圓周運(yùn)動(dòng),開(kāi)普勒三定律,牛頓萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用

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1、 圓周運(yùn)動(dòng)，開(kāi)普勒三定律，牛頓萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用開(kāi)普勒的三大定律 第一定律 ( 軌道定律 ) ：一切行星都沿各自的橢圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律 ( 面積定律 ) ：對(duì)任何一個(gè)行星，它和太陽(yáng)連線在相等的時(shí)間內(nèi)總是掃過(guò)相等的面積。第三定律 ( 周期定律 ) ：每個(gè)行星的橢圓軌道是半長(zhǎng)軸的立方跟公轉(zhuǎn)周期 行的橢圓軌道與圓軌道相近，當(dāng)把行星軌道近似當(dāng)做圓時(shí)，公式中的 a 即為圓半 徑。 開(kāi)普勒確立的三定律為牛頓創(chuàng)立他的天體動(dòng)力學(xué)理論奠定的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，同時(shí)，開(kāi)普勒也是最早用數(shù)學(xué)公式表達(dá)物理規(guī)律并獲得成功的人之一，從他所在的時(shí)代

2、開(kāi)始，數(shù)學(xué)方程就成為表達(dá)物理規(guī)律的基本方式。 牛頓萬(wàn)有引力定律 ： 天體密度的測(cè)定 應(yīng)用萬(wàn)有引力定律測(cè)出某天體質(zhì)量又能測(cè)知該天體的半徑或直徑，就可求出該天體的密度，即 例如：某登月密封艙在離月球表面 112km的空中沿圓形軌道繞月球運(yùn)行，運(yùn)行周期為 120.5 分鐘，月球半徑為 1740km，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式算出月球質(zhì)量為 月球平均密度為 如果不易測(cè)知天體半徑，也可用人造飛行器沿該天體的表面勻速率

3、繞 密度為 天體質(zhì)量的測(cè)定 假定某天體的質(zhì)量為 M，有一質(zhì)量為 m的行星 ( 或衛(wèi)星 ) 繞該天體做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑為 r ，運(yùn)行周期為 T，由于萬(wàn)有引力就是該星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故有 例如：測(cè)知月球到地球平均距離為 r=3.84 108m，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)周期 T=27.3 日 =2.36 106 秒，萬(wàn)有引力常量 G=6.6710-11 牛米 2／kg2，將數(shù)據(jù)代入上式可

4、 求得地球質(zhì)量約為 5.98 1024kg。 由于地 球表面物體的重力近似等于萬(wàn)有引力，所以地球質(zhì)量還可用下式粗算 近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn) 人造地球衛(wèi)星的軌道多數(shù)不是圓而是橢圓，地球的球心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 上，如圖所示，當(dāng)衛(wèi)星位于圖中 P 點(diǎn)時(shí)，距離地球表面最近，此位置稱(chēng)為近地點(diǎn)，長(zhǎng)軸上的另一項(xiàng)點(diǎn) Q則為遠(yuǎn)地點(diǎn)。 由開(kāi)普勒定律可知衛(wèi)星位于近地點(diǎn)時(shí)速率最大，位于遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)速率最小，由于近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)處曲率半徑相同，所以

5、 由上面兩式比得 vP： vQ=LOQ： LOP 此式說(shuō)明同一顆衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)速率之比等于它們與地球中心距離的倒 數(shù)。近地點(diǎn)速率大，遠(yuǎn)地點(diǎn)速率小。在此，不要誤認(rèn)為 l 、l 是衛(wèi)星在近地點(diǎn) OP OQ 和遠(yuǎn)地點(diǎn)的曲率半徑。 人造地球衛(wèi)星 設(shè)某物體以速度 V 沿地球表面繞地球中心做圓周運(yùn)動(dòng)，它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是地球半徑 R0，促使它做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力即為萬(wàn)有引力且近似等于重力，故有 這說(shuō)明沿地球表面飛行的物體若要不落回地面，必須每秒鐘飛行

