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考點(diǎn)35 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
1.(2013浙江高考理科T20)如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=.M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.
(1)證明:PQ∥平面BCD.
(2)若二面角C-BM-D的大小為60,求∠BDC的大小.
【解題指南】(1)要證PQ∥平面BCD,所以要在平面BCD中找到一條線與PQ平行,因?yàn)橛兄悬c(diǎn),可以聯(lián)想一下中位線;(2)首先
2、要找到二面角C-BM-D的平面角,再根據(jù)垂直關(guān)系在直角三角形中解決.
【解析】(1)取BD的中點(diǎn)O,在線段CD上取點(diǎn)F,使得DF=3FC,連結(jié)OP,OF,FQ,
因?yàn)锳Q=3QC,所以QF∥AD,且QF=AD.
因?yàn)镺,P分別為BD,BM的中點(diǎn),所以O(shè)P為△BDM的中位線,所以O(shè)P∥DM,且OP=DM,由點(diǎn)M為AD的中點(diǎn),所以O(shè)P∥AD,且OP=AD,
從而OP∥QF,且OP=QF,
所以四邊形OPQF為平行四邊形,故PQ∥OF.
又PQ?平面BCD,OF?平面BCD,
所以PQ∥平面BCD.
(2)作CG⊥BD于點(diǎn)G,作GH⊥BM于點(diǎn)H,連結(jié)CH.
因?yàn)锳D⊥平面BCD,C
3、G?平面BCD,所以AD⊥CG,
又CG⊥BD,AD∩BD=D,故CG⊥平面ABD,
又BM?平面ABD,所以CG⊥BM,
又GH⊥BM,CG∩GH=G,故BM⊥平面CGH,
所以GH⊥BM,CH⊥BM,
所以∠CHG為二面角C-BM-D的平面角,即∠CHG=60,
設(shè)∠BDC=θ,在Rt△BCD中,
在Rt△BDM中, ,
在Rt△CHG中, ,
所以,tanθ=,所以θ=60,即∠BDC=60.
2. （2013陜西高考文科Ｔ18）如圖, 四棱柱ABCD－A1B1C1
4、D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥底面ABCD, .
(Ⅰ) 證明: 平面A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的體積.
【解題指南】面面平行可通過(guò)證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線；柱體的體積代入公式V=Sh求解.
【解析】(1)設(shè)線段B1D1的中點(diǎn)為O1.
由題意知BD∥B1D1,A1O1∥OC且A1O1=OC?四邊形A1OCO1為平行四邊形
?A1O∥O1C.且A1O∩BD=O,O1C∩B1D1=O1?平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)因?yàn)锳1O⊥底面ABCD,所以A1O是三
5、棱柱A1B1D1-ABD的高.
在正方形ABCD中,AO=1.
在Rt△A1OA中,A1O=1.
三棱柱A1B1D1-ABD的體積=S△ABDA1O=1=1.
所以,三棱柱A1B1D1-ABD的體積為1.
3.（2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考文科Ｔ18）如圖，直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)。
（1）證明：平面；
（2）設(shè)，，求三棱錐的體積。
【解題指南】(1)連接AC1,構(gòu)造中位線，利用線線平行證線面平行；
(2) ,確定與高CD的長(zhǎng)，得體積.
【解析】(1)連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn).
又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1//DF.
因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1//平面A1CD.
(2)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1.由已知AC＝CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD，又AA1，于是CD平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2,AB＝得
，，
故
所以
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