材料力學(xué) 桿件的變形計算

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,第四章 桿件的變形計算,直桿在其軸線的外力作用下，縱向發(fā)生伸長或縮短變形，而其橫向變形相應(yīng)變細(xì)或變粗,第一節(jié) 拉（壓）桿的軸向變形,第四章 桿件的變形計算,,1,、桿的縱向總變形：,,3,、平均線應(yīng)變：,2,、線應(yīng)變：,,單位長度的線變形,,,a,b,c,d,L,P,P,d ′,a′,c′,b′,L,1,,,,4,、,x,點處的縱向線應(yīng)變：,6,、,x,點處的橫向線應(yīng)變：,5,、桿的橫向變形：,,,,二、拉壓桿的彈性定律,1,、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律,2,、變內(nèi)力拉壓桿的彈性定律,內(nèi)力在,n

2、,段中分別為常量時,※,“,EA,”,稱為桿的抗拉壓剛度。,P,P,N,(,x,),d,x,x,,,3,、單向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性定律,4,、泊松比（或橫向變形系數(shù)）,泊松比,ν,,、彈性模量,E,、切變模量,G,都是材料的彈性常數(shù)，可以通過實驗測得。對于各向同性材料，可以證明三者之間存在著下面的關(guān)系,,,公式的適用條件,,1,）線彈性范圍以內(nèi)，材料符合胡克定律,,2,）在計算桿件的伸長時，,l,長度內(nèi)其,F,N,、,A,、,l,均應(yīng)為常數(shù)，若為變截面桿或階梯桿，則應(yīng)進(jìn)行分段計算或積分計算。,,,是誰首先提出彈性定律,,,,彈性定律是材料力學(xué)等固體力學(xué)一個非常重要的基礎(chǔ)。一般認(rèn)為它是由英國科學(xué)家胡

3、克,(1635,一,1703),首先提出來的，所以通常叫做胡克定律。其實，在胡克之前,1500,年，我國早就有了關(guān)于力和變形成正比關(guān)系的記載。,東漢經(jīng)學(xué)家鄭玄,(127,—,200),對,《,考工記,·,弓人,》,中,“,量其力，有三均,”,作了 這樣的注釋：,“,假令弓力勝三石，引之中三尺，弛其弦，以繩緩擐之，每加物一石，則張一尺。,”,,(,圖,),,,,“,”,胡：請問，,弛其弦，以繩緩援之,是什么意思,?,,鄭：這是講測量弓力時，先將弓的弦,,松開，另外用繩子松松地套住弓,的兩端，然后加重物，測量。,,胡：我明白了。這樣弓體就沒有初始應(yīng)力，處于自,然狀態(tài)。,,,,,,,,,,,,,,,

4、,,,,,,,,,,鄭：后來，到了唐代初期，賈公彥對我的注釋又作,了注疏，他說：,鄭又云假令弓力勝三石，引之,中三尺者，此即三石力弓也。,必知弓力三石者，當(dāng)弛其弦以繩緩擐之者，謂不張之，別以,繩系兩箭，乃加物一石張一尺、二石張二尺、三石張三,尺。,其中,”,“,兩蕭,就是指弓的兩端。,一條,,,“,胡：鄭老先生講,“,每加物一石，則張一尺,”,。和我講的完全是同一,個意思。您比我早,1500,中就記錄下這種正比關(guān)系，的確了不起，,和推測,》,一文中早就推崇過貴國的古代文化：,目前我們還只,是剛剛走到這個知識領(lǐng)域的邊緣，然而一旦對它有了充分的認(rèn),識，就將會在我們面,前展現(xiàn)出一個迄今為止只被人們神

5、話般,地加以描述的知識王國,”,。,1686,年,《,關(guān)于中國文字和語言的研究,真是令人佩服之至,』,我在,,,,例題,4-1,：,如圖所示階梯形直桿，已知該桿,AB,段橫截面面積,A,1,=800mm,2,，,BC,段橫截面面積,A,2,=240mm,2,，桿件材料的彈性模量,E,=200GPa,，求該桿的總伸長量。,,,,1,）求出軸力，并畫出軸力圖,2,）求伸長量,mm,伸長,縮短,縮短,,,,例題,4-2:,,已知：,l,= 54 mm,，,d,i,,= 15.3 mm,，,E,＝,200,GPa,，,,?,,= 0.3,，,擰緊后，,△,l,＝,0.04 mm,。,,,試,求,：(,

