微分、微元和外微分--從牛頓-萊布尼茨公式談起(清華大學(xué))

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1、 開(kāi) 啟 培 養(yǎng) 創(chuàng) 造 能 力 的 窗 口如何將數(shù)學(xué)教得更明白清華大學(xué)韓云瑞 教育數(shù)學(xué)思想對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示1 什 么 是 教 育 數(shù) 學(xué)2 研 究 得 越 透 徹 ， 呈 現(xiàn) 的 就 越 簡(jiǎn) 單3 追 求 體 系 的 簡(jiǎn) 約 和 表 述 的 平 易4 澄 清 誤 解 ， 科 學(xué) 準(zhǔn) 確 地 把 握 概 念 什 么 是 教 育 數(shù) 學(xué) “ 教 育 數(shù) 學(xué) ” 是 張 景 中 院 士 根 據(jù) 歐 幾 里 德 的 幾何 原 本 、 柯 西 的 分 析 教 程 和 布 爾 巴 基 的 數(shù) 學(xué)原 理 等 教 育 數(shù) 學(xué) 大 師 的 著 名 范 例 ， 創(chuàng) 造 性 地 提 出 并倡 導(dǎo) 的 一 個(gè) 全

2、 新 的 理 論 。 這 門(mén) 科 學(xué) 的 任 務(wù) 是 ： 基 于 數(shù) 學(xué) 教 育 的 需 要 ， 根 據(jù)教 育 數(shù) 學(xué) 的 規(guī) 律 ， 對(duì) 于 數(shù) 學(xué) 研 究 成 果 進(jìn) 行 數(shù) 學(xué) 上 的再 創(chuàng) 造 ， 提 供 教 學(xué) 法 加 工 的 材 料 。 教 育 數(shù) 學(xué) 是 介 于 數(shù) 學(xué) 和 教 育 學(xué) 之 間 的 、 以 數(shù) 學(xué) 為 主體 的 新 興 的 交 叉 學(xué) 科 。 教 育 數(shù) 學(xué) 是 一 個(gè) 全 新 的 理 論 ，一 門(mén) 新 興 的 學(xué) 科 。 數(shù) 學(xué) 的 三 種 形 態(tài) ： 原 始 形 態(tài) ， 學(xué) 術(shù) 形 態(tài) ， 教 育 形 態(tài) “教 育 數(shù) 學(xué) ” 是 具 有 教 育 形 態(tài) 的

3、數(shù) 學(xué) 或 者 說(shuō) ： 教育 數(shù) 學(xué) 的 任 務(wù) 就 是 構(gòu) 建 具 有 教 育 形 態(tài) 的 數(shù) 學(xué) 數(shù) 學(xué) 教 育 的 任 務(wù) 是 使 教 育 適 合 于 數(shù) 學(xué) ；教 育 數(shù) 學(xué) 的 任 務(wù) 是 使 數(shù) 學(xué) 適 合 于 教 育 數(shù) 學(xué) 家 的 研 究 成 果 很 難 直 接 成 為 教 學(xué) 內(nèi) 容 ， 需 要進(jìn) 行 數(shù) 學(xué) 上 的 再 創(chuàng) 造 ， 才 能 將 這 些 成 就 成 為 符 合 教育 基 本 規(guī) 律 的 教 材 這 是 銜 接 數(shù) 學(xué) 成 就 和 數(shù) 學(xué) 教 育 的 不 可 或 缺 的 鏈 條 ，這 就 是 教 育 數(shù) 學(xué) 的 任 務(wù) 教 育 數(shù) 學(xué) 研 究 那 些 問(wèn) 題 ？

4、1 對(duì) 于 已 有 數(shù) 學(xué) 知 識(shí) 在 體 系 結(jié) 構(gòu) 的 簡(jiǎn) 約 性 和 知 識(shí)傳 播 的 有 效 性 上 進(jìn) 行 再 創(chuàng) 造 ， 以 最 簡(jiǎn) 潔 明 了 、 易 于接 受 的 邏 輯 體 系 向 學(xué) 生 提 供 最 值 的 傳 授 的 數(shù) 學(xué) 知 識(shí)3 研 究 適 合 于 現(xiàn) 代 教 育 技 術(shù) 和 傳 播 技 術(shù) 的 數(shù) 學(xué) 知 識(shí)的 表 現(xiàn) 方 式 ， 發(fā) 揮 現(xiàn) 代 技 術(shù) 的 優(yōu) 勢(shì) 2 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 知 識(shí) 的 表 述 方 式 ， 使 得 教 材 更 加 科 學(xué) 、更 加 平 易 ， 更 加 符 合 教 育 規(guī) 律 從 數(shù) 學(xué) 本 身 化 解 教學(xué) 難 點(diǎn) ， 而 不 是 通

