幾何概型復習課件(總結)..

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,要點梳理,1.幾何概型,假設每個大事發(fā)生的概率只與構成該大事區(qū)域的_,_(_或_)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何,概率模型,簡稱為_.,2.幾何概型中,大事A的概率計算公式,P(A)=.,幾何概型,長,度,面積,體積,幾何概型,根底學問 自主學習,3.要切實理解并把握幾何概型試驗的兩個根本特點:,(1)無限性：在一次試驗中,可能消失的結果有無限,多個；,(2)等可能性：每個結果的發(fā)生具有等可能性.,4.幾何概型的試驗中,大事A的概率P(A)只與子區(qū)域A,的幾何度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位,置

2、和外形無關.,5.求試驗中幾何概型的概率,關鍵是求得大事所占區(qū),域和整個區(qū)域 的幾何度量,然后代入公式即可求,解.,1“概率為1的大事肯定是必定大事，概率為0的大事肯定是不行能大事”，這個說法正確嗎？,【提示】不正確假設隨機大事所在區(qū)域是一個單點，由于單點的長度、面積、體積均為0，則它的概率為0，大事可能發(fā)生，所以概率為0的大事不肯定是不行能大事；假設一個隨機大事所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它的概率為1，但它不是必定大事,2古典概型與幾何概型有哪些異同點？,【提示】古典概型與幾何概型中根本大事發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求根本大事有有限個，而幾何概型的根本大事有無限個,題型一 與

3、長度有關的幾何概型,【例1】有一段長為10米的木棍,現(xiàn)要截成兩段,每段,不小于3米的概率有多大？,從每一個位置剪斷都是一個根本大事,基,本大事有無限多個.但在每一處剪斷的可能性相等,故是幾何概型.,思維啟迪,題型分類 深度剖析,解 記“剪得兩段都不小于3米”為大事A,從木棍的,兩端各度量出3米,這樣中間就有10-3-3=4(米).在中,間的4米長的木棍處剪都能滿足條件,所以,從該題可以看出,我們將每個大事理解為,從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點,該區(qū)域中每,一點被取到的時機都一樣.而一個隨機大事的發(fā)生則,理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點,這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.,探

4、究提高,知能遷移1 平面上有一組平行線,且相鄰平行線間,的距離為3 cm,把一枚半徑為1 cm的硬幣任意平拋在,這個平面上,則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率,是 (),A.B.C.D.,解析 如下圖,這是長度型幾何概型問題,當硬幣,中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相,碰,故所求概率為,B,題型二 與面積,(,或體積,),有關的幾何概型,在邊長為,2,的正,ABC,內(nèi)任取一點,P,則使點,P,到三個頂點的距離至少有一個小于,1,的概率,是,_.,解析,以,A,、,B,、,C,為圓心,以,1,為半,徑作圓,與,ABC,交出三個扇形,當,P,落在其內(nèi)時符合要求,.,題型三 與角度有關的幾

5、何概型,【例3】在RtABC中,A=30,過直角頂點C作射,線CM交線段AB于M,求使|AM|AC|的概率.,如下圖,由于過一,點作射線是均勻的,因而應把在,ACB內(nèi)作射線CM看做是等可能,的,根本大事是射線CM落在ACB內(nèi)任一處,使,|AM|AC|的概率只與BCC的大小有關,這符合,幾何概型的條件.,思維啟迪,解 設大事D為“作射線CM,使|AM|AC|”.,在AB上取點C使|AC|=|AC|,由于ACC是等,腰三角形,所以,幾何概型的關鍵是選擇“測度”,如本例,以角度為“測度”.由于射線CM落在ACB內(nèi)的任意,位置是等可能的.假設以長度為“測度”,就是錯誤的,由于M在AB上的落點不是等可能