6、a),螺栓橫截面上的正應(yīng)力,,σ,,(b),螺栓的橫向變形,△,d,,,,解,：,1,),求,橫截面正應(yīng)力,2),,螺栓橫向變形,,螺栓直徑縮小,,0.0034 mm,l,= 54 mm,，,d,i,,= 15.3 mm,，,,E,＝,200,GPa,，,?,,= 0.3,，,,△,l,＝,0.04 mm,,,,例,4-3,節(jié)點位移問題,如圖所示桁架，鋼桿,AC,的橫截面面積,A,1,=960mm,2,，彈性模量,E,1,=200GPa,。木桿,BC,的橫截面面積,A,2,=25000mm,2,，長,1m,，彈性模量,E,2,=10GPa,。求鉸接點,C,的位移。,F,= 80,kN,。,,,

7、,分析,通過節(jié)點,C,的受力分析可以判斷,AC,桿受拉而,BC,桿受壓，,AC,桿將伸長，而,BC,桿將縮短。,因此，,C,節(jié)點變形后將位于,C,3,點,由于材料力學(xué)中的,小變形假設(shè),，可以近似用,C,1,和,C,2,處的圓弧的切線來代替圓弧（,以切代弧法,），得到交點,C,0,,,,[,解,],,1,）分析節(jié)點,C,,求,AC,和,BC,的軸力（均預(yù)先設(shè)為拉力）,拉,壓,伸長,縮短,,,,[,解,],2,）求,AC,和,BC,桿分別的變形量,,,,[,解,],3,）分別作,AC,1,和,BC,2,的垂線交于,C,0,C,點總位移：,(,此問題若用圓弧精確求解,),,第二節(jié) 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相

8、對扭轉(zhuǎn)角,,在談到圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的推導(dǎo)時，相距,,為,d,x,,的兩個相鄰截面之間有相對轉(zhuǎn)角,d,j,取,單位,長度扭轉(zhuǎn)角用來表示扭轉(zhuǎn)變形的大小,單位,長度扭轉(zhuǎn)角的單位,:,rad/m,抗扭剛度,越大，單位長度扭轉(zhuǎn)角越小,,在一段軸上，對單位長度扭轉(zhuǎn)角公式進(jìn)行積分，就可得到兩端相對扭轉(zhuǎn)角,j,。,相對扭轉(zhuǎn)角的單位,:,rad,當(dāng) 為常數(shù)時：,請注意單位長度扭轉(zhuǎn)角和相對扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別,同種材料階梯軸扭轉(zhuǎn)時,:,,,,,例,4-4,,,一受扭圓軸如圖所示，已知：,T,1,=1400N·m,，,T,2,=600N·m,，,T,3,=800N·m,，,d,1,=60mm,，,d,

9、2,=40mm,，剪切彈性模量,G=80GPa,，計算最大單位長度扭轉(zhuǎn)角。,,,,1,）根據(jù)題意，首先畫出扭矩圖,2,）,AB,段單位長度扭轉(zhuǎn)角：,3,）,BC,段單位長度扭轉(zhuǎn)角：,綜合兩段，最大單位扭轉(zhuǎn)角應(yīng)在,BC,段 為,0.03978,rad/m,,,,例,4-5,,圖示一等直圓桿，已知,d,=40mm,a,=400mm,G,=80GPa,,j,DB,=1,O,,,,求,: 1),最大切應(yīng)力,2,）,j,AC,,,,1,）畫出扭矩圖,2,）求最大切應(yīng)力,首先要求出,M,的數(shù)值,,,,,,,,,,第三節(jié) 梁的變形,,梁必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無法正