5、過(guò) 教 學(xué) 法 化 解 難 點(diǎn) 數(shù) 學(xué) 教 育 的 任 務(wù) 是 由 數(shù) 學(xué) 本 身 的 研 究 來(lái) 化 解 教 學(xué)難 點(diǎn) ， 而 不 是 用 教 學(xué) 法 化 解 難 點(diǎn) 一 、 研 究 得 越 透 徹 ， 呈 現(xiàn) 的 就 越 簡(jiǎn) 單 有 些 知 識(shí) 點(diǎn) 之 所 以 成 為 教 學(xué) 難 點(diǎn) ， 是 因 為 我 們 研究 得 不 夠 透 徹 1. 嚴(yán) 格 的 極 限 概 念 .分 的 難 點(diǎn) 之 一表 述 的 極 限 概 念 是 微 積和 N怎 樣 化 解 這 個(gè) 教 學(xué) 難 點(diǎn) ？1 正 確 理 解 嚴(yán) 格 極 限 概 念 出 現(xiàn) 的 歷 史 背 景 和 在 微積 分 中 的 作 用 以 科 學(xué)

6、 的 方 法 闡 述 導(dǎo) 數(shù) 和 積 分 等 重 要 概 念 , 化 解 了 微 積 分 面 臨 的 巨 大 危 機(jī) 在 微 積 分 中 引 入 嚴(yán) 格 的 演 繹 推 理 ， 使 微 積 分 擺 脫 了 對(duì) 于 幾 何 直 觀 與 物 理 意 義 的 依 賴(lài) ：作 用 是方 法 對(duì) 于 微 積 分 的 主 要和 N 另 一 方 面 ， 這 種 方 法 的 功 能 僅 僅 是 對(duì) 于 已 有 知 識(shí) 的正 確 陳 述 ， 不 是 創(chuàng) 造 新 知 識(shí) 的 途 徑 2 揭 示 極 限 概 念 包 含 的 哲 學(xué) 內(nèi) 涵 和 美 學(xué) 意 境有 限 與 無(wú) 限 的 辯 證 法 ： .)(lim0 的

7、過(guò) 程看 起 來(lái) 是 一 個(gè) 近 在 咫 尺Axfxx 極 限 概 念 將 其 拉 長(zhǎng) 成 為 一 個(gè) 無(wú) 限 變 化 過(guò) 程 然 后 用 算 術(shù) 化 的 方 法 描 述 這 個(gè) 過(guò) 程 ： )|(|)(| 0 xxAxf和 不 等 式、用 常 數(shù) .刻 畫(huà) 這 個(gè) 過(guò) 程 的 特 點(diǎn)方 法 的 基 本 特 征 ： 算 術(shù) 化 ， 顛 倒 因 果 關(guān) 系 實(shí) 現(xiàn) 的 基 本 目 標(biāo) ： 可 觀 測(cè) 數(shù) 列 極 限 的 意 境 ： .|,0lim AaNnNAa nnn意 境 ： 無(wú) 限 追 求 ， 義 無(wú) 反 顧 3 了 解 直 觀 極 限 概 念 缺 陷 不 可 觀 測(cè) 因 而 不 能 用

8、于 演 繹 推 理 不 能 運(yùn) 算 因 而 不 能 賦 予 代 數(shù) 結(jié) 構(gòu) 不 可 靠 因 而 可 能 得 出 錯(cuò) 誤 的 結(jié) 論 成 功 的 關(guān) 鍵 是 避 開(kāi) 了 “ 無(wú) 窮 小 量 ” ， 而 使 用 算 術(shù)化 的 方 法 、 用 有 限 表 述 無(wú) 限 ， 用 “ 任 意 小 ” 描 述“ 無(wú) 窮 小 ” . .地 建 立 了 微 積 分 的 基 礎(chǔ)語(yǔ) 言 建 立 的 極 限 論 成 功 但 是 對(duì) 于 數(shù) 學(xué) 上 的 “ 無(wú) 窮 小 世 界 ” 的 性 質(zhì) 和 結(jié) 構(gòu)的 認(rèn) 識(shí) ， 這 種 方 法 是 無(wú) 能 為 力 的 后 來(lái) 產(chǎn) 生 的 “ 非 標(biāo) 準(zhǔn) 分 析 ” 和 其 他 數(shù)

9、 理 邏 輯 領(lǐng) 域中 有 關(guān) 于 無(wú) 窮 小 的 概 念 和 邏 輯 體 系 ， 試 圖 從 另 外 的角 度 解 釋 微 積 分 的 問(wèn) 題 ， 并 且 企 圖 使 數(shù) 學(xué) 上 的 無(wú) 窮小 集 合 與 物 理 學(xué) 上 的 微 觀 世 界 相 聯(lián) 系 ， 則 是 另 外 一個(gè) 研 究 領(lǐng) 域 直 覺(jué) 的 不 可 靠 性直 覺(jué) 為 什 么 不 可 靠 ？知 覺(jué) 能 力 的 有 限 性 與 客 觀 世 界 的 變 化 無(wú) 限 性 矛 盾 直 覺(jué) 的 不 精 確 與 客 觀 事 物 的 復(fù) 雜 性 矛 盾 連 續(xù) 發(fā) 現(xiàn) 100個(gè) 蘋(píng) 果 是 紅 的 ， 但 由 此 推 斷 所 有 蘋(píng) 果都 是

