【全程復(fù)習(xí)方略】20132014學(xué)年高中數(shù)學(xué) 3.1 變化的快慢與變化率配套多媒體教學(xué)優(yōu)質(zhì)課件 北師大版選修11

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,*,*,*,第三章 變化率與導(dǎo)數(shù),,§,1,變化的快慢與變化率,銀杏樹高,:15,米,,樹齡,:1 000,年,雨后春筍高,:15,厘米,,時間,:,兩天,世界上變化無處不在，如何刻畫事物變化的快慢呢？,﹤,1.,理解函數(shù)平均變化率及,瞬時變化率,的概念,.,,2.,會求給定函數(shù)在某個區(qū)間上的平均變化率及某一點(diǎn)的,瞬時變化率,.,（重點(diǎn)）,,3.,理解平均變化率,及瞬時變化率,的意義，能夠解釋生活中的現(xiàn)象,.,（難點(diǎn)）,探究點(diǎn),1,平均變化率定義,,問題（,1,）,物體從某一時刻開始運(yùn)動，設(shè),s,

2、表示此物體經(jīng)過時間,t,走過的路程，顯然,s,是時間,t,的函數(shù),,,表示為,s=s(t).,在運(yùn)動的過程中測得了一些數(shù)據(jù)，如表：,t(s),0,2,5,10,13,15,…,s(m),0,6,9,20,32,44,…,,物體在,0,～,2s,和,10,～,13s,這兩段時間內(nèi)，哪一段時間運(yùn)動得更快？如何刻畫物體運(yùn)動的快慢？,分析：,我們通常用平均速度來比較運(yùn)動的快慢,.,,在,0,～,2s,這段時間內(nèi)，物體的平均速度為,在,10,～,13s,這段時間內(nèi)，物體的平均速度為,顯然，物體在后一段時間比前一段時間運(yùn)動得快,.,問題（,2,）,某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示：,,,,,,,比較

3、時間,x,從,0 min,到,20 min,和從,20 min,到,30 min,體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？,y/(,o,C),x/min,0,10,20,30,40,50,60,70,36,37,38,39,分析：,根據(jù)圖像可以看出：,,當(dāng)時間,x,從,0 min,到,20 min,時，體溫,y,從,39,o,C,變?yōu)?,38.5,o,C,，下降了,0.5,o,C,；,,當(dāng)時間,x,從,20 min,到,30 min,時，體溫,y,從,38.5,o,C,變?yōu)?,38,o,C,，下降了,0.5,o,C.,,兩段時間下降相同的溫度，而后一段時間比前一段,,短，

4、所以后一段時間的體溫比前一段時間下降得快,.,,我們也可以比較這兩段時間中，單位時間內(nèi)體溫的平,,均變化量，于是當(dāng)時間,x,從,0 min,變到,20 min,時，體溫,y,相對于時間,x,的平均變化率為,,,當(dāng)時間,x,從,20 min,變到,30 min,時，體溫,y,相對于時間,x,的平均變化率為,,,這里出現(xiàn)了負(fù)號，它表示體溫下降了，顯然，絕對值越大，下降得越快，這里，體溫從,20 min,到,30 min,這段時間下降得比,0 min,到,20 min,這段時間要快,.,分析,,上面的第一個問題中，我們用一段時間內(nèi)物體的平均,,速度刻畫了物體運(yùn)動的快慢，當(dāng)時間從,t,0,變?yōu)?t,1

5、,時，,,物體所走的路程從,s(t,0,),變?yōu)?s(t,1,),，這段時間內(nèi)物體,,的平均速度是,第二個問題中，我們用一段時間內(nèi)體溫的平均變化率刻畫了體溫變化的快慢，當(dāng)時間從,x,0,變?yōu)?x,1,時，體溫從,y(x,0,),變?yōu)?y(x,1,),，,體溫的平均變化率,,,,你能類比歸納出“函數(shù),f(x),在區(qū)間,[x,1,,x,2,],上的平均變化率”的一般性定義嗎？,抽象概括：,1 .,平均變化率的定義,:,,對一般的函數(shù),y=f,（,x,）來說，當(dāng)自變量,x,從 變?yōu)? 時，函數(shù)值從,f,（ ）變?yōu)? ，它的平,均,變化,率,為,,,,,通常把自變量,-,稱作自

