牛頓萊布尼茨公式

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1、 2 牛頓—萊布尼茨公式 用定義來計算定積分一般是很困難的，下面將要介紹的牛頓 —萊布尼茨公式不僅為定積分的計算提供了一個有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來。 定理 9-1 若函數(shù) f ( x) 在 [ a,b] 上連續(xù)，且存在原函數(shù) F ( x) ，則 f ( x) 在 [ a, b] 上可積，且 b f (x)dx F (b) a b F ( x) 這即為牛頓 — 萊布尼茨公式，也常記為 f ( x)dx a F (a) b a F (b) F ( a) 。

2、注 1：在實(shí)際應(yīng)用中， 定理的條件是可以適當(dāng)減弱的， 如 F (x) ：在在 [a, b] 上連續(xù)， 在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)， 且 F ( x) f ( x), x (a, b) 。而 f ( x) 只要在在 [ a, b] 上可積即可。 注 2：本定理對 F ( x) 的要求是多余的。 例 1 利用牛頓 —萊布尼茨公式計算下列定積分： b n dx （ n 為整數(shù)）； b dx b x dx ； 1） x 2） x 2 （ 0

3、 a sin xdx ； 5） 2 x 2 dx. 4） x 4 0 0 注：因?yàn)槎ǚe分是一類和式的極限，故可以借助于定積分來為某些特殊的極限。 例 2 利用定積分求極限： lim ( 1 1 1) J. n n 1 n 2 2n 解答方法： 利用定積分來為極限的關(guān)鍵是把掃求極限轉(zhuǎn)化成某函數(shù)的積分和的形式。 作業(yè)： P206： 1（2）、（ 4）、（ 6）、（ 8）； P207： 2（ 2）、（ 3）。 1