10、 紅 的 ， 則 是 錯(cuò) 誤 的 不 論 發(fā) 現(xiàn) 數(shù) 列 的 前 多 少 項(xiàng) 越 來(lái) 越 接 近 于 ， 也 不斷 定 數(shù) 列 的 極 限 等 于 既 然 “ 無(wú) 限 逼 近 ” 的 過(guò) 程 不 能 直 接 測(cè) 量 ， 就 需 要建 立 一 個(gè) 模 式 ， 明 確 定 義 和 有 效 觀 測(cè) “ 無(wú) 限 逼 近 ”這 個(gè) 事 實(shí) 直 覺(jué) 的 失 敗 ?)103)(102)(101(lim 3 n nnnn .0,100 會(huì) 誤 以 為 極 限 等 于項(xiàng)如 果 只 看 前,7.35214,122513,1010000 321 aaa 000038.0,000088.0,000170.0 9897

11、96 aaa000002.0,000012.0 10099 aa .1實(shí) 際 上 極 限 等 于 直 覺(jué) 的 失 敗 2 某 公 司 員 工 A 和 B 兩 種 崗 位 .崗 位 A每 月 底 薪 1000元 ， 每 月 加 薪 200元 ；兩 種 崗 位 都 是 半 月 發(fā) 一 次 薪 金 ， 人 們 都 看 好 崗 位 A實(shí) 際 情 況 是 ： 到 第 11個(gè) 月 ， 崗 位 B的 薪 酬 就 超 過(guò) 了崗 位 A 而 且 差 距 逐 步 擴(kuò) 大 崗 位 B每 月 底 薪 600元 ， 每 半 月 加 薪 60元 4 恰 當(dāng) 的 教 學(xué) 定 位 合 理 的 教 學(xué) 要 求 用 簡(jiǎn) 單 的

12、例 題 、 簡(jiǎn) 潔 的 過(guò) 程 ， 詮 釋 極 限 概 念 體 現(xiàn)的 思 維 方 式 和 論 證 方 法 避 免 繁 雜 的 技 巧 和 計(jì) 算 的 枝 節(jié) 沖 淡 主 要 的 思 想 阿 基 米 德 公 理 ： .,Z,0, bnatsnba 例 1 用 極 限 概 念 證 明 .2112 100lim nnn證 明 大 ：進(jìn) 行 恒 等 變 形 和 適 當(dāng) 放對(duì) 于 | Aan )12(2 1992112 100 nnn第 一 步 12100 n .50n第 二 步 .N求 滿 足 要 求 的，對(duì) 于 任 意 給 定 的 ，對(duì) 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) .50, NN 滿 足取 自

13、然 數(shù)，只 要 Nn Nn 5050就 有 .5050 于 是 由 極 限 概 念 得 到 .2112 100lim nnn 2112 1000nn 2 如 何 表 述 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 收 斂 條 件 ？局 部 化 原 理狄 尼 判 別 法 狄 利 克 雷 判 別 法f (x) 逐 段 光 滑 f (x) 逐 段 單 調(diào) 對(duì) 于 非 數(shù) 學(xué) 專(zhuān) 業(yè) 的 學(xué) 生 ， 逐 段 單 調(diào) 要 比 逐 段 光 滑更 加 直 觀 、 平 易 而 且 在 數(shù) 學(xué) 上 也 更 切 中 要 點(diǎn) 2 追 求 體 系 的 簡(jiǎn) 約 和 表 述 的 平 易張 景 中 對(duì) 于 數(shù) 學(xué) 知 識(shí) 結(jié) 構(gòu) 和 表 現(xiàn) 方

14、法 提 出 的 標(biāo) 準(zhǔn) ：1.邏 輯 結(jié) 構(gòu) 盡 可 能 簡(jiǎn) 單 ；2.概 念 引 入 要 平 易 直 觀 ；3.要 建 立 有 力 而 通 用 的 解 題 工 具 。一 個(gè) 目 的 ： 把 數(shù) 學(xué) 變 得 容 易 些 ！張 景 中 院 士 的 教 學(xué) 目 的 和 教 學(xué) 三 原 則 ：教 學(xué) 三 原 則 ：1. 在 學(xué) 生 頭 腦 里 找 概 念2. 從 概 念 里 產(chǎn) 生 方 法3. 方 法 要 形 成 模 式 在 科 學(xué) 性 基 礎(chǔ) 上 追 求 邏 輯 系 統(tǒng) 的 簡(jiǎn) 約 ， 能 夠 達(dá) 到系 統(tǒng) 簡(jiǎn) 明 、 條 理 清 晰 和 易 于 掌 握 的 效 果 例 如 ： 多 元 函 數(shù) 微

