高考數(shù)學(xué) 數(shù)列專題復(fù)習(xí)

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1、 專題一 數(shù)列 【知識框架】 【知識要點1】 一、數(shù)列的概念 1. 數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作a1,a2,a3……an,……簡記{an}. 2. 數(shù)列{an}的第n項an與項數(shù)n的關(guān)系若用一個公式an=f(n)給出，則這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。 3. 如果已知數(shù)列{an}的第一項（或前幾項），且任何一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個式子來表示，即an =f（an-1）或an =f（an-1，an-2），那么這個式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式. 4. 數(shù)列可以看做定義域為N*（或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的一

2、列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點。 二、數(shù)列的表示方法： 列舉法、圖示法、解析法（用通項公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）。 三、數(shù)列的分類 1. 按照數(shù)列的項數(shù)分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。 2. 按照任何一項的絕對值是否不超過某一正數(shù)分：有界數(shù)列、無界數(shù)列。 3. 從函數(shù)角度考慮分：（考點） ①遞增數(shù)列：對于任何n∈ N+，均有an+1 > an ②遞減數(shù)列：對于任何n∈ N+，均有an+1 < an ③擺動數(shù)列：例如:1，-1，1，-1，1，-1…L--- ④常數(shù)數(shù)列：例如:6，6，6，6，6，6… ⑤有界數(shù)列：存在正數(shù)M，使an

3、任何正數(shù)M,總有項an,使得|an|>M S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n≥2) 四、an與Sn的關(guān)系：（考點） 1. Sn = a1+a2+a3+…+an= 2. an= 【例題1】已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其通項公式為an=n2+λn（n=1，2，3…） ,則實數(shù)λ的取值范圍 。 [解析]： ∵數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+λn（n=1，2，3…） 數(shù)列是遞增數(shù)列 ∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)- n2-λn =2n+1+λ>0 恒成立 ∵2

4、n+1+λ的最小值是3+λ ∴3+λ>0 ∴λ>-3 實數(shù)λ的取值范圍是（-3，+∞） 【例題2】數(shù)列{an}的通項公式為an=3n2-28n,則數(shù)列各項中最小項是（ B ） A．第４項 B．第５項 C．第６項 D．第７項 [解析1]：an=f(n)= 3n2-28n，f(n)是一元二次函數(shù)，其圖像開口向上，有最低點，最低點是 由于n∈ N+，故取n=4和n=5代入，得到a4=-64，a5=-65，故選擇B an≥an-1 an≤an+1 3n2-28n≥3(n-1)2-28(n-1) 3n2-28n≤3(n+1)2-28(n+1)

5、 [解析2]： 設(shè)an為數(shù)列的最小項，則有 代入化簡得到 解得： 故n=5 【練習(xí)1】在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值為（ Ｄ） -2 (n=1) 2n-5 (n≥2) A．10 B．11 C．12 D．13 【練習(xí)2】數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-4n+1，則an an= 【知識要點2等差數(shù)列】 1. 定義：如果數(shù)列{an}從第二項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這

6、個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即an-an-1=d（n∈N+，且n≥2），或者an+1-an=d（n∈N+） 2. 通項公式： an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d (公式的變形) an=an+b 其中a=d，b= a1-d 3. 前n項和公式： (公式的變形) Sn=An2+Bn 其中A= B= 4. 性質(zhì)： （1）公式變形 （2）如果A=,那么A叫做a和b的等差中項. （3）若{}為等差數(shù)列，且有k+l=m+n, 則 （4）若為等差數(shù)列則{是等差數(shù)列，其中p,q均為常數(shù) （5）若{}為等差數(shù)列，則（k,m）組成公

7、差為md的等差數(shù)列. （6）若分別為{}的前n項，前2m項，前3m項的和，則,,成等差數(shù)列. （7）若{}設(shè)等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，其首項與{}首項相同，公差是{}公差的 （7）非零等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì) 若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd， 若項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an，S奇=nan， 5. 判斷： ①定義法：an+1-an=d（n∈N+） ②中項法：2an+1=an+ an+2 += {}為等差數(shù)列。 ③通項公式法：an=an+b（a,b為常數(shù)）{ } ④前n項和公式法：Sn=An2+Bn