6、8km。 在牛頓時(shí)代，使物體達(dá)到這樣大的速度還不可能，直到 1957 年，原蘇聯(lián)利用多級(jí)火箭發(fā)射成功了人類(lèi)第一顆人造地球衛(wèi)星。 衛(wèi)星不可能恰好沿地球表面飛行，設(shè)衛(wèi)星距地面高度為 h，地球半徑為 R，地球質(zhì)量為 M，衛(wèi)星飛行速度為 v。 知道了衛(wèi)星距離地面的高度，就可確定衛(wèi)星飛行時(shí)的速度大小，例如我國(guó) 1970 年 4 月 24 日發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星距地面平均高度約為  1412km，所以衛(wèi) 星飛行的平均速率約為 不同高度處人造地

7、球衛(wèi)星的環(huán)繞速度及周期見(jiàn)下表： 圓周運(yùn)動(dòng)及應(yīng)用測(cè)試 ．如圖 一、單項(xiàng)選擇題 ( 本題共 5 小題，每小題 7 分，共 35 分) 1 所示，天車(chē)下吊著兩個(gè)質(zhì)量都是 m的工件 A 和 B，系 A 1 的吊繩較短，系 B 的吊繩較長(zhǎng)．若天車(chē)運(yùn)動(dòng)到 P 處突然停止，則 兩吊繩所受的拉力 FA和 FB 的大小關(guān)系為 ( ) ．FA FB B ．FA FB C． FA＝FB＝ mg ． FA＝FB

8、mg 圖 1 A > < D > 解析：天車(chē)運(yùn)動(dòng)到 P 處突然停止后， A、B 各以天車(chē)上的懸點(diǎn)為圓心做圓周運(yùn) 動(dòng)，線 速度相同而半徑不同，由 F－mg＝ m，得： F＝mg＋m，因?yàn)?m相等， v 相等， 而 LAFB，A 選項(xiàng)正確． 答案： A 2．如圖 2 所示， OO′為豎直軸， MN為固定在 OO′上的水 平光滑桿，有兩個(gè)質(zhì)量相同的金屬球 A、 B 套在水平桿上， AC和 BC為抗拉能力相同

9、的兩根細(xì)線， C端固定在轉(zhuǎn)軸 ， OO′上．當(dāng)繩拉直時(shí)， A、 B 兩球轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比恒為 2 ∶ 1 當(dāng) 轉(zhuǎn) 軸 的 角 速 度 逐 漸 增 大 時(shí) ( ) 圖 2 A．AC 先斷 B．BC 先斷 C．兩線同時(shí)斷 D．不能確定 哪根線先斷 解析：對(duì) A 球進(jìn)行受力分析， A 球

10、受重力、支持力、拉力 FA 三個(gè)力作用，拉 力的分 A 球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，得：水平方向 FA α＝mrAω ， 力提供 B球： FB β ＝mrBω cos 2 β＝ 同理，對(duì) ，由幾何關(guān)系，可知 cos α＝， cos . cos 2 所以：＝＝＝ . 由于 AC BC，所以 FA FB，即繩 AC先斷．答案： A > > 3．(2010 臨沂模擬 ) 如圖 3 所

11、示，某同學(xué)用硬塑料管和一個(gè)質(zhì)量為 m的鐵質(zhì)螺絲 帽研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)，將螺絲帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持豎直并沿水 平方向做半徑為 r 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則只要運(yùn)動(dòng)角速度大小合適，螺絲帽恰好不 下滑．假設(shè)螺絲帽與塑料管間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 μ，認(rèn)為最大靜摩擦力近似等于滑 動(dòng) 摩擦力． 則 在 該 同學(xué)手轉(zhuǎn) 動(dòng) 塑 料 管 圖 3 使 螺 絲 帽 恰 好 不 下 滑 時(shí) ， 下 述 分 析 正 確 是 ( )  的 A．螺絲帽受的重力與最大靜摩擦力平衡 B．螺絲帽受到桿的彈力方向水平