15、 分 存 在 兩 個(gè) 偏 導(dǎo) 數(shù)在 點(diǎn)假 設(shè) ),(),( 00 yxyxf .yx ff 、.的 線 性 函 數(shù)和是 yxyfxfx .),(),( 0000 yyxxfyyxxff .0)()( )(lim 2200 yx yfxff xyx如 果 ,),(),( 00 可 微在 點(diǎn)則 稱(chēng) yxyxf yfxfyx x 的 線 性 函 數(shù)和 .),(),( 00 的 微 分在 點(diǎn)稱(chēng) 為 yxyxf這 種 表 述 方 式 的 優(yōu) 點(diǎn) ：1 平 易 而 不 失 科 學(xué) 性 ； 2 簡(jiǎn) 約 ； 3 有 效 概 念 本 身 明 確 了 微 分 與 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系 ， 解 決 了相 關(guān) 的

16、計(jì) 算 問(wèn) 題 ， 省 去 了 有 關(guān) 可 微 性 、 偏 導(dǎo) 數(shù) 存在 性 的 多 余 討 論 可 微 性 的 充 分 條 件 、 復(fù) 合 函 數(shù) 微 分 法 證 明 都 變 得 簡(jiǎn)單 判 定 函 數(shù) 可 微 性 題 目 也 簡(jiǎn) 單 了 適 當(dāng) 放 松 對(duì) 于 抽 象 度 和 形 式 化 的 追 求 ， 可 以使 數(shù) 學(xué) 更 加 容 易 和 有 效 ， 并 且 不 影 響 科 學(xué) 性 3 澄 清 誤 解 ， 科 學(xué) 準(zhǔn) 確 地 把 握 概 念 兩 個(gè) 不 同 的 微 分 概 念 牛 頓 和 萊 布 尼 茨 及 其 以 后 的 很 長(zhǎng) 的 一 段 時(shí) 期 中 ，“ 微 分 ” dx 和 dy

17、都 是 所 謂 的 “ 無(wú) 窮 小 的 數(shù) ” 不 等 于 零 、 但 是 小 于 任 意 正 數(shù) 函 數(shù) y=f (x) 的 導(dǎo) 數(shù) 就 是 函 數(shù) 微 分 dy 與 自 變 量 微 分 dx 的 比 值 茨 將 導(dǎo) 數(shù) 稱(chēng) 為 微 商 ，基 于 這 種 理 解 ， 萊 布 尼 .ddxy并 將 導(dǎo) 數(shù) 表 示 為 這 個(gè) “ 微 分 ” 已 經(jīng) 被 拋 棄 了 現(xiàn) 在 教 科 書(shū) 中 的 “ 微 分 ” 是 另 外 一 個(gè) 不 同 的 概念 這 兩 個(gè) 概 念 經(jīng) 常 被 人 們 互 相 混 淆 在 微 積 分 發(fā) 展 的 很 長(zhǎng) 一 段 歷 史 時(shí) 期 ， “ 對(duì) 函 數(shù) 進(jìn)行 微 分

18、” ， 就 是 指 求 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 微 分 運(yùn) 算 就 是 指導(dǎo) 數(shù) 運(yùn) 算 微 分 法 就 是 指 對(duì) 于 函 數(shù) 求 導(dǎo) 數(shù) 的 法 則 直 到 現(xiàn) 在 ， 西 方 的 許 多 教 材 仍 然 以 沿 襲 這 種 處 理方 法 微 分 學(xué) 和 積 分 學(xué) 的 劃 分微 積 分 學(xué) 的 兩 大 基 本 問(wèn) 題 ： 求 導(dǎo) 數(shù) ， 求 (定 )積 分 求 原 函 數(shù) 問(wèn) 題 屬 于 微 分 學(xué) 范 疇 “ 不 定 積 分 ” 是 一 個(gè) 不 甚 確 切 的 名 稱(chēng) 什 么 是 微 分 和 積 分 的 互 逆 關(guān) 系第 一 、 先 微 分 （ 求 導(dǎo) 數(shù) ） 后 積 分 則 還原 ： )

19、()(d)( aFbFttFba 第 二 、 先 積 分 后 微 分 （ 求 導(dǎo) 數(shù) ） 則 還 原 ：)(d)(dd xfttfx xa （ 牛 頓 萊 布 尼 茨 公 式 ）（ 變 上 限 積 分 求 導(dǎo) 公 式 ）柯 朗 說(shuō) ， 的 過(guò) 程求 積 分 導(dǎo) 致由 )()( xFxf .)( 使 之 還 原求 微 分 （ 即 求 導(dǎo) 數(shù) ）可 以 通 過(guò) 對(duì) 于 xF這 就 是 微 積 分 基 本 定 理 數(shù) 學(xué) ， 特 別 是 微 積 分 具 有 豐 富 的 文 化 內(nèi) 涵 包 括 數(shù) 學(xué) 的 創(chuàng) 新 思 維 方 式 、 哲 學(xué) 內(nèi) 涵 與 美 學(xué) 意 境 、歷 史 發(fā) 展 和 數(shù) 學(xué) 家

