角形的重點(diǎn)知識(shí)

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,,,,三角形基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí),,復(fù)習(xí)指南,,本課時(shí)復(fù)習(xí)主要解決下列問題.,,1.三角形的有關(guān)概念及三角形的三邊關(guān)系,,此內(nèi)容為本課時(shí)的重點(diǎn).為此設(shè)計(jì)了［歸類探究］中的例1；［限時(shí)集訓(xùn)］中的第1，11，12，13，15題.,,2.三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì),,此內(nèi)容為本課時(shí)的重點(diǎn).為此設(shè)計(jì)了［歸類探究］中的例2；［限時(shí)集訓(xùn)］中的第2，3，4，5,7，9，10題,.,,3.三角形中位線的性質(zhì)與應(yīng)用,,此內(nèi)容為本課時(shí)的重點(diǎn),，,又是難點(diǎn),.,為此設(shè)計(jì)了［歸類探究］中的例3,；,［限時(shí)集訓(xùn)］中的第6,8，

2、14，16題.,,,考點(diǎn)管理,,1.三角形的有關(guān)概念及分類,,定義：,由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接而組成的圖形叫做三角形.,,注意：,三個(gè)特征：（1）三條線段；（2）不在同一直線上；（3）首尾順次相接.,,分類：,,,2.三角形的角平分線,,定 義：,三角形一個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和,,交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.,,表達(dá)方式：,如圖25-1所示.,,,,,,,（1）AD是△ABC的角平分線；,,（2）AD平分∠BAC交BC于D；,,（3）∠BAD=∠DAC=12∠BAC；,,(4)∠BAC=2∠BAD=2∠DAC.,,特性：三角形的三條角平分

3、線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.,,規(guī)律：（1）三角形兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上；,,（2）三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.,,3.三角形的高線,,定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線,簡稱高.,,表達(dá)方式：如圖25-2所示.,,,,,,,（1）AD是△ABC的高；,,（2）AD垂直于BC，垂足為D；,,（3）∠ADB=∠ADC=90°.,,特性：三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂.,,注意：銳角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形的外部；直角三角形的兩條高線恰好是它的兩條直

4、角邊，因此三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)上.,,4.三角形的中線,,定義：,在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中.,,表達(dá)方式：如圖25-3所示.,,,,（1）AM是△ABC的中線；,,（2）AM是△ABC中BC邊上的中線；,,（3）點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)；,,（4）BM=MC=12BC；,,（5）BC=2BM=2MC；,,（6）S△ABM=S△ACM=12S△ABC.,,特性：,三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的重心.,,規(guī)律：,（1）三角形的一條中線將三角形分成兩個(gè)面積相等（等底同高）,,的三角形；,,（2）三角形的重心把三角形的中線分成兩部分的比為1∶2.,,,5

5、.三角形的中位線,,定義：,連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.,,定理：,三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.,,注意：,正確理解三角形的中線和中位線的概念，三角形的中線平分面積，三角形的中位線分得三角形兩,,部分的面積比為1∶3.,,6.三角形三邊的關(guān)系,,關(guān)系：（,1）三角形任意兩邊之和大于第三邊；,,（2）三角形任意兩邊之差小于第三邊.,,注意：,三角形的三邊關(guān)系揭示了三條線段構(gòu)成一個(gè)三角形的條件，要注意,,理解“任意”兩字的含義.,,7.三角形的內(nèi)角和定理及推論,,定理：,三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°.,,推論：（,1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

6、和；,,（2）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角；,,（3）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；,,（4）三角形的外角和等于360°.,,類型之一 三角形的三邊關(guān)系,,,現(xiàn)有四根木棒，長度分別為4 cm，6 cm，8 cm，10,,cm，從中任取三根木棒，能組成三角形的個(gè)數(shù)為（ ）,,A.1個(gè) B.2個(gè),,C.3個(gè) D.4個(gè),,【解析】四組中：（4，6，8），（4，6，10），（4，8，10），（6，8，10），只有（4，6，10）中的4+6=10，不能組成三角形.選C.