12、向外，背離圓心 C．此時(shí)手轉(zhuǎn)動(dòng)塑料管的角速度 ω＝ D．若桿的轉(zhuǎn)動(dòng)加快，螺絲帽有可能相對(duì)桿發(fā)生運(yùn)動(dòng) 解析：由于螺絲帽做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好不下滑，則豎直方向上重力與最大靜摩擦 力平衡，桿對(duì)螺絲帽的彈力提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有 mg＝Ff ＝ μFN＝ μmω 2r ，得 ω＝ ，選項(xiàng) A 正確、 B、 C錯(cuò)誤；桿的轉(zhuǎn)動(dòng)速度增大時(shí)，桿對(duì)螺絲 帽的彈力增大，最大靜摩擦力也增大，螺絲帽不可能相對(duì)桿發(fā)生運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．  D 答案： A 4．如圖 4 所示，靠摩擦傳動(dòng)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的大、小兩輪接

13、觸 面互不打滑，大輪半徑是小輪半徑的 2 倍． A、B 分別為大、 小輪邊緣上的點(diǎn)， C 為大輪上一條半徑的中點(diǎn)．則 ( ) 圖 4 A．兩輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等 B ．大輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是小輪的 2 倍 ．質(zhì)點(diǎn)加速度 aA＝ aB D ．質(zhì)點(diǎn)加速度 aB＝ aC C 2 4 解析：兩輪不打滑，邊緣質(zhì)點(diǎn)線速度大小相等， vA＝ vB，而 rA ＝ 2rB ，故 ω A＝ ωB， A、B 錯(cuò)誤；由 an＝得＝＝， C錯(cuò)誤；由 an＝ω 2r 得＝＝ 2，則＝ 4，D正確． 答案： D 5．(2

14、010 茂名模擬 ) 如圖 5 所示，在傾角 α ＝30的光滑斜面 上，有一根長(zhǎng)為 L＝0.8 m 的細(xì)繩，一端固定在 O 點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為 m＝0.2 kg 的小球，小球沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng)．若要小球能通過(guò)最高點(diǎn) A，則小球在最低點(diǎn) B 的最小速度是 ( ) 圖5 A．2 m/s  B． 2 m/s  C ．2 m/s  D．2 m/s 解析：通過(guò) A 點(diǎn)的最小速度為 vA＝＝ 2 m/s ，則根據(jù)機(jī)械能守恒定律得： mvB2＝mvA2＋mgL，解得 vB＝2 m/s ，即 C選項(xiàng)正確． 答案： C 二、雙

15、項(xiàng)選擇題 ( 本題共 5 小題，共 35 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有兩個(gè)選項(xiàng) 正確，全部選對(duì)的得 7 分，只選一個(gè)且正確的得 2 分，有選錯(cuò)或不答的得 0 分) 6．如圖 6 所示，一小物塊在開(kāi)口向上的半圓形曲面內(nèi)以某一速率開(kāi)始下滑，曲面內(nèi)各處動(dòng)摩擦因數(shù)不同，此摩擦作用使物塊下滑時(shí) 速率保持不變，則下列說(shuō)法正確的是 ( ) A． 因 物 塊 下 滑 速 率 保 持 不 變 ， 故 加 速 度 為 零 圖 6 B．物塊所受合外力大小不變，方向改變 C．在滑到最低點(diǎn)以前，物塊對(duì)曲面的壓力越來(lái)越大

16、D．在滑到最低點(diǎn)以前，物塊受到的摩擦力越來(lái)越大 解析：物塊下滑速率不變，可理解為物塊的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，物塊所 受合外力充當(dāng)所需的向心力，故合外力大小不變，而方向改變，向心加速度不為 零；設(shè)下滑過(guò)程中物塊和圓心的連線與豎直方向的夾角為 θ ，對(duì)物塊進(jìn)行受力分析可得 FN－ mgcos θ＝ m，其中 θ 越來(lái)越小，所以 FN 越來(lái)越大； Ff ＝ mgsin θ，θ 越來(lái)越小時(shí)， Ff 越來(lái)越小，故選項(xiàng) B、 C正確．答案： BC 7．如圖 7 所示，在雙人花樣滑冰運(yùn)動(dòng)中，有時(shí)會(huì)看到被男運(yùn)動(dòng)員拉著的女運(yùn)

