【人教版】2018年八年級上冊數學：《整式的乘法與因式分解解讀與拓展》課件：因式分解

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1、教材全面解讀,首頁,末頁,目錄,易錯易混警示,重點題型剖析,中考教材對接,第十四章 整式的乘法與因式分解,,,因式分解,因式分解,,定義,因式分解與整式乘法的關系,因式分解,把一個多項式化為幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫作這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式,,(a+b)(a-b),知識解讀,（,1,）因式分解是多項式的恒等變形，因式分解的對象是多項式；（,2,）因式分解的結果必須是積的形式；（,3,）每個因式必須是整式，每個因式的次數都低于原來多項式的次數；,,（,4,）因式分解必須分解到不能再分解為止,,因式分解,整式乘法,B,例1 以下式子從左到右變形是因式分解的是〔

2、 〕,解析： ，等式右邊不是整式乘積的形式，故A選項不是因式分解；,,,等式右邊是整式乘積的形式，故B選項是因式分解；,,,等式右邊不是整式乘積的形式，故C選項不是因式分解；,,，等式左邊不是多項式，故D選項不是因式分解.應選B.,是不是因式分解，就是看等式右邊是不是整式乘積的形式,.,提公因式法,,定義,公因式,一個多項式中各項都含有的一個公共的因式，我們把這個因式叫作這個多項式各項的公因式,提公因式法,一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式

3、的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法,知識解讀,(1),公因式必須是每一項中都含有的因式，只在某一項或某幾項中含有而其他項中沒有的字母，不能成為公因式的一部分，它的構成為：①系數為各項系數的最大公因數；②字母為各項都含有的相同字母；③指數為相同字母的最低次數,.,,(2),多項式的公因式可以是一個單項式，也可以是一個多項式,D,例,2,多項式,,的公因式是（ ）,解析：整式可以看作是由 ，,,,,,,,三項組成，這三項中都含有因式,a,和,,，由于首項符號為“,-”,，所以公因式是,.,故選,D.,,D,例,3,下列因式分解正確的是（

4、 ）,解析：,A,選項中應提取公因式,3,a,；,,B,選項提取公因式,a,后，遺漏“,1”,這一項；,,C,選項提取公因式,-2,a,后，余式中的兩項沒變號；,,D,選項,,,，因此,D,選項正確,.,,故選,D.,注意,,〔1〕當多項式的第一項〔首項〕的系數是負數時，可先提取“-〞.,,〔2〕當多項式的某一項和公因式相同時，提取公因式后括號內該項對位置寫成1，注意避免漏項.,圖,14-3-1,例,4,如圖,14-3-1,，邊長為,a,，,b,的長方形，它的周長為,14,，面積為,10,，則,,的值為,__,70,____.,解析：由題意，得,a+b,=7,,ab,=10,,,∴,,,確

5、定公因式一是要從系數、字母及指數三方面入手，公因式可以是一個單項式，也可以是一個多項式，互為相反數的因式可變形為公因式,.,利用平方差公式法分解因式,,概念,字母表示,平方差公式法,兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積,,知識解讀,（,1,）多項式由兩項組成，形式上必須是兩個數平方的差；,,（,2,）因式分解的結果是這兩個數的和與這兩個數的差的積；,,（,3,）字母,a,b,可以是單項式或多項式,,,,例,5,分解因式：,解：〔1〕原式,,(2)原式=,,(3)原式,,,a(a+b)(a-b),,例,6,（四川樂山中考）分解因式：,,=___________.,解析：,二項式〔或

6、者可以看作是二項式〕的因式分解，一般先考慮利用平方差公式法，如果有公因式的，一定要先提取公因式，再嘗試利用平方差公式法分解因式.,利用完全平方公式法分解因式,,概念,字母表示,完全平方公式法,兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的,2,倍，等于這兩個數的和（或差）的平方,,知識解讀,（,1,）多項式是二次三項式，其中兩項是兩數和的平方，另一項是這兩個數的積的,2,倍；,,知識解讀,（,2,）因式分解的結果是這兩個數和的平方或差的平方，若乘積項的符號為“,+”,，則是這兩數的和的平方，若乘積項的符號為“,-”,，則是這兩個數的差的平方,;,,（,3,）公式中的字母可以是單項式，也可以是多項式

