求BC的長(zhǎng),關(guān)鍵是要求出BAC,找出線段的比例關(guān)系,建立方程,從而求出BC的長(zhǎng)解法2 如圖2,設(shè)BAC2,外接圓的半徑為R,由SABOSADOSABD,得6Rsin4Rsin64sin2,化簡(jiǎn)得24cos5R.在RtAFO中,Rcos3,聯(lián)立解得R,cos,所以sin,所以BC2BE2ABsin123.圖1圖2圖3解法3 如圖3,延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線,垂足為F,則,.又DFAE,則,所以.設(shè)OEx,則AE5

11、x,所以O(shè)BOA4x,所以BEx.又因?yàn)?5x215x236,所以x3,所以BC2BE3.例2、 在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a23b23c22bcsinA,則C_.【答案】. 【解析】：因?yàn)閍23b23c22bcsinAb2c22bccosA,所以sinAcosA2sin.又22(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào)),2sin2當(dāng)且僅當(dāng)A時(shí)取等號(hào),故2sin2,所以bc,A,故C.解后反思 本題中對(duì)所得條件“sinAcosA”出現(xiàn)無(wú)法轉(zhuǎn)化的現(xiàn)象這里需要借助三角函數(shù)有界性以及基本不等式得到兩個(gè)方程求出b,c,A.【變式1】、 在ABC中,已知AB,C,則的最大值為_(kāi)【答案】：. 【解析

12、】：因?yàn)锳B,C,設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,所以由余弦定理得3a2b22abcosa2b2abab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立,又abcosCab,所以當(dāng)ab時(shí),()max.【變式2】、 在ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2b22c28,則ABC面積的最大值為_(kāi)【答案】： 【解析】：思路分析1 注意到a2b22c28中a,b是對(duì)稱的,因此,將三角形的面積表示為SabsinC,利用余弦定理將ab表示為C的形式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來(lái)求它的最值思路分析2 將c看作定值,這樣,滿足條件的三角形就有無(wú)數(shù)個(gè),從而來(lái)研究點(diǎn)C所滿足的條件,為此,建立直角坐標(biāo)系,從而根據(jù)條件a2b22c

13、28得到點(diǎn)C的軌跡方程,進(jìn)而來(lái)求出邊AB上的高的所滿足的條件解法1 因?yàn)閏osC,所以ab,從而SabsinC.設(shè)t,則3t2sinC2tcosC2sin(C),其中tant,故3t2,解得t,所以Smax,當(dāng)且僅當(dāng)ab且tanC時(shí),等號(hào)成立解法2 以AB所在的直線為x軸,它的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則A,B,C(x,y),則由a2b22c28得2y22y22c28,即x2y24,即點(diǎn)C在圓x2y24上,所以Sr,當(dāng)且僅當(dāng)c2時(shí)取等號(hào),故Smax.解法3 設(shè)ADm,BDn,CDh,由a2b22c28,得m2h2n2h22(mn)28(mn)22h22(mn)2(mn)22h

14、22(mn)h,當(dāng)且僅當(dāng)hmn時(shí)取等號(hào),所以S(mn)h,所以面積的最大值為.解法4 由余弦定理a2b2c22abcosC,結(jié)合a2b22c28,得83c22abcosC,由三角形面積公式得4S2absinC,兩式平方相加得,(83c2)216S24a2b2(a2b2)2(82c2)2,即16S2c2(165c2),所以S2,所以S,當(dāng)且僅當(dāng)ab,c2時(shí)取等號(hào),所以面積的最大值為.解后反思 解法1是從將面積表示為角C的形式來(lái)加以思考的,而解法2則是將面積表示為邊c的形式來(lái)加以思考的這兩種解法都基于一點(diǎn),即等式a2b22c28中的a,b是對(duì)稱關(guān)系解法2則是從運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)加以思考的,這體現(xiàn)了三

15、角函數(shù)與【解析】幾何之間的千絲萬(wàn)鏤的關(guān)系解法1是一種常規(guī)的想法,是必須要認(rèn)真體會(huì)的,而解法2就需要學(xué)生能充分地認(rèn)識(shí)知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系本題對(duì)學(xué)生的知識(shí)的應(yīng)用要求、思考問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力要求都比較高【關(guān)聯(lián)】、如圖,某生態(tài)園將三角形地塊ABC的一角APQ開(kāi)辟為水果園種植桃樹(shù),已知角A為120,AB,AC的長(zhǎng)度均大于200 m,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆(1) 若圍墻AP,AQ的總長(zhǎng)度為200 m,如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？(2) 已知AP段圍墻高1 m,AQ段圍墻高1.5 m,造價(jià)均為每平方米100元若圍圍墻用了20 000元,問(wèn)如何圍可使竹籬笆用料最省