10、常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機(jī)床的主軸，則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度。,1,、梁的變形,,,,,,,梁在平面內(nèi)彎曲時，梁軸線從原來沿,x,軸方向的直線變成一條在,xy,,平面內(nèi)的曲線，該曲線稱為,撓曲線,。,,某截面的豎向位移，稱為該截面的,撓度,,某截面的法線方向與,x,軸的夾角稱為該截面的,轉(zhuǎn)角,,撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的,x,方向的位置有關(guān)，可以表示為關(guān)于,x,的函數(shù)。,撓度方程（撓曲線方程）,轉(zhuǎn)角方程,1,、梁的變形,第三節(jié) 梁的變形,,,,撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號規(guī)定,在圖示的坐標(biāo)系中，,撓度,w,,向上為正，向下為負(fù),。,轉(zhuǎn)角規(guī)

11、定截面法線與,x,,軸夾角，逆時針為正，順時針為負(fù),,,即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時轉(zhuǎn)角,q,為正。,1,、梁的變形,,,⑴坐標(biāo)系的建立：坐標(biāo)原點一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為,x,軸，向右為正；以,y,軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。,,⑵撓度的符號規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。,,⑶轉(zhuǎn)角的符號規(guī)定：逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正；,,順時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。,,,,撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系,1,、梁的變形,在小變形假設(shè)條件下,撓曲線的斜率（一階導(dǎo)數(shù)）近似等于截面的轉(zhuǎn)角,,,2,、撓曲線近似微分方程,純彎曲情況下 梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的關(guān)系是,:,橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁

12、的高度時，剪力對梁的變形可以忽略不計。但此時彎矩不再為常數(shù)。,高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于曲率的公式,在梁小變形情況下，,,,,2,、撓曲線近似微分方程,梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為,,,,用積分法求梁的彎曲變形,梁的撓曲線近似微分方程,對上式進(jìn)行一次積分,,,可得到轉(zhuǎn)角方程（等直梁,EI,為常數(shù)）,再進(jìn)行一次積分,,,可得到撓度方程,其中，,C,和,D,是積分常數(shù)，需要通過,邊界條件,或者,連續(xù)條件,來確定其大小。,,,邊界條件,：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。,,連續(xù)條件,：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉(zhuǎn)角

13、值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。,,積分常數(shù)與邊界條件、連續(xù)條件之間的關(guān)系：,,積分常數(shù),2n,個,=2n,個 邊界條件,+,連續(xù)條件,,,積分常數(shù)的物理意義和幾何意義,,物理意義：將,x=0,代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得,,即坐標(biāo)原點處梁的轉(zhuǎn)角，它的,EI,倍就是積分常數(shù),C,；坐標(biāo)原點處梁的撓度的,EI,倍就是積分常數(shù),D,。,,幾何意義：,C,——,轉(zhuǎn)角,,,D,——,撓度,,,,邊界條件,在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定,用積分法求梁的彎曲變形,,,,連續(xù)條件,在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等。若梁分為,n,段積分，則要出現(xiàn),2,n,個待定常數(shù)，總可找到,2,n,個相應(yīng)的

14、邊界條件或連續(xù)條件將其確定。,用積分法求梁的彎曲變形,,,,積分常數(shù),C,、,D,由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,－,彈簧變形,,利用積分法求梁變形的一般步驟,：,,⑴建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；,,⑵分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分兩次；,,⑶利用邊界條件，連續(xù)條件確定積分常數(shù)；,,⑷建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程；,,⑸計算指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意和及其所在截面。,,,,例,4-6,,,如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角 和撓度

15、 。,,用積分法求梁的彎曲變形,,,,（1）按照圖示坐標(biāo)系建立彎矩方程,,請同學(xué)們自己做一下（時間,:1,分鐘）,（2）撓曲線近似微分方程,（3）積分,用積分法求梁的彎曲變形,,,,（4）確定積分常數(shù) 由邊界條件,代入上面兩式,（5）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，將,C,、,D,的值代入方程,用積分法求梁的彎曲變形,,,,（6）求,B,點的撓度和轉(zhuǎn)角,在自由端 ，,x,,=,l,用積分法求梁的彎曲變形,,,,例,4-7,,,如圖所示，簡支梁受集中力,F,作用，已知,EI,為常量。試求,B,,端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。,用積分法求梁的彎曲變形,,,,（1）求約束反力,F,A,F,B,（2）列出彎矩方程,