7、；,,(4),我們把,,,這樣的式子叫作完全平方式,,,例,7,分解因式：,解：,,(1),原式,=,,,(2),原式,,例,8,分解因式：,解：,(1),原式,,,(2),原式,,,(3),原式,,在利用完全平方公式分解因式時，根據公式的特征，有時需要對多項式進行變形，才可以利用完全平方公式分解因式,.,型式子的因式分解,,,因式分解公式,依據,,,型式子的因式分解,,,,,知識解讀,（,1,）二次項系數為,1,；,,（,2,）常數項是兩個數的積；,,（,3,）一次項系數是這兩個數的和；（,4,）當,p=q,時，,,,,例,9,請你仿照下面例子分解因式的方法，把下列的多項式分解因式：,,例子

8、：,分解因式,:,解：,,,對,,型的式子進行因式分解，關鍵是常數項分解成的兩個數的和一定要等于一次項的系數.,分解因式不徹底,例,10,分解因式：,解：,,(1),原式,=2,x,(,x,-2,y,),.,,(2),原式,易錯總結,,,(1),中的易錯點為,,,即提取公因式不徹底導致錯誤；,,,(2),中的易錯點為,,,,,即對,,的因式分解不徹底,.,提公因式后，遺漏某項,解：原式,=3,x,(,x,-6,y,+1).,例,11,因式分解：,易錯總結,,,當公因式是多項式的某一項時，提取公因式后，括號內本項對應位置遺漏,1,，導致出現(xiàn)類似,,的錯誤,.,題型一 選取適當的方法分解因式,,,

9、角度,a,先提取公因式，再運用公式法分解因式,例,12,分解因式：,再利用完全平方公式進行徹底地分解,觀察各個因式是否不能再分解,思路導圖,先提取公因式,,,解：原式,=,方法點撥：,,,多項式中有公因式,,,又存在分數系數，提取公因式時把 與 一并提取,.,角度,b,兩次運用公式法分解因式,從整體上可以看作是,“,二項式,”,，先用平方差公式法分解因式,思路導圖,再運用完全平方公式法分解因式，注意分解要徹底,,例,13,分解因式,:,,解：原式,=,方法點撥：,,分解因式時，得到的余式假設能繼續(xù)因式分解，那么應繼續(xù)分解，直到不能再分解為止.,角度,c,先對多項式局部分解或展開，組合

10、后再分解因式,例,14,分解因式：,思路導圖,觀察各個因式是否分解徹底,,(1),先對 因式分解，再從整體上提取公因式；,,（,2,）先對,-4,（,a+b,-1,）變形，再運用完全平方公式法分解因式 觀察各個因式是否分解徹底,解：,,(1),原式,,,,,(2),原式,方法點撥：,,,分解因式的一般步驟：先觀察是否有公因式，假設有公因式，應先提取公因式，再用公式法分解因式；假設沒有公因式，就觀察式子的結構特征，用恰當的方法分解因式，最后檢查每一個多項式的因式，看能否繼續(xù)分解.,題型二 利用因式分解求值,例,15,（,1,）已知,x,= ,,y,=,，,,則

11、 的值為,______;,,(2),已知,x+y,=1,,則 的值為,_____.,(1),先利用平方差公式法因式分解；,(2),先提取公因式,思路導圖,(1),再合并同類項；,(2),再運用完全平方公式法分解因式,將條件代入求值,,,解析：,(1),方法點撥：,,先利用公式法分解因式，將所求整式整理成含條件的形式，再代入計算即可.,題型三 運用因式分解說理或證明,B,A,例,16,（,1,）已知,a,b,c,是三角形三邊的長，則代數式

12、 的值是（ ）,,A.,正數,B.,負數,C.0 D.,無法確定,,（,2,）已知,a,b,c,是三角形三邊的長，那么代數式,,的值是（ ）,,A.,正數,B.,負數,C.0 D.,無法確定,解析：（,1,）∵,,又,a,b,c,是三角形三邊的長，,,∴,a+b-c,＞,0,,a-c-b,＜,0,,,∴,的值為負數,.,故選,B.,,（,2,）∵,,=(a+b+c)(a+b-c),，,,又,a,b,c,是三角形三邊的長，,,∴,a+b-c,＞,0,,a+b+c,＞,0,,,∴,的值為正數,.,故選,A.,方法點撥：,,確定整式的正負，可以把整式分解因式，通過確

