2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

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1、2021年高考全國統(tǒng)一考試（理科數(shù)學(xué)） 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 設(shè)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù). 【詳解】設(shè)，則，則， 所以，，解得，因此，. 故選：C. 2. 已知集合，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論. 【詳解】任取，則，其中，所以，，故， 因此，. 故選：C

2、. 3. 已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項(xiàng). 【詳解】由于，所以命題為真命題； 由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題； 所以為真命題，、、為假命題. 故選：A． 4. 設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可. 【詳解】由題意可得， 對于A，不是奇函數(shù)； 對于B，是奇函數(shù)；

3、 對于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)； 對于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù). 故選：B 5. 在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可. 【詳解】 如圖，連接，因?yàn)椤危? 所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角， 因?yàn)槠矫?，所以，又，? 所以平面，所以， 設(shè)正方體棱長為2，則， ，所以. 故選：D 6. 將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配

4、1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ） A. 60種 B. 120種 C. 240種 D. 480種 【答案】C 【解析】 【分析】先確定有一個項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得. 【詳解】根據(jù)題意，有一個項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項(xiàng)目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案， 故選：C. 7. 把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，

5、縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達(dá)式； 解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式. 【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象， 根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以， 令,則, 所以,所以； 解法二：由已知的函數(shù)逆向變換， 第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象

6、， 第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象， 即為的圖象，所以. 故選：B. 8. 在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，分別求出對應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出． 【詳解】如圖所示： 設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)椋涿娣e為． 設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，即圖中的陰影部分，其面積為，所以． 故選：B.

7、9. 魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ） A. 表高 B. 表高 C. 表距 D. 表距 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出． 【詳解】如圖所示： 由平面相似可知，，而，所以 ，而， 即＝． 故選：A. 10. 設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考慮函

8、數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否編號，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng). 【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故. 有和兩個不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的. 當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故. 當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故. 綜上所述，成立. 故選：D 【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答. 11. 設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，

9、則的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可． 【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所? ， 因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即； 當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值． 12. 設(shè)，，．則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不

10、難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系. 詳解】, 所以; 下面比較與的大小關(guān)系. 記,則,， 由于 所以當(dāng)00時(shí),, 所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b

11、調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13. 已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________． 【答案】4 【解析】 【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解. 【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時(shí)平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距. 故答案為：4. 【點(diǎn)睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計(jì)算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵. 14. 已知向量，若，則__________． 【答案】 【解析】

12、【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出． 【詳解】因?yàn)?，所以由可得? ，解得． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)， ，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分． 15. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解. 【詳解】由題意，， 所以， 所以，解得（負(fù)值舍去）. 故答案為：. 16. 以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依

13、次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）． 【答案】③④（答案不唯一） 【解析】 【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可. 【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④， 如圖所示，長方體中，， 分別為棱的中點(diǎn)， 則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐. 故答案為：③④. 【點(diǎn)睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系. 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共

14、60分． 17. 某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下： 舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和． （1）求，，，； （2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為

15、新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）． 【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高. 【解析】 【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差. （2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷. 【詳解】（1）， ， ， . （2）依題意，，， ，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高. 18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別

16、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長； （2）求出平面、法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果. 【詳解】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則、、、、， 則，， ，則，解得，故； （2）設(shè)平面的法向量為，則，， 由，取，可得， 設(shè)平面的法向量為，，， 由，取，可得， ， 所以，， 因此，二面角的正弦值為. 19. 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知． （1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列; （2）求的通項(xiàng)公式． 【答案】（1）證明見解

17、析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列; （2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得. 【詳解】（1）由已知得,且，, 取,由得, 由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列; （2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列， , , 當(dāng)n=1時(shí)，, 當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對于n=1不成立, ∴. 【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，數(shù)列的前n項(xiàng)積與項(xiàng)的關(guān)系，其

18、中由,得到，進(jìn)而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前n項(xiàng)和，積與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，消和（積）得到項(xiàng)（或項(xiàng)的遞推關(guān)系），或者消項(xiàng)得到和（積）的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法. 20. 設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)． （1）求a； （2）設(shè)函數(shù)．證明:． 【答案】（1）；（2）證明見詳解 【解析】 【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)； （2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解 【詳解】（1）由，， 又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得； （2）由（1）得，，且， 當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡得； 同理，當(dāng)時(shí)，要證，

19、， ，即證，化簡得； 令，再令，則，， 令，， 當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故； 當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故； 綜上所述，在恒成立 21. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為． （1）求； （2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值； （2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值. 【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為

20、，， 所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得； （2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得， 設(shè)點(diǎn)、、， 直線的方程為，即，即， 同理可知，直線的方程為， 由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則， 所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程， 所以，直線的方程為， 聯(lián)立，可得， 由韋達(dá)定理可得，， 所以，， 點(diǎn)到直線的距離為， 所以，， ， 由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值. （二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 22. 在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1． （1）寫出的一個參數(shù)

21、方程; （2）過點(diǎn)作的兩條切線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程． 【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程； （2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡即可. 【詳解】（1）由題意，的普通方程為， 所以參數(shù)方程為，（為參數(shù)） （2）由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即， 由圓心到直線的距離等于1可得， 解得，所以切線方程為或， 將，代入化簡得 或 [選修4-5：不等式選講]（10分） 23. 已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集; （2）若，求a的取值范圍． 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集. （2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍. 【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和， 則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于， 當(dāng)或時(shí)所對應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6， ∴數(shù)軸上到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或， 所以的解集為. （2）依題意，即恒成立， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，, 故， 所以或， 解得. 所以的取值范圍是.