6、變量的改變量，記作 ，函數(shù)值的變化 稱作函數(shù)值的改變量，記作 ，則有如下表示：,,,x,y,,B,(,x,2,,f(x,2,)),A,(,x,1,,f(x,1,)),O,,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,),=,△,y,x,2,-x,1,=,△,x,2.,平均變化率的,幾何意義：,幾何意義是曲線 上經(jīng)過Ａ，Ｂ兩點(diǎn)的直線的斜率,.,,,斜率的概念,思考,1.,表達(dá)式中,f(x,2,)-f(x,1,),與,x,2,-x,1,的順序可以交換嗎？它們本身前后兩個式子可以交換嗎？,,提示,:,f(x,2,)-f(x,1,),與,x,2,-x,1,的順序不可

7、交換，但它們本身的式子可以同時交換，如也可以寫為,,,,思考,2.,函數(shù),y=f(x),在,x=x,0,附近的平均變化率如何計(jì)算？,,提示,:,設(shè),x,在,x,0,附近的變化量為,Δx,，則平均變化率,,,提示：,對于一般的函數(shù),y=f(x),,在自變量,x,從,x,0,變到,x,1,的過程中，若設(shè),△,x =x,1,-x,0,,△,y =f(x,1,)-f(x,0,),,則函數(shù)的平均變化率是,思考：,如何精確地刻畫物體在某一瞬間的變化率呢？,探究點(diǎn),2,瞬時速度、瞬時變化率,則當(dāng)△,x,趨于,0,時，平均變化率就趨于函數(shù)在,x,0,點(diǎn)的瞬時變化率,.,（,1,）瞬時變化率的表示,,對于函數(shù),

8、y=f(x),,在自變量,x,從,x,0,變到,x,1,的過程中,,①自變量的改變量,:Δx=_____;,,②,函數(shù)值的改變量,:Δy=___________;,,③平均變化率,: =___________________;,,④,在,x,0,點(diǎn)的瞬時變化率：當(dāng),Δx,趨于,__,時，平均變化率趨于某一常數(shù)，此常數(shù)即為瞬時變化率,.,,(2),瞬時變化率的意義,,瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在,_____,處變化的快慢,.,x,1,-x,0,f(x,1,)-f(x,0,),0,一點(diǎn),例,1,：一個小球從高空自由下落，其走過的路程,s,,（單位：,m,）與時間,t,（單位：,s

9、,）的函數(shù)關(guān)系為,其中，,g,為重力加速度,試估計(jì)小球在,t=5s,這個時刻的瞬時速度,.,，,,分析：,當(dāng)時間,t,從,t,0,變到,t,1,時，根據(jù)平均速度公式,可以求出從,5 s,到,6 s,這段時間內(nèi)小球的平均速度,我們有時用它來近似表示,t=5 s,時的瞬時速度,.,為了提高精確度，可以縮短時間間隔，如求出,5,～,5.1 s,這段時間內(nèi)的平均速度,（,m/s,）,.,（,m/s,）,用它來近似表示,t=5s,時的瞬時速度,.,,,解：,我們將時間間隔每次縮短為前面的,，計(jì)算出相,應(yīng)的平均速度得到下表：,平均速度,t,0,/s,t,1,/s,時間的改變量（,Δt,）,/s,路程的改變

10、量（,Δs,）,/m,,,/,（,m/s,）,5,5.1,0.1,4.95,49.5,5,5.01,0.01,0.49,49.049,5,5.001,0.001,0.049,49.004 9,5,5.000 1,0.000 1,0.004 9,49.000 49,5,…,…,…,…,可以看出，當(dāng)時間,t,1,趨于,t,0,=5 s,時，平均速度趨于,,49 m/s,，因此，可以認(rèn)為小球在,t,0,=5 s,時的瞬時速度,,為,49 m/s.,從上面的分析和計(jì)算可以看出，瞬時速,,度為,49 m/s,的物理意義是，如果小球保持這一時刻,,的速度進(jìn)行運(yùn)動的話，每秒將要運(yùn)動,49 m,．,,,,,,