17、動(dòng)員 離開(kāi)地面在空中做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的精彩場(chǎng)面，目測(cè)體重為 G 的女運(yùn)動(dòng)員做圓錐擺運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 和 水 平 冰 面 的 夾 角 約 為 30 ， 重 力 加 速 度 為 g ， 估 算 該 女 運(yùn) 動(dòng) 員 （ ) 圖 7 ．受到的拉力為 G B ．受到的拉力為 G A ．向心加速度為 2 ．向心加速度為 g D g C 2 F 解析：設(shè)女運(yùn)動(dòng)員受到的拉力大小為 F，分析女運(yùn)動(dòng)員受力情況可知， ＝

18、G， sin30 ＝ ma向，可得： F＝ G， a 向＝ g，故 、 正確． 答案： F BC cos30 2 B C 8．(2010 惠州聯(lián)考 ) 甲、乙兩名溜冰運(yùn)動(dòng)員，面對(duì)面拉著彈簧測(cè)力計(jì) 做圓周運(yùn)動(dòng)， 如圖 8 所示．已知 M甲＝ 80 kg ， M乙＝ 40 kg ，兩人相距 0.9 m ，彈簧測(cè)力計(jì)的示 數(shù) 為  96 N ，  下 列 判  斷 中  正 確  的 是

19、  ( )  圖 8 A．兩人的線速度相同，約為  40 m/s  B ．兩人的角速度相同，為  2 rad/s C．兩人運(yùn)動(dòng)半徑相同，都是  0.45 m  D ．兩人運(yùn)動(dòng)半徑不同，甲為  0.3 m，乙為  0.6 m 解析：兩人旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間相同，故兩人的角速度相同，兩人做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向 心力相同，由 F＝ mω 2r 可知，旋轉(zhuǎn)半徑滿(mǎn)足： r 甲∶ r 乙＝ M 乙∶ M 甲＝1∶2， 又 r 甲＋ r 乙＝ 0.9 m ，則 r 甲＝ 0.3 m ，

20、r 乙＝ 0.6 m. 兩人的角速度相同，則 v 甲∶ v 乙＝ 1∶2. 由 F＝M甲 ω r 甲可得 ω ＝ 2 rad/s. 故選項(xiàng) 、 D 正確． 答案： 2 B BD 9．(2010 陽(yáng)江模擬 ) 如圖 9 所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道 內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，管道內(nèi)側(cè)壁半徑為 R，小球半徑為 r ，則下列說(shuō)法中正確的是 ( A．小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度 vmin＝ B．小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度 vmin＝0  )

21、 C．小球在水平線 力 圖 9  ab  以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無(wú)作用 D．小球在水平線 ab 以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力 解析：由于圓形管道可提供支持力，故小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度可以為零． 小球在 水平線 ab 以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力方向豎直向下，而向心力指向圓心，故內(nèi)側(cè) 管壁不會(huì)對(duì)小球有作用力，而在水平線 ab 以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果小球的速度 正 較小，如在最高點(diǎn)的速度 v≤時(shí)，最高點(diǎn)的外側(cè)管壁對(duì)小球無(wú)作用力，故、 C B 確， A、D錯(cuò)誤

22、． 答案： BC 10．如圖 10 所示，放置在水平地面上的支架質(zhì)量為 M，支架頂端用 細(xì)線拴著的擺球質(zhì)量為 m，現(xiàn)將擺球拉至水平位置，而后釋放，擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，支架始終不動(dòng)，以下說(shuō)法正確的是 ( ) A．在釋放前的瞬間，支架對(duì)地面的壓力為 ( m＋M g ) B．在釋放前的瞬間，支架對(duì)地面的壓力為 Mg 圖 10 C．?dāng)[球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，支架對(duì)地面的壓力為 ( m＋ M g ) D．?dāng)[球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，支架