7、,,【點(diǎn)悟】三角形兩邊之和大于第三邊，或兩邊之差小于第三邊是判斷任意,,三條線段能否組成三角形的重要依據(jù).,,類型之二 三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用,,,如圖25-4所示，將△ABC沿著DE翻折，若∠1+∠2=80°，,,則∠B= 40°.,C,,【解析】設(shè)∠BED=x,∠BDE=y,則x=(180°-∠1)×12,y=(180°-∠２)×12,x+y=12［360°-(∠1+∠2)］,,=12(360°-80°)=140°，∴∠B=40°.,,【點(diǎn)悟】解決此類問題關(guān)鍵是：①對折后重疊部分的角度相等；②靈活運(yùn),,用整體代入的方法；③內(nèi)角與平角的綜合運(yùn)用.,,類型之三 三角形中位線的性質(zhì)運(yùn)用,,

8、,如圖25-5，D是AB邊上的中點(diǎn)，將△ABC沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處,，,若∠B=50°,，,則 ∠BDF=80 度．,,【解析】由題意知BD=DA，又AD=DF，,,∴BD=DF，∴∠B=∠DFB=50°，,,∴∠BDF=180°-2×50°=80°.,,【點(diǎn)悟】折疊相當(dāng)于軸對稱變換，圖形經(jīng)過軸,,對稱變換后形狀和大小不發(fā)生改變，,,但位置發(fā)生改變.,,,等腰三角形復(fù)習(xí),,復(fù)習(xí)指南,,本課時(shí)復(fù)習(xí)主要解決下列問題.,,1.等腰三角形的有關(guān)概念，性質(zhì)及判定,,此內(nèi)容為本課時(shí)的重點(diǎn).為此設(shè)計(jì)了［歸類探究］中的例1(包括預(yù)測變形1，2，3，4,5)，例2；［限時(shí)集訓(xùn)］中的第1

9、，2，3，4，5，7，8題.,,,2.等邊三角形的有關(guān)概念，性質(zhì)及判定,,此內(nèi)容為本課時(shí)的重點(diǎn).為此設(shè)計(jì)了［歸類探究］中的例3；［限時(shí)集訓(xùn)］中的第11，13題.,,,3.運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)問題,,此內(nèi)容為本課時(shí)的難點(diǎn).為此設(shè)計(jì)了［限時(shí)集訓(xùn)］中的第6,9，10,12，14題.,,考點(diǎn)管理,,1.等腰三角形的概念,,定義,：有 相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊叫做腰，另,,一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做 ，腰與底邊的夾角叫做底角.,,2.等腰三角形的性質(zhì),,性質(zhì),：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱為“等邊對等角”）；,,（2）等腰三角形的頂角平分線、

10、底邊上的高線、底邊上的中線,,（簡稱為“三線合一”）.,兩邊,頂角,互相集合,,3.等腰三角形的判定,,,判定,：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱為,,“等角對等邊”）.,,注意,：要正確區(qū)別等腰三角形的性質(zhì)和判定.“性質(zhì)”指的是由邊相等得出角相,,等，即“等邊對等角”；,,,而“判定”指的是根據(jù)一些條件來判定三角形是不是等腰三角形,即最后得出邊相等.,,,4.等邊三角形,,,定義,：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.,,注意,：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況，它是底邊與腰相等的等腰三角形.,,5.等邊三角形的性質(zhì)和判定,,,性質(zhì),：（1）等邊三角形的三條邊都

11、 ；,,,（2）等邊三角形的每一個(gè)角都等于 .,,,判定,：（1）各邊或角都相等的三角形是等邊三角形；,,,（2）有一個(gè)角等于 的等腰三角形是等邊三角形.,,,相關(guān)規(guī)律,：（1）邊長為a的等邊三角形面積等于 ;,,,（2）等邊三角形的內(nèi)心、外心、垂心和重心重合于一點(diǎn).,60°,相等,60°,,6.線段的垂直平分線,,,定義：,經(jīng)過線段的 與這條線段 的直線叫做這條線段的垂直平分線.,,,注意：,線段的垂直平分線的兩個(gè)要點(diǎn)“垂直”和“平分”要同時(shí)存在.,,,性質(zhì)：,線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離 .,,,判定：,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離 的點(diǎn)