20、 創(chuàng) 造 精 神 教 師 通 過(guò) 數(shù) 學(xué) 研 究 和 學(xué) 習(xí) 的 積 累 ， 可 以 使 自 己的 數(shù) 學(xué) 文 化 修 養(yǎng) 逐 步 沉 淀 于 數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 之 中 教 師 的 文 化 修 養(yǎng) 越 是 深 厚 ， 課 堂 教 學(xué) 就 會(huì) 更 多地 浸 潤(rùn) 文 化 氣 息 這 種 文 化 氣 息 能 夠 為 感 染 學(xué) 生 、使 他 們 受 到 啟 示 ， 受 到 學(xué) 生 的 歡 迎 恩 格 斯 指 出 ： “ 數(shù) 學(xué) 中 的 轉(zhuǎn) 折 點(diǎn) 是 笛 卡 爾 的變 數(shù) ， 有 了 變 數(shù) ， 辯 證 法 進(jìn) 入 了 數(shù) 學(xué) ” 從 古 希 臘 時(shí) 代 開(kāi) 始 ， 數(shù) 學(xué) 與 哲 學(xué) 、 美 學(xué) 就

21、 結(jié) 下 不解 之 緣 。 作 為 人 類(lèi) 文 明 的 重 要 成 果 ， 微 積 分 的 原 理 和 方 法包 含 豐 富 的 辯 證 思 想 。 在 教 學(xué) 過(guò) 程 中 闡 明 微 積 分 中 的 辯 證 思 想 和 方 法 ，不 僅 能 夠 幫 助 學(xué) 生 從 更 高 、 更 深 的 角 度 理 解 掌 握 微積 分 的 原 理 和 方 法 ， 而 且 能 夠 提 高 運(yùn) 用 微 積 分 的 方法 的 自 覺(jué) 性 ， 有 助 于 培 養(yǎng) 創(chuàng) 造 能 力 。 在 教 學(xué) 中 揭 示 各 種 概 念 之 間 的 辯 證 關(guān) 系 ， 是 提 高教 學(xué) 水 平 的 有 效 途 徑 之 一 。1

22、有 限 和 無(wú) 限 的 辯 證 關(guān) 系 ： 無(wú) 限 和 有 限 是 相 反 的 概念 ， 但 是 無(wú) 限 的 概 念 是 借 助 有 限 表 述 的 兩 個(gè) 概 念之 間 的 橋 梁 是 極 限 。2 函 數(shù) 的 局 部 性 質(zhì) 和 全 局 性 質(zhì) 是 兩 個(gè) 相 反 的 概 念 ，在 一 定 條 件 下 ， 局 部 性 質(zhì) 可 以 轉(zhuǎn) 化 為 全 局 性 質(zhì) 3 極 限 是 因 變 量 隨 自 變 量 的 變 化 趨 勢(shì) ， 但 是 極 限概 念 必 須 用 常 量 和 不 等 式 表 述 ， 顛 倒 變 量 的 因 果 關(guān)系 才 能 夠 使 極 限 概 念 具 有 可 觀 測(cè) 性 5 微

23、積 分 主 要 研 究 非 線 性 、 非 多 項(xiàng) 式 的 函 數(shù) ，但 是 用 線 性 函 數(shù) 和 多 項(xiàng) 式 近 似 地 表 示 函 數(shù) 是 研 究 函數(shù) 的 重 要 方 法 6 數(shù) 學(xué) 的 體 系 結(jié) 構(gòu) 和 證 明 必 須 符 合 邏 輯 ， 但 是數(shù) 學(xué) 的 創(chuàng) 造 發(fā) 明 是 非 常 不 合 邏 輯 的 . 數(shù) 學(xué) 方 法 論 中 的 辯 證 法 ： 繁 與 簡(jiǎn) 、 難 和 易 、 一 般 與 特 殊 的 關(guān) 系 及處 理 方 法 。 笛 卡 爾 創(chuàng) 造 了 一 整 套 尋 求 真 理 的 方 法 。 其 中 第二 條 原 則 是 “ 把 大 問(wèn) 題 分 解 為 一 些 小 難 點(diǎn)

24、 ” ， 第 三條 原 則 是 “ 由 簡(jiǎn) 到 繁 ” 。 笛 卡 爾 的 方 法 論 對(duì) 于 數(shù) 學(xué)產(chǎn) 生 了 深 刻 的 影 響 。 在 數(shù) 學(xué) 問(wèn) 題 中 ， “ 繁 ” 與 “ 簡(jiǎn) ” 、 “ 難 ” 和 “ 易 ”是 相 反 的 概 念 ， 但 是 借 助 于 一 定 的 方 法 ， “ 繁 ” 可 以轉(zhuǎn) 化 為 “ 簡(jiǎn) ” ； “ 難 ” 可 以 轉(zhuǎn) 化 為 “ 易 ” 。 2 為 了 達(dá) 到 抽 象 性 和 一 般 性 的 目 標(biāo) ， 首 先 必 須追 求 平 易 和 自 然 張 景 中 先 生 有 一 句 著 名 的 話 ： “ 從 學(xué) 生 頭 腦 中 找 概 念 ” 。 在