8、（A,B為常數(shù)）{} 【例題1】已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ B ） （A） （B） （C） （D） [解析]：∵ d=1 ∴S8=8a1+28 S4=4a1+6 ∵S8=4 S4 ∴ a1=0.5 an=a1+(n-1)d ∴a10= 【例題2】在等差數(shù)列中，若，則= 10 . [解析]：因為是等差數(shù)列，所以，即，所以，故應(yīng)填入． 【知識要點3等比數(shù)列】 1. 定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個不為零的常熟，那么這個數(shù)列就叫做

9、等比數(shù)列.這個常熟叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，及 2. 通項公式： na1 (q=1) 或 (q≠1) 如果等比數(shù)列的公比為q，那么它的通項公式為. 3. 前n項和公式： 設(shè)等比數(shù)列{}的公比為q，其前n項和= 4. 性質(zhì)： （1） 等比數(shù)列{}滿足>0q>1或01或0

10、，的關(guān)系為: （3）若{},{}為等比數(shù)列（項數(shù)相同），則{}(≠0),{},{},{},{}仍是等比數(shù)列. （4）如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，且G=√ab。不是任何兩數(shù)都有等比中項，只 有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個等比中項。 【例題1】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和等于 . [解析]：由題意解得：a1=1，a4=8， q=2，那么 【例題2】數(shù)列中為的前n項和，若，則 6 . [解析]：∵an+1=2an ∴數(shù)列是等比數(shù)列，q=2 ∵Sn= =126 其中a1=2 ∴n=6 【知識要點4

11、】★（大題） 一、考點1：求an： 1. 歸納法（由特殊到一般即找規(guī)律） 由于歸納法求解通項的題目一般在選擇填空常見，較少出現(xiàn)在大題中。 2. 利用Sn與an的關(guān)系求通項公式 由Sn求an時，要分n=1和n≥2兩種情況討論，然后驗證兩種情況能否用統(tǒng)一的式子表示。若不能，則分段表示. 3. 由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式【累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號）、數(shù)學(xué)歸納法、不動點法（遞推式是一個數(shù)列通項的分式表達式）、特征根法】 1.累加法：若已知且則，即. 2.累乘法：若已知且則 ,即 3.換元法：

12、若已知且且p）則令,可得{}（其中）為等比數(shù)列，其中可用待定系數(shù)法求出. 【例題1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（累加法） 解：由得則 所以數(shù)列的通項公式為。 【例題2】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（累乘法） 解：因為，所以，則，故 所以數(shù)列的通項公式為 二、考點2：求Sn： 1.公式法：直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解 2.倒序相加法：在數(shù)列{}中，與首末兩端等“距離”的兩項和相等或可構(gòu)成能求和的新數(shù)列，可用倒序相加法求此數(shù)列的前n項和。（此法在實際解體過程中并不常用，例子：等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)） 3.錯位相減法：在數(shù)列{}中，{}是等差數(shù)列，{}是

13、等比數(shù)列，可用錯位相減法求此數(shù)列的前n項和. 4.裂項相消法：把數(shù)列的每一項拆成兩項之差，求和時有些部分可以相互抵消，從而達到求和的目的. 5.分組轉(zhuǎn)化求和法：若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法分別求和再相加減。即把復(fù)雜的通項公式求和的任務(wù)轉(zhuǎn)化為簡單的等差和等比的求和。 6.并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如類型，可采用兩項合并求解. 【例題1】設(shè)數(shù)列滿足 ，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和。（錯位相減法） [解析]：（1）由已知，當(dāng)n≥1時， 。 而 所以數(shù)列{}的通項公式為。 （2）由知 ① 從而 ② ① -②得 即 【例題2】求數(shù)列的前n項和。（裂項相消法） [解析]：設(shè) （裂項） 則 （裂項求和） ＝ ＝ - 6 -