12、，在這條線段的垂直平分線上.,中點(diǎn),垂直,相等,相等,,［預(yù)測變形２］如圖27-3，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，則∠BCE= 50°．,,【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠DCE=∠A=30°，,,∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=80°-30°=50°.,,,［預(yù)測變形３］如圖27-4，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平,,分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為,,（ ）,B,,［預(yù)測變形1］如圖27-2，等腰△ ABC中，AB=AC，∠A=20°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，

13、則∠CBE等于 （ ）,,A.80° B.70°,,C.60° D.50°,,【解析】∵DE垂直平分AB，∴∠DBE=∠A=20°,,,∴∠CBE=(180°-∠A)×1/2-∠A=60°.,,C,,歸類探究,,類型之一 等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,,如圖27-1，等腰△ABC的周長為21，底邊BC=5，AB的垂,,直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BEC的周長為 （ ）,,,,,,,,,,

14、【解析】由線段的垂直平分線性質(zhì)可知AE=BE，,,∴△BCE的周長為腰AC與底BC之和，即5+（21-5）×12=13，選A.,A,,［預(yù)測變形２］如圖27-3，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，則∠BCE=50°．,,【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠DCE=∠A=30°，,,∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=80°-30°=50°.,,［預(yù)測變形３］如圖27-4，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為,,（ ）,,,A.30° B.40°,

15、,C.50° D.60°,,,,,【解析】設(shè)∠C=x,則∠DAE=x,則10°+2x=90°,∴x=40°,選B.,B,,［預(yù)測變形４］在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得銳角為50°，則∠B=70°或20°．,,【解析】當(dāng)∠A為銳角時(shí),可知∠A=40°,,,∴∠B=（180°-40°）×12=70°;,,當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，可知∠A的補(bǔ)角=40°，,,∴∠A=180°-40°=140°，,,∴∠B=12×(180°-140°)=20°.,,∴∠B=70°或20°.,,［預(yù)測變形5］如圖27-5，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線D

16、E交邊BC于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E.若△EDC的周長為24，△ABC與四邊形AEDC的周長之差為12，則線段DE的長為6．,,,,,,,,【解析】△ABC的周長-四邊形AEDC的周長=12，∴BE+BD-DE=12，∴EC+DC-DE=12.∵DE+EC+DC=24，∴2DE=24-12，∴DE=6.,,類型之二 等腰三角形的判定,,如圖27-6，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF與DE交于點(diǎn)O．,,(1)求證：AB＝DC；,,(2)試判斷△OEF的形狀，并說明理由．,,,【解析】（1）證明△ABF≌△DCE;(2)由等角對等邊可判斷其形狀.,,證明：（１）∵BE＝CF

17、，,,∴BE＋EF＝CF＋EF，,,即BF＝CE．,,又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，,,∴△ABF≌△DCE（AAS），,,∴AB＝DC．,,（２）△OEF為等腰三角形.,,理由如下：∵△ABF≌△DCE，,,∴∠AFB=∠DEC，,,∴OE=OF，,,∴△OEF為等腰三角形．,,【點(diǎn)悟】一般判定等腰三角形的方法是“兩邊相等”和“等角對等邊”兩種，這就涉及證明線段相等或角相等的問題，因此需要結(jié)合三角形全等解決線段相等或角相等的問題.,,類型之三 等邊三角形的性質(zhì)與判定,,如圖27-7，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F.,,（1）求證：

18、△ABE≌△CAD；,,（2）求∠BFD的度數(shù).,,,,,,,,【解析】（1）利用“SAS”證明.,,(2)利用（1）中的結(jié)論將∠ABF轉(zhuǎn)化到∠FAE上去，即可求出∠BFD的度數(shù).,,(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA.在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD，,,∴△ABE≌△CAD.,,(2)解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又∵△ABE≌△CAD，,,∴∠ABE=∠CAD，∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.,,【點(diǎn)悟】在幾何問題的解答過程中，有一部分思路來源于靈感，這種靈感建立在對一些幾何圖形的基本性質(zhì)（如本題是等邊三角形的基本性質(zhì)）的掌握之上，借助這些圖形的特性，可以啟發(fā)我們尋找解答問題的思路和方法，從而達(dá)到解決問題的目的.,,