6、的.,探究提高,知能遷移3 在圓心角為90的扇形AOB中,以圓心O,為起點作射線OC,求使得AOC和BOC都不小于,30的概率.,解 如下圖,把圓弧AB三等分,則,AOF=BOE=30,記A為“在扇,形AOB內(nèi)作一射線OC,使AOC和,BOC都不小于30”,要使AOC和BOC都不小,于30,則OC就落在EOF內(nèi),題型四 可化為幾何概型的概率問題,【例4】甲、乙兩人商定在6時到7時之間在某處會面,并商定先到者應等候另一人一刻鐘,過時即可離去.,求兩人能會面的概率.,在平面直角坐標系內(nèi)用x軸表示甲到達,約會地點的時間,y軸表示乙到達約會地點的時間,用,0分到60分表示6時到7時的時間段,則橫軸0到

7、60與縱,軸0到60的正方形中任一點的坐標(x,y)就表示甲、,乙兩人分別在6時到7時時間段內(nèi)到達的時間.而能會,面的時間由|x-y|15所對應的圖中陰影局部表示.,思維啟迪,解 以x軸和y軸分別表示甲、乙,兩人到達商定地點的時間,則兩人,能夠會面的充要條件是|x-y|15.,在如下圖平面直角坐標系下,(x,y)的全部可能結果是邊長為60的正方形區(qū)域,而事,件A“兩人能夠會面”的可能結果由圖中的陰影局部,表示.,由幾何概型的概率公式得：,所以,兩人能會面的概率是,探究提高 (1)甲、乙兩人都是在67時內(nèi)的任意時,刻到達會面地點,故每一對結果對應兩個時間,分別用,x,y軸上的數(shù)表示,則每一個結果

8、(x,y)就對應于圖中,正方形內(nèi)的任一點.,(2)找出大事A發(fā)生的條件,并把它在圖中的區(qū)域找出,來,分別計算面積即可.,(3)此題的難點是把兩個時間分別用x,y兩個坐標表,示,構成平面內(nèi)的點(x,y),從而把時間是一段長度問,題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題,進而轉(zhuǎn)化成面積,型幾何概型的問題.,1.幾何概型也是一種概率模型,它與古典概型的區(qū)分,是試驗的可能結果不是有限個.它的特點是試驗結果,在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布,所以隨機大事的概率大小與,隨機大事所在區(qū)域的外形位置無關,只與該區(qū)域的大,小有關.,2.幾何概型的“約會問題”已經(jīng)是程序化的方法與技,巧,必需嫻熟把握.,方法與技巧,思想方法 感悟提高,

9、幾何概型具有無限性和等可能性兩個特點.無限性是,指在一次試驗中,根本大事的個數(shù)可以是無限的；等,可能性是指每一個根本大事發(fā)生的可能性是均等的.,因此,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路,是一樣的,同屬于“比例解法”,即隨機大事A的概率,可以用“大事A包含的根本大事所占的圖形長度(面積,或體積)”與“試驗的根本大事所占總長度(面積或體,積)”之比來表示.,失誤與防范,一、選擇題,1.,在長為,12 cm,的線段,AB,上任取一點,M,并以線段,AM,為邊作正方形,則這個正方形的面積介于,36 cm,2,與,81 cm,2,之間的概率為,(),A.B.C.D.,解析,面積為,36 cm,2,

10、時,邊長,AM,=6,面積為,81 cm,2,時,邊長,AM,=9,A,定時檢測,2.,在區(qū)域 內(nèi)任取一點,P,則點,P,落在單,位圓,x,2,+,y,2,=1,內(nèi)的概率為,(),A.B.C.D.,解析,區(qū)域為,ABC,內(nèi)部,(,含邊界,),則概率為,D,3.,在面積為,S,的,ABC,的邊,AB,上任取一點,P,則,PBC,的面積大于 的概率是,(),A.B.C.D.,解析,由,ABC,PBC,有公共底邊,BC,所以只需,P,位,于線段,BA,靠近,B,的四分之一分點,E,與,A,之間,這是一個,幾何概型,C,4.正三棱錐SABC的底面邊長為4,高為3,在正,三棱錐內(nèi)任取一點P,使得VPAB