25、數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 過(guò) 程 中 ， 不 管 是 概 念 的 引 入 方 式 ，還 是 定 理 證 明 的 思 路 ， 應(yīng) 當(dāng) 盡 量 自 然 ， 盡 量 與 學(xué)生 已 有 的 經(jīng) 驗(yàn) 銜 接 。 對(duì) 于 純 數(shù) 學(xué) 來(lái) 說(shuō) ， 抽 象 化 和 形 式 化 是 一 個(gè) 重 要 特征 ， 但 是 數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 應(yīng) 當(dāng) 避 免 對(duì) 于 抽 象 和 形 式 化 的 過(guò)度 追 求 。 3 演 繹 推 理 與 歸 納 的 辯 證 關(guān) 系 ： 數(shù) 學(xué) 不 承 認(rèn) 直 觀感 覺(jué) 和 歸 納 得 到 的 結(jié) 論 。 但 是 基 于 直 觀 觀 察 的 歸 納推 理 是 數(shù) 學(xué) 創(chuàng) 造 的 重 要 途 徑 。 張

26、景 中 先 生 指 出 ： 在 某 些 情 形 ， 歸 納 推 理 也 可 以證 明 定 理 在 數(shù) 學(xué) 王 國(guó) 的 某 些 角 落 里 ， 歸 納 法 可 以 有 效 地 證明 一 般 性 的 命 題 ， 甚 至 可 以 用 一 個(gè) 特 例 證 明 一 般 的命 題 張 景 中 、 楊 路 提 出 的 舉 例 證 明 幾 何 定 理 的 方 法 ： 為 了 判 定 某 個(gè) 幾 何 命 題 真 假 ， 只 需 檢 驗(yàn) 若 干 普 通的 例 子 （ 張 景 中 ： 數(shù) 學(xué) 與 哲 學(xué) ） 著 名 數(shù) 學(xué) 史 家 克 萊 因 指 出 ：“ 在 判 定 數(shù) 學(xué) 的 價(jià) 值 方 面 方 面 ， 美 的

27、 滿 足 與 實(shí) 用 的 、科 學(xué) 的 標(biāo) 準(zhǔn) 并 駕 齊 驅(qū) 。 ” 數(shù) 學(xué) 美 ： 簡(jiǎn) 約 、 清 晰 、 井 然 有 序 ， 對(duì) 稱(chēng) 與 和 諧 ，數(shù) 學(xué) 的 奇 異 之 美 。 數(shù) 學(xué) 之 美 不 僅 是 可 供 欣 賞 的 藝 術(shù) ， 啟 發(fā) 創(chuàng) 造 思維 的 工 具 。 在 微 積 分 中 ， 數(shù) 學(xué) 的 奇 異 之 美 往 往 可 以 激 發(fā) 學(xué) 生的 學(xué) 習(xí) 興 趣 和 創(chuàng) 造 意 識(shí) 。 數(shù) 學(xué) 的 奇 異 之 美 與 直 覺(jué) 和 經(jīng) 驗(yàn) 相 悖 的 奇 異 現(xiàn) 象 為 無(wú) 理 點(diǎn)， 為 有 理 點(diǎn)x xxxg 0 ,sin)( 僅 在 整 數(shù) 點(diǎn) 連 續(xù) 的 函 數(shù)無(wú) 窮

28、小 量 的 乘 積 是 無(wú) 窮 小 ， 越 乘 越 小 然 而 ， 無(wú) 窮 多 個(gè) 無(wú) 窮 小 量 的 乘 積 可 以 是 無(wú) 窮 大 ！ -0.1-0.050.050.1-7.5-5-2.52.557.5.0)0()( fxf ，處 處 可 導(dǎo) .)( 都 不 單 調(diào)xf 的 任 何 一 個(gè) 鄰 域 中但 是 在 0 x各 種 不 定 式 極 限 問(wèn) 題 中 ， 變 化 趨 勢(shì) 與 變 化 速 度 的 互相 角 力 出 現(xiàn) 各 種 迥 然 不 同 的 的 結(jié) 局 .0)0(,)0(1sin)( 2 fxxxxxf ，條 件 收 斂 級(jí) 數(shù) 1n na .A能 收 斂 于 任 意 實(shí) 數(shù)通 過(guò)

