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1、第二章 二次函數(shù)
6.何時獲得最大利潤
廣東省深圳市羅湖區(qū)羅湖中學 何鉆雄
一、學生知識狀況分析
學生的知識技能基礎：由簡單的二次函數(shù)y＝x2開始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，學生已經掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和性質。
學生的活動經驗基礎：在前面對二次函數(shù)的研究中，學生研究了二次函數(shù)的圖象和性質，掌握了研究二次函數(shù)常用的方法。
二、教學任務分析
“何時獲得最大利潤”似乎是商家才應該考慮的問題，但是這個問題的數(shù)學模型正是我們研究的二次函數(shù)的范疇。二次函數(shù)化為頂點式后，很容易求出最大或最小值
2、。而何時獲得最大利潤就是當自變量取何值時，函數(shù)值取最大值的問題。因此本節(jié)課中關鍵的問題就是如何使學生把實際問題轉化為數(shù)學問題，從而把數(shù)學知識運用于實踐。即是否能把實際問題表示為二次函數(shù)，是否能利用二次函數(shù)的知識解決實際問題，并對結果進行解釋。具體地，本節(jié)課的教學目標是：
(一)知識與技能
1、經歷探索T恤衫銷售中最大利潤等問題的過程，體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學模型，并感受數(shù)學的應用價值。
2、能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大(小)值，發(fā)展解決問題的能力。
(二)過程與方法
經歷銷售中最大利潤
3、問題的探究過程，讓學生認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，發(fā)展學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。
(三)情感態(tài)度與價值觀
1、體會數(shù)學與人類社會的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值。增進對數(shù)學的理解和學好數(shù)學的信心。
2、認識到數(shù)學是解決實際問題和進行交流的重要工具，了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用。
教學重點：能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最值
教學難點：能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最值
三、教學過程分析
本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：
4、復習回顧、創(chuàng)設問題情境講授新課、鞏固練習、實踐應用、課堂小結、課后作業(yè)。
第一環(huán)節(jié) 復習回顧
活動內容：
1．復習二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的相關性質：頂點坐標、對稱軸、最值等。
2．復習這節(jié)課所要用的其他相關知識：利潤=售價－進價，總利潤=每件利潤銷售額
活動目的：為后面新課作準備
第二環(huán)節(jié) 創(chuàng)設問題情境，引入新課
活動內容：（有關利潤的問題）
某商店經營T恤衫，已知成批購進時單價是2.5元。根據(jù)市場調查，銷售量與銷售單價滿足如下關系：在一段時間內，單價是13.5元時，銷售量是500件，而單價每降低1元，就可以多售出200件。
請你幫助分析，銷售單價是
5、多少時，可以獲利最多?
設銷售單價為x(x≤13.5)元，那么
(1)銷售量可以表示為 ；
(2)銷售額可以表示為 ；
(3)所獲利潤可以表示為 ；
(4)當銷售單價是 元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是 ．
這是一個有實際意義的問題，要想解決它，就必須尋找出問題本身所隱含的一些關系，并把這些關系用數(shù)學的語言表示出來。
設銷售單價為x元，則與原先的單價相比，降低了(13.5-x)元，而每降低1元，可多售出200件，降低了(13.5-x)元，則可多售出200(13.5-x)件，因此共售
6、出500+200(13.5-x)件，若所獲利潤用y(元)表示，則y＝(x-2.5)[500+200(13.5-x)]。
經過分析之后，上面的4個問題就可以解決了。
(1)銷售量可以表示為500+200(13.5-x)=3200—200x。
(2)銷售額可以表示為x(3200-200x)=3200x-200x2。
(3)所獲利潤可以表示為(3200x-200x2)-2.5(3200-200x)＝-200x2+3700x-8000。
(4)設總利潤為y元，則
y＝-200x2+3700x-8000
=-200(x-.
∵-200＜0
7、
∴拋物線有最高點，函數(shù)有最大值。
當x＝＝9.25元時，
y最大= =9112.5元.
即當銷售單價是9．25元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是9112．5元．
活動目的：
通過這個實際問題，讓學生感受到二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學模型，并感受數(shù)學的應用價值。在這里幫助學生分析和表示實際問題中變量之間的關系，幫助學生領會有效的思考和解決問題的方法，學會思考、學會分析，是教學的一個重要內容。
第三環(huán)節(jié) 鞏固練習
活動內容：解決本章伊始，提出的“橙子樹問題”（1.驗證猜測；2.進一步分析）
1．本章一開始的“種多少棵橙子樹”的問題，我們得到了表示增種橙子樹的數(shù)
8、量x(棵)與橙子總產量y(個)的函數(shù)關系是：二次函數(shù)表達式y(tǒng)＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。
當時曾經利用列表的方法得到一個猜測，現(xiàn)在可以驗證當初的猜測是否正確？你是怎么做的？與同伴進行交流。
實際教學效果：
大多數(shù)學生可以利用二次函數(shù)的頂點式解決問題。
y＝-5x2+100x+60000＝-5(x2-20x+100-100)+60000＝-5(x-10)2+60500。
當x=10時，y最大=60500。
2．議一議：（要求學生畫出二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答問題）
(1)利用函數(shù)圖象描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數(shù)
9、之間的關系。
(2)增種多少棵橙子樹，可以使橙子的總產量在60400個以上？
實際教學效果：
學生可以順利解決這個問題，答案如下
(1)當x<10時，橙子的總產量隨增種橙子樹的增加而增加；當x>10時，橙子的總產量隨增種橙子樹的增加而減小。
(2)由圖可知，增種6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子總產量在60400個以上。
第四環(huán)節(jié) 實踐應用
活動內容：
某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內可以售出400件。根據(jù)銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，
10、銷售量相應減少20件。如何提高售價,才能在半個月內獲得最大利潤？
解：設銷售單價為；元，銷售利潤為y元，則
y=(x-20)[400-20(x-30)]
＝-20x2+1400x-20000
＝-20(x-35)2+4500。
所以當x=35元，即銷售單價提高5元時，可在半月內獲得最大利潤4500元．
第五環(huán)節(jié) 課堂小結
本節(jié)課經歷了探索T恤衫銷售中最大利潤等問題的過程，體會了二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學模型，并感受了數(shù)學的應用價值。
學會了分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題中的最大(小)值，提高解決問題的能力。
第六環(huán)節(jié) 課后作業(yè)
習題2．7第1，2題
四、教學反思
本節(jié)課中關鍵的問題就是如何使學生把實際問題轉化為數(shù)學問題，從而把數(shù)學知識運用于實踐。即是否能把實際問題表示為二次函數(shù)，是否能利用二次函數(shù)的知識解決實際問題，并對結果進行解釋。
在教學中，要對學生進行適時的引導，并采用小組討論的方式掌握本節(jié)課的內容，從而發(fā)展學生的數(shù)學應用能力。
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《何時獲得最大利潤》（教學設計說明）