23、對(duì)地面的壓力為 (3 m＋ M g ) 解析：在釋放前的瞬間繩拉力為零 M F Mg 對(duì) ： N1＝ ； 當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒得 mgR＝ ① 由牛頓第二定律得： F － mg＝ ②由①②得繩對(duì)小球的拉力 F ＝ mg T F ＝ Mg＋ mg T 3 對(duì)支架 M由受力平衡，地面支持力 由牛頓第三定律知， F N 3 正確． 答案： ＝ mg＋ Mg，故選項(xiàng) 、 BD 支架對(duì)地面的壓力 N

24、2 3 B D 三、非選擇題 ( 本題共 2 小題，共 30 分 ) 11．(15 分 ) (2009 廣東高考 ) 如圖 11 所示，一個(gè)豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸 OO′轉(zhuǎn) 動(dòng)，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為 R和 H，筒內(nèi)壁 A 點(diǎn)的高度為筒高的一半．內(nèi) 壁上有一質(zhì)量為 m的小物塊． 求： 圖 11 (1) 當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊靜止在筒壁 A 點(diǎn)受到的摩擦力和支持力的大小； (2) 當(dāng)物塊在 A 點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其所受到的摩擦力為零時(shí)，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．

25、 解析： (1) 物塊靜止時(shí)，對(duì)物塊進(jìn)行受力分析如圖所示，設(shè)筒壁與水平面的夾角為 θ. 由平衡條件有 Ff ＝ mg θ F ＝ mg θ 由圖中幾何關(guān)系 sin Ncos 有 cosθ＝ ， sin θ＝故有 Ff ＝， FN＝ (2) 分析此時(shí)物塊受力如圖所示，由牛頓第二定律有 mg θ＝mrω 2. tan 其中 tan θ ＝， r ＝，可得 ω ＝ . 答案： (1)(2) 12． (15 分 ) (2010 青島模擬 ) 如圖 12 所示，一根長(zhǎng)

26、0.1 m 的 細(xì) 線，一端系著一個(gè)質(zhì)量為 0.18 kg 的小球，拉住線的另一端， 使小球在光滑的水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，使小球的轉(zhuǎn) 速很緩慢地增加，當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速增加到開(kāi)始時(shí)轉(zhuǎn)速的 3 倍 時(shí)，細(xì)線斷開(kāi)，線斷開(kāi)前的瞬間線受到的拉力比開(kāi)始時(shí)大 圖 12 40 N，求： (1) 線斷開(kāi)前的瞬間，線受到的拉力大??； (2) 線斷開(kāi)的瞬間，小球運(yùn)動(dòng)的線速度； (3) 如果小球離開(kāi)桌面時(shí)，速度方向與桌邊緣的夾角為 60，桌面高出地面 0.8 m，求 小球飛出后的落地點(diǎn)距桌邊緣的水平距離． 解析： (1) 線的拉力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

27、，設(shè)開(kāi)始時(shí)角速度為 ω 0，向心力為 F0，線斷開(kāi)的瞬間，角速度為 ω ，線的拉力為 FT. F 0 ＝ mω 02R ①FT＝ mω R ② 2 ③又因?yàn)? F ＝F ＋ ④ 由③④得 由①②得＝＝ 40 N T 0 FT＝45 N (2) 設(shè)線斷開(kāi)時(shí)小球的線速度為 v，由 FT＝得， v＝ ＝ m/s ＝5 m/s (3) 設(shè)桌面高度為 h，小球落地經(jīng)歷時(shí)間為 t ，落地點(diǎn)與飛出桌面點(diǎn)的水平距離為 x. 由 h＝gt 2 得 t ＝ ＝0.4 s 則小球飛出后的落地點(diǎn)到桌邊緣的水平距離為  x＝ vt ＝2 m l ＝xsin60  ＝ 1.73 m. 答案： (1)45 N  (2)5 m/s  (3)1.73 m