16、？【解析】：(1) 設(shè)APx m,AQy m,則xy200,x0,y0.APQ的面積Sxysin120xy.因?yàn)閤y210 000,當(dāng)且僅當(dāng)xy100時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)APAQ100 m時(shí),可使三角形地塊APQ的面積最大(2) 由題意得100(1x1.5y)20 000,即x1.5y200在APQ中,PQ2x2y22xycos120x2y2xy.即PQ2(2001.5y)2y2(2001.5y)yy2400y40 000,其中0y0.(5分)所以cosC,(6分)所以C.(7分)(2) 因?yàn)锳BC的面積為2,所以absinC2,所以ab.(8分)由(1)知C,所以sinC,所以ab8.(9分)又因

17、為b2a,解得a2,b4,所以c2a2b22abcosC224222428,(13分)所以c2.(14分) 對(duì)于三角函數(shù)問(wèn)題,在解題中要注意解題的規(guī)范性、嚴(yán)謹(jǐn)性,否則,就會(huì)因?yàn)榻忸}不規(guī)范而導(dǎo)致失分一般地,要注意以下幾個(gè)方面：一是在應(yīng)用三角公式時(shí),要注意展示公式的過(guò)程；二是在等式兩邊同除以一個(gè)代數(shù)式時(shí),要注意判斷它是否為0；三是在研究角的關(guān)系時(shí),要注意角的范圍【變式1】、在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且cosA,tan(BA).(1) 求tanB的值；(2) 若c13,求ABC的面積【解析】：(1) 在ABC中,由cosA,得A為銳角,所以sinA,所以tanA,所以tanB

18、tan(BA)A3.(2) 在ABC中,由tanB3,得sinB,cosB.(8分)所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.由正弦定理,得b15,所以ABC的面積SbcsinA151378.【變式2】、在ABC中,已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且tanB2,tanC3.(1) 求角A的大小；(2) 若c3,求b的長(zhǎng)【解析】： (1) 因?yàn)閠anB2,tanC3,ABC,所以tanAtan(BC)tan(BC)1.又A(0,),所以A.(2) 因?yàn)閠anB2,且sin2Bcos2B1,又B(0,),所以sinB.同理可得sinC. 由正弦定理,得b2.【變式3】、

19、在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,(abc)(abc)ab.(1) 求角C的大小；(2) 若c2acosB,b2,求ABC的面積【解析】(1) 在ABC中,由(abc)(abc)ab,得,即cosC因?yàn)?C,所以C.(2) 解法1 因?yàn)閏2acosB,由正弦定理,得sinC2sinAcosB因?yàn)锳BC,所以sinCsin(AB),所以sin(AB)2sinAcosB,即sinAcosBcosAsinB0,即sin(AB)0,又AB0,所以c2.解后反思 在ABC中,結(jié)論cacosBbcosA稱為“一般三角形射影定理”其幾何意義(也是記憶方法)是：三角形一邊的長(zhǎng)度等于另兩邊在這條

20、邊上的射影之和【關(guān)聯(lián)2】、在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知c2,C. (1) 若ABC的面積等于,求a,b；(2) 若sin Csin(BA)2sin 2A,求ABC的面積. 【解析】 (1) 由余弦定理及已知條件得a2b2ab4又因?yàn)锳BC的面積等于,所以absinC,得ab4.聯(lián)立方程組解得a2,b2.【關(guān)聯(lián)3】、在斜三角形ABC中,tanAtanBtanAtanB1.(1) 求C的值；(2) 若A15,AB,求ABC的周長(zhǎng)【解析】 (1) 解法1 因?yàn)閠anAtanBtanAtanB1,即tanAtanB1tanAtanB,因?yàn)樵谛比切蜛BC中,1tanAtanB

21、0,所以tan(AB)1,即tan(180C)1,即tanC1,因?yàn)?C180,所以C135.解法2 由tanAtanBtanAtanB1得1,化簡(jiǎn)得sinAcosBsinBcosAsinAsinBcosAcosB,即sin(AB)cos(AB),所以sinCcosC,因?yàn)樾比切蜛BC,所以C,=(2) 在ABC中,A15,C135,則B180AC30.由正弦定理得2,故BC2sin152sin(4530)2(sin45cos30cos45sin30),CA2sin301.所以ABC的周長(zhǎng)為ABBCCA1.易錯(cuò)警示 第1問(wèn)中容易在兩個(gè)地方不規(guī)范而導(dǎo)致失分,一是不說(shuō)明1tanAtanB0而扣分