11、C VSABC的概率,是 (),A.B.C.D.,解析 當P在三棱錐的中截面及下底面構成的正三,棱臺內(nèi)時符合要求,由幾何概型知,A,5.(2023遼寧)ABCD為長方形,AB=2,BC=1,O為AB,的中點,在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點,取到的點到O,的距離大于1的概率為 (),A.B.C.D.,解析 如圖,要使圖中點到O的,距離大于1,則該點需取在圖中陰,影局部,故概率為,B,6.(2023山東)在區(qū)間 上隨機取一個,數(shù)x,cos x的值介于0到 之間的概率為(),A.B.C.D.,解析,A,二、填空題,7.(2023江蘇)在平面直角坐標系xOy中,設D是橫,坐標與縱坐標確實定值均不大于2的

12、點構成的區(qū)域,E是到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域,向D中隨,機投一點,則落入E中的概率為_.,解析 如下圖,區(qū)域D表示邊長,為4的正方形的內(nèi)部(含邊界),區(qū),域E表示單位圓及其內(nèi)部,8.函數(shù)f(x)=假設a是從區(qū)間0，2上任取,的一個數(shù),b是從區(qū)間0,2上任取的一個數(shù),則此函,數(shù)在1,+)遞增的概率為_.,解析 令t=ax2-bx+1,函數(shù)f(x)在1,+)上遞增,根,據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的推斷方法,則t=ax2-bx+1須在,1,+)上遞增,由題意得 畫出圖示得,陰影局部面積.,概率為,答案,9.(2023福建)點A為周長等于3的圓周上的一個定,點.假設在該圓周上隨機取一點B,則劣弧 的長度

13、小,于1的概率為_.,解析 圓周上使弧 的長度為1的點M有兩個,設,為M1,M2,則過A的圓弧 的長度為2,B點落在,優(yōu)弧 上就能使劣弧 的長度小于1,所以劣弧,的長度小于1的概率為,三、解答題,10.如下圖,在單位圓O的某始終徑上隨機的取一點,Q，求過點Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的,概率.,解 弦長不超過1,即|OQ|而Q點在直徑AB,上是隨機的,大事A=弦長超過1.,由幾何概型的概率公式得,弦長不超過1的概率為,答 所求弦長不超過1的概率為,11.投擲一個質(zhì)地均勻的、每個面上標有一個數(shù)字的,正方體玩具,它的六個面中,有兩個面標的數(shù)字是0,兩個面標的數(shù)字是2,兩個面標的數(shù)字是4,將此

14、玩具,連續(xù)拋擲兩次,以兩次朝上一面的數(shù)字分別作為點P,的橫坐標和縱坐標.,(1)求點P落在區(qū)域C：x2+y210內(nèi)的概率；,(2)假設以落在區(qū)域C上的全部點為頂點作面積最大的,多邊形區(qū)域M,在區(qū)域C上隨機撒一粒豆子,求豆子落,在區(qū)域M上的概率.,解,(1),以,0,、,2,、,4,為橫、縱坐標,的點,P,共有,(0,0),、,(0,2),、,(0,4),、,(2,0),、,(2,2),、,(2,4),、,(4,0),、,(4,2),、,(4,4),共,9,個,而這些點中,落在區(qū)域,C,內(nèi)的點有：,(0,0),、,(0,2),、,(2,0),、,(2,2),共,4,個,所求概率為,(2),區(qū)域,

15、M,的面積為,4,而區(qū)域,C,的面積為,所求概率為,12.甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時?？績伤逸喆?的碼頭,它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達是等可能的.,(1)假設甲船和乙船的停靠時間都是4小時,求它們中,的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；,(2)假設甲船的?？繒r間為4小時,乙船的停靠時間為,2小時,求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出,的概率.,解 (1)設甲、乙兩船到達時間分別為x、y,則0 x24,0y24且y-x4或y-x-4.,作出區(qū)域,設“兩船無需等待碼頭空出”,為大事A,(2)當甲船的?？繒r間為4小時，,乙船的?？繒r間為2小時,兩船不,需等待碼頭空出,則滿足x-y2,或y-x4,設在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為大事,B,畫出區(qū)域,返回,