13、定各個因式的性質符號，進而確定整式的值的正負,.,題型四 因式分解在三角形中的綜合運用,例,17,已知,a,b,c,是三角形三邊的長，且滿足,,,求這個三角形三邊的長,.,解：∵,,∴,,,,∴,a,=3,,b,=4,,c,=5.,,故這個三角形三邊的長分別為,3,4,5.,方法點撥：,,此題屬于因式分解與三角形知識的綜合運用.當題目中含有平方項時，可先將所給的等式分解因式，再利用完全平方的非負性即可求得三角形三邊的長.,解讀中考：,因式分解在中考中比較常見，主要以填空題和選擇題為主，考查內容一般是同時考查提公因式法和公式法,.,利用因式分解變形，求代數式的值也是中考的熱點題型之一,.,A,例

14、,18 (,四川自貢中考,),把多項式 分解因式，結果正確的是,( ),,A.,a,(,a,-4),,B.(,a,+2)(,a,-2),,C.,a,(,a,+2)(,a,-2),,D.,考點一 直接利用提公因式法或公式法分解因式,方法點撥：,,,,在多項式,pa+pb+pc,中，各項都有一個公共的因式,p,，我們把因式,p,叫作這個多項式各項的公因式,.,例,19 (,廣西百色中考,),分解因式：,=,（ ）,,A.(4-,x,)(4+,x,),,B.(,x,-4)(,x,+4),,C.(8+,x,)(8-,x,),,D.,A,解析：,.,故選,A.

15、,方法點撥,,,當多項式可以表示成兩數的平方差時，用平方差公式分解因式.當多項式可表示成兩數平方和與兩數積的2倍的和、差時，用完全平方公式分解因式，當乘積項為“+〞時選擇和的完全平方公式，當乘積項為“-〞時選擇差的完全平方公式.,A,例,20 (,吉林長春中考,),把多項式 分解因式，結果正確的是（ ）,例21 (山東聊城中考)把 分解因式，結果正確的選項是〔 〕,C,解析：,故選,C.,考點二 提公因式法與公式法相結合分解因式,例,22 (,廣東梅州中考,),分解因式

16、 結果正確的是（ ）,A,解析：,故選,A.,例,23 (,湖北孝感中考,),分解因式：,,_______________________,解析：原式,=,例,24 (,廣西賀州中考,),將 分解因式的結果是,_________________________.,解析：原式,=,考點三 因式分解的應用,例,25 (,湖北宜昌中考,),小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：,a-b,，,x-y,，,x+y,，,a+b,，,,分別對應下列六個字：昌、愛、我、宜、游、美，現(xiàn)將

17、 因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是,( ),,A.,我愛美,B.,宜昌游,,,C.,愛我宜昌,D.,美我宜昌,C,解析：,,,,,∵,x-y,x+y,a+b,a-b,四個代數式分別對應愛、我、宜、昌，,,∴結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛我宜昌”,.,故選,C.,核心素養(yǎng),,,,因式分解是后續(xù)學習分式的化簡與運算、解一元二次方程的基礎，同時也是學習物理、化學等學科的基礎知識,.,例26 將一條長40 cm的金色彩帶剪成兩段，恰好可用來鑲嵌兩張大小不同的正方形裝飾畫的邊〔不計接頭處〕，兩張裝飾畫的面積相差40 cm2，問:這條金色彩帶應剪成多長的兩段？,解：設較大正方形的邊長為,x,cm,，較小正方形的邊長為,y,cm.,,根據題意，得,,∴(,x+y,)(,x-y,)=40,,x+y,=10.,,把,x+y,=10,代入,(,x+y,)(,x-y,)=40,，,,得,x-y,=4. ∴,x,+,y,=10,,x-y,=4,,,解得,x,=7,,y,=3.,,故,4,x,=28,4,y,=12,,,即這條金色彩帶應剪成,28 cm,和,12 cm,的兩段,.,