29、 改 變 求 和 順 序 居 然 x y z ),( 000 zyxM02 xxF 0),(: 2222 azyxzyxFS02 yyF 02 zzF 風(fēng) 雨 同 舟 三 劍 客 ，一 主 二 仆 海 上 游 誰(shuí) 主 沉 浮 誰(shuí) 掌 舵 ，各 領(lǐng) 風(fēng) 騷 競(jìng) 風(fēng) 流 ?),( ?),( ?),( yxzz xzyy zyxx 隱函數(shù)定理的詩(shī)情畫(huà)意 深 厚 的 文 化 底 蘊(yùn) ， 特 別 是 中 國(guó) 古 典 文 化 底 蘊(yùn) ， 可以 使 人 避 免 浮 躁 ， 善 于 思 考 不 僅 能 夠 提 高 做 人 的境 界 ， 也 有 助 于 事 業(yè) 的 成 功 。提 高科 學(xué) 家 的 價(jià) 值 觀 ：

30、 七律: 即興獻(xiàn) 給 全 班 同 學(xué)莫道書(shū)齋寒窗苦，風(fēng)華青春逢盛世。癲狂柳絮隨風(fēng)舞，輕薄桃花逐水逝。清華學(xué)子凌云志，冷眼喧囂擔(dān)道義。耐得寂寞勤磨礪，輝煌鑄就新世紀(jì)。 漫興 唐 杜 甫腸 斷 春 江 欲 盡 頭 ， 杖 藜 徐 步 立 方 洲 癲 狂 柳 絮 隨 風(fēng) 舞 ， 輕 薄 桃 花 逐 水 流 詠螢 唐 虞 世 南的 白 樂(lè) 流 光 小 ， 飄 搖 弱 翅 輕 恐 畏 無(wú) 人 識(shí) ， 獨(dú) 自 暗 中 明 開(kāi)啟培養(yǎng)創(chuàng)造能力的窗口 數(shù) 學(xué) 的 二 元 性 歸 納 和 演 繹 歸 納 是 發(fā) 現(xiàn) 和 創(chuàng) 造 的 途 徑 ， 演 繹 推 理 能 夠 確 定 種發(fā) 現(xiàn) 的 正 確 性 。 數(shù) 學(xué)

31、定 理 從 哪 里 來(lái) ？ 怎 樣 發(fā) 現(xiàn) 可 能 的 定 理 ？ 1. 經(jīng) 驗(yàn) 是 追 最 主 要 的 、 最 能 導(dǎo) 出 成 果 的 經(jīng) 驗(yàn) 如果 能 夠 被 證 明 ， 就 會(huì) 成 為 定 理 ； 2. 歸 納 在 相 似 中 發(fā) 現(xiàn) 規(guī) 律 ， 在 個(gè) 別 中 發(fā) 現(xiàn) 一 般 ； 微 積 分 的 許 多 定 理 都 是 由 經(jīng) 驗(yàn) 得 到 的 科 學(xué) 家 處 理 經(jīng) 驗(yàn) 的 方 法 ， 通 常 稱(chēng) 作 歸 納 法 歸 納 常 常 從 觀 察 開(kāi) 始 3 類(lèi) 比 根 據(jù) 兩 個(gè) 對(duì) 象 內(nèi) 部 屬 性 、 關(guān) 系 的 某 些 方 面相 似 ， 推 出 它 們 在 其 它 方 面 也 可

32、能 相 似 的 推 理 觸景 生 情 ,移 花 接 木 ； 其 中 ， 有 限 與 無(wú) 限 的 類(lèi) 比 特 別 吸 引 人 ， 因 為 這 種類(lèi) 比 有 其 特 有 的 困 難 和 危 險(xiǎn) ， 它 既 可 以 引 向 發(fā) 現(xiàn) ，也 可 以 導(dǎo) 致 錯(cuò) 誤 。 數(shù) 學(xué) 家 常 常 用 數(shù) 的 性 質(zhì) 說(shuō) 明 圖 形 的 事 實(shí) ， 也 用 圖形 的 性 質(zhì) 來(lái) 說(shuō) 明 數(shù) 的 事 實(shí) ， 因 此 數(shù) 與 形 有 多 方 面 的類(lèi) 比 （ 與 極 限 有 關(guān) 的 ， 無(wú) 限 和 有 限 的 類(lèi) 比 ， 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 與有 限 和 ， 級(jí) 數(shù) 與 積 分 ， 瑕 積 分 與 無(wú) 窮 積 分 ， 微

33、 分 法與 差 分 法 ， 線 性 微 分 方 程 與 線 性 代 數(shù) 方 程 的 類(lèi) 比 4 論 證 推 理 與 合 情 推 理波 利 亞 ： 我 們 借 論 證 推 理 來(lái) 肯 定 我 們 的 數(shù) 學(xué) 知 識(shí) ， 而借 合 情 推 理 來(lái) 為 我 們 的 猜 想 提 供 依 據(jù) 論 證 本 身 并 不 能 產(chǎn) 生 關(guān) 于 我 們 周 圍 世 界 本 質(zhì)上 的 新 知 識(shí) 我 們 所 學(xué) 到 的 關(guān) 于 世 界 的 任 何 新 知識(shí) 都 包 含 著 合 情 推 理 波 利 亞 ： 對(duì) 于 有 才 干 的 工 科 學(xué) 生 來(lái) 說(shuō) ， 比 起 嚴(yán) 格 的 證 明 來(lái) ，他 們 更 容 易 接 受