22、；二是由tanC1,不說(shuō)明角度范圍而扣分例4、已知ABC的面積為S,且S.(1) 求sinA；(2) 若|3,|2,求sinB.【解析】： (1) 設(shè)ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.因?yàn)锳BC的面積為S,且S,所以bccosAbcsinA,所以sinAcosA,所以A為銳角,且sin2Acos2Asin2Asin2Asin2A1,所以sinA.(2) 因?yàn)閨c3,|a2,由正弦定理得,即,所以sinC.又因?yàn)閏a,所以C為銳角,所以C,所以sinBsinsinAcoscosAsin(12分). 在求三角函數(shù)值或角的大小時(shí),要特別注意角的范圍,除已知條件中給出的限制條件外,還要注意所

23、給的三角函數(shù)值對(duì)角的范圍的限制另外,要注意邊的大小關(guān)系對(duì)角的范圍的限制如本題(1)中求sinA和(2)中求C.【變式1】、在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sinAcos21,D為BC上一點(diǎn),且. (1) 求sinA的值；(2) 若a4,b5,求AD的長(zhǎng)【解析】 (1) 因?yàn)閟inAcos21,所以sinA1,即2sinAcosA1,所以(2sinA1)2cos2A,即5sin2A4sinA0.因?yàn)锳(0,),所以sinA0,所以sinA,cosA.(2) 在ABC中,a2b2c22bccosA,所以3225c225c,即c26c70,解得c7因?yàn)?所以2c2b2bccosA

24、257525,所以AD5【變式2】、在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bcosCccosB2acosA.(1) 求角A的大?。?2) 若,求ABC的面積【解析】1) 解法1 在ABC中,由正弦定理及bcosCccosB2acosA,得sinBcosCsinCcosB2sinAcosA,即sinA2sinAcosA,因?yàn)锳(0,),所以sinA0,所以cosA,所以A.解法2 在ABC中,由余弦定理及bcosCccosB2acosA,得bc2a,所以a2b2c2bc,所以cosA,因?yàn)锳(0,),所以A.(2) 由cbcosA,得bc2,所以ABC的面積為SbcsinA2sin

25、60.【變式3】、已知向量m(cosA,sinA),n(cosB,sinB),mncos2C,其中A,B,C為ABC的內(nèi)角(1) 求角C的大??；(2) 若AB6,且18,求AC,BC的長(zhǎng)【解析】(1) 因?yàn)閙ncosAcosBsinAsinBcos(AB)cosC,所以cosCcos2C,即2cos2CcosC10故cosC或cosC1(舍)又0C0,A(0,),所以A,sinA.(10分)因?yàn)閟inAsinB,所以ab,從而AB,B為銳角,cosB.(12分)所以cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB.(14分)【關(guān)聯(lián)1】、已知ABC的面積為S,且|22S.(1) 求B的大小

26、；(2) 若S,且|1,試求ABC最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.因?yàn)閨22S,所以a2bacosCabsinC,(2分)所以abcosCbsinC.由正弦定理得sinAsinBcosCsinBsinC.(4分)在ABC中,sinAsin(BC),sinC0,B(0,),(6分)所以sinBcosCcosBsinCsinBcosCsinbsinC,所以cosBsinCsinBsinC,所以cosBsinB,tanB1,(8分)所以B.(9分)(2) 因?yàn)閎1,B,S,所以acsinB.(10分)由余弦定理得1a2c22ac.(11分)解得a1,c或a,c1.(13分)所以最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度為.(14分)【關(guān)聯(lián)2】、在ABC中,已知9,16.求：(1) AB的值；(2) 的值 【解析】(1) 解法1 因?yàn)?,16,所以91625,即()25,亦即225,故AB5.解法2 設(shè)A,B,C的對(duì)邊依次為a,b,c.則由條件得bccosA9,accosB16.兩式相加得c(bcosAacosB)91625,即c225,故ABc5. (7分)解法3 設(shè)A,B,C的對(duì)邊依次為a,b,c.則由條件得bccosA9,accosB16.由余弦定理得(b2c2a2)9,(c2a2b2)16.兩式相加得c225,故ABc5.(2) .由正弦定理得.