16、AC,段,CB,段,（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在,C,點處分段，故應(yīng)對,AC,和,CB,分別計算,用積分法求梁的彎曲變形,,,,F,A,F,B,AC,段,CB,段,用積分法求梁的彎曲變形,,,,F,A,F,B,利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個積分常數(shù),AC,段,CB,段,邊界條件,:,連續(xù)條件,:,由于撓曲線在,C,點處是連續(xù)光滑的，,,因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等。 即,代入上面的式子,用積分法求梁的彎曲變形,,,,F,A,F,B,得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,AC,段,CB,段,（5）求,B,指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角,若,用積分法求梁的彎曲變形,,,,通過積分法我們可以求出梁任意

17、一截面上的撓度和轉(zhuǎn)角，但是當(dāng)載荷情況復(fù)雜時，彎矩方程分段就很多，導(dǎo)致出現(xiàn)大量積分常數(shù)，運(yùn)算較為繁瑣。而在工程中，較多情況下并不需要得出整個梁的撓曲線方程，只需要某指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角，或者梁截面的最大撓度和轉(zhuǎn)角，這時采用疊加法比積分法方便。,在桿件符合,線彈性、小變形,的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關(guān)。這樣,只要分別求出桿件上每個載荷單獨作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法,。,用疊加法求等截面梁的變形時，每個載荷作用下的變形可查,教材,78~79,頁表,4-2,計算得出。,疊加法求梁的變形,,,,

18、一、載荷疊加：,多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形 等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。,二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：,,,,結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法,),原理說明。,=,+,P,L,1,L,2,A,B,C,B,C,P,L,2,f,1,f,2,等價,等價,x,f,x,f,f,P,L,1,L,2,A,B,C,剛化,AC,段,P,L,1,L,2,A,B,C,剛化,BC,段,P,L,1,L,2,A,B,C,M,x,f,,,,查表時應(yīng)注意坐標(biāo)和載荷的方向、跨長及字符一一對應(yīng)。,疊加法求梁的變形,,,,例,4-8,,,求圖中所示梁跨中點的撓度及,A,點的轉(zhuǎn)角。已知

19、 ，梁的抗彎剛度,EI,為常數(shù),,。,疊加法求梁的變形,,,,=,+,疊加法求梁的變形,,,,例,4-9,,,如圖，梁的左半段受到均布載荷,q,的作用，求,B,,端的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度,EI,,為常數(shù),。,疊加法求梁的變形,,,,考慮其變形,:,,由于,CB,段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形，即,C,’B’,仍為直線。根據(jù)幾何關(guān)系可知：,由于在小變形的假設(shè)前提下,查表,:,代入上面的計算式,疊加法求梁的變形,,,,在使用疊加法求解梁的變形時，我們通常需要參考教材表,4-2,中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點的位移。,類似于外伸梁和其它

20、一些較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進(jìn)行位移的疊加計算，需要經(jīng)過分析和處理才能查表計算。,一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復(fù)雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進(jìn)行疊加來處理（,逐段剛化法,）。,疊加法求梁的變形,,,,例,4-10,,求圖示外伸梁的,C,截面的撓度轉(zhuǎn)角,EI,為常數(shù)。,疊加法求梁的變形,,,,怎樣應(yīng)用表,4,-2,中已有的結(jié)果？,,對梁進(jìn)行分段剛化，利用受力與變形等效的原則來處理,,首先剛化AB段，這樣BC段就可以作為一個懸臂梁來研究，,,再剛化BC段，由于BC段被剛化，可將作用于BC段的均布載荷簡化到B支座 ，得到一個力和一個力偶,,力,F,直接作用于支座，對梁的變形沒有影響，力偶,M,引起簡支梁,AB,的變形,。,疊加法求梁的變形,另外， 段上的均布載荷也將引起,AB,段變形。,,,,疊加法求梁的變形,,