11、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,【,變式練習(xí),】,一輛汽車按規(guī)律,s,＝,3t,2,＋,1,做直線運(yùn)動，求這輛汽車在,t,＝,3 s,時的瞬時速度,(,單位：,m/s),．,解析：,因?yàn)?Δs,＝,3(3,＋,Δt),2,＋,1,－,(3×3,2,＋,1),＝,,3Δt,2,＋,18Δt,，,,所以,,因?yàn)楫?dāng),Δt,趨于,0,時， 趨于,18,，,,所以這輛汽車在,t,＝,3,,s,時的瞬時速度的大小為,18 m/s.,,例,2,：如圖所示，一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，,,長為,10m.x,（單位：,m,）表示,OX,這段棒的長，,y,（單位：,,kg,）表示,OX

12、,這段棒的質(zhì)量，它們滿足以下函數(shù)關(guān),,系：,,估計(jì)該合金棒在,x=2 m,處的線密度,.,分析：,一段合金棒的質(zhì)量除以這段合金棒的長度，就是這段合金棒的平均線密度,.,解：,由,，我們可以計(jì)算出相應(yīng)的平,均線密度得到下表：,x,0,/m,x,1,/m,長度,x,的改變量,,（,Δx,）,/m,質(zhì)量,y,的改變量,,（,Δy,）,/kg,/,（,kg/m,）,2,2.1,0.1,0.070,0.70,2,2.01,0.01,0.007 1,0.71,2,2.001,0.001,0.000 71,0.71,2,2.000 1,0.000 1,0.000 071,0.71,2,…,…,…,…,平均線

13、密度,可以看出，當(dāng),x,1,趨于,x,0,=2 m,時，平均線密度趨于,0.71 kg/m,，因此，可以認(rèn)為合金棒在,x,0,=2 m,處的線密度為,0.71 kg/m.,從上面的分析和計(jì)算可以看出，線密度為,0.71 kg/m,的物理意義是，如果有,1 m,長的這種線密度的合金棒，其質(zhì)量將為,0.71 kg.,某物體做勻速運(yùn)動，其運(yùn)動方程是,s,＝,vt,＋,b,，則該,,物體在運(yùn)動過程中其平均速度與任何時刻的瞬時速,,度分別是多少？,【,變式練習(xí),】,提示：,所以當(dāng),Δt,趨于,0,時， 趨于常數(shù),v,，,,即物體在任意時刻的瞬時速度都是,v.,,定義法,D,2.,如果質(zhì)點(diǎn),A,按規(guī)

14、律,運(yùn)動，則在,秒的瞬時速度為（　?。?,A,．,6,,B,．,18,,C,．,54,,D,．,81,C,1.,已知函數(shù),f(x)=-x,2,+x,的圖像上的一點(diǎn),A(-1,-2),及臨,,近一點(diǎn),B(-1+Δx,-2+Δy),,則,=( ),,A.3 B.3Δx-(Δx),2,C.3-(Δx),2,D.3-Δx,A,4.,甲、乙兩個物體沿直線運(yùn)動的方程分別是,和,，,,則在,秒時兩個物體運(yùn)動的瞬時速度關(guān)系是 （ ）,,A.,甲大,B.,乙大,C.,相等,D.,無法比較,B,5.,自由落體運(yùn)動的運(yùn)動方程為,s= gt,2,，計(jì)算,t,從,3s,到,3.1 s,這段時間內(nèi)的平均速度（位移的單位為,m,）,.,解析：,設(shè)在,[3,，,3.1],內(nèi)的平均速度為,v,1,，則,△,t,1,=3.1-3=0.1(s).,△,s,1,=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.1,2,-0.5g×3,2,=0.305g(m).,,所以,1.,平均變化率的定義,:,2.,平均變化率的,幾何意義是曲線 上經(jīng)過Ａ，,,Ｂ兩點(diǎn)的直線的斜率,.,3.,瞬時變化率的定義及求瞬時變化率的一般步驟：,,先求函數(shù)值的改變量,,,求平均變化率,,,,求瞬時變化率,,如果在勝利前卻步，往往只會擁抱失敗；如果在困難時堅(jiān)持，常常會獲得新的成功。,