34、 闡 述 得 很 好 的 合 情 推 理 論 證 法 ， 并且 他 們 對(duì) 這 樣 的 證 明 都 留 下 了 良 好 的 印 象 5 合 理 猜 想波 利 亞 ： 在 數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 中 必 須 有 猜 想 的 地 位 教 學(xué) 必 須 為 發(fā)明 作 準(zhǔn) 備 ， 或 者 至 少 給 一 點(diǎn) 發(fā) 明 的 嘗 試 解 決 任 何 簡(jiǎn) 單 的 、 但 不 僅 僅 是 套 用 公 式 的 數(shù) 學(xué) 問(wèn)題 ， 都 會(huì) 給 你 帶 來(lái) 緊 張 和 發(fā) 現(xiàn) 的 喜 悅 。 對(duì) 一 些 教 師 來(lái) 說(shuō) ， 教 學(xué) 是 一 套 嚴(yán) 格 的 證 明 系統(tǒng) ， 對(duì) 于 正 在 積 極 搞 研 究 的 數(shù) 學(xué) 家 來(lái)

35、說(shuō) ， 數(shù) 學(xué)也 許 往 往 像 是 猜 想 游 戲 ： 在 你 證 明 一 個(gè) 數(shù) 學(xué) 定 之 前 ，你 必 須 猜 想 到 這 個(gè) 定 理 ； 在 你 清 楚 證 明 細(xì) 節(jié) 之 前 ，你 必 須 先 猜 出 證 明 的 主 導(dǎo) 思 想 。 6 探 索 與 發(fā) 現(xiàn) 借 助 于 數(shù) 學(xué) 軟 件 研 究 問(wèn) 題 和 應(yīng) 用 案 例 設(shè) 計(jì) 數(shù) 學(xué) 問(wèn) 題 和 應(yīng) 用 案 例 ， 指 導(dǎo) 學(xué) 生 對(duì) 于 問(wèn) 題作 必 要 的 理 論 分 析 ， 猜 想 可 能 的 結(jié) 論 和 解 決 問(wèn) 題的 方 向 運(yùn) 用 數(shù) 學(xué) 軟 件 （ Mathematica等 ） 進(jìn) 行 數(shù) 值 分析 和 圖 形 觀

36、 察 ， 發(fā) 現(xiàn) 規(guī) 律 與 答 案 如 有 可 能 ， 最 后 用 演 繹 推 理 進(jìn) 行 嚴(yán) 格 證 明 迭 代 法 求 函 數(shù) 不 動(dòng) 點(diǎn).)( f不 動(dòng) 點(diǎn) .)(1 nn xfx 迭 代 點(diǎn) 列 .|)(|?lim 有 關(guān)與是 否 有 xfxnn .?的 速 度 則 需 要 泰 勒 公 式收 斂 于分 析 nx | kk x 使 得以 及 正 數(shù)和若 存 在 正 數(shù) , pBA BA pkk 1、 .是 迭 代 點(diǎn) 列 收 斂 的 階則 稱(chēng) 正 數(shù) p作 圖 發(fā) 現(xiàn) 、 并 且 用 微 分 學(xué) 方 法 證 明 不 動(dòng) 點(diǎn) 存 在 ， 用導(dǎo) 數(shù) 判 斷 迭 代 點(diǎn) 列 的 收 斂 性

37、， 用 高 階 導(dǎo) 數(shù) 求 出 收 斂速 度 ， 用 Mathematica做 數(shù) 值 分 析 觀 察 具 體 結(jié) 果 . 0 x 1x2x 3x4xO xy 0 x 1x2x 3xO xy 0 x 1x2x 3x4xO xy 0 x1x 2x3xO xy 0 x 1x2x 3x4xO xy 0 x1x 2x3xO xy圖 1 0 x 1x2x 3xO xy 圖 2 0 x1x 2x3x 4xO xy 圖 3 圖 4 .desin)( 1 的 最 大 值例 題 ： 求 函 數(shù) xx t txf xxxf esinesin)( 1 2 eecos2 eesin2 11 xxxx 2ee 1 nx

38、x 駐 點(diǎn) ：無(wú) 窮 多 個(gè) 駐 點(diǎn) 和 極 值 很 難 用 計(jì) 算 和 比 較 的 方 法求 函 數(shù) 最 大 值 常 規(guī) 的 方 法 不 能 解 決 這 個(gè) 問(wèn) 題 用 Mathematica： 用 數(shù) 值 方 法Int :=NMaximizef(x),xOut3:=0.909026,x -0.168532 計(jì) 算 結(jié) 果 出 來(lái) 了 ！ 但 是 我 們 需 要 從 理 論 上 分 析 這 個(gè) 結(jié) 果 的可 靠 性 。 -3-2-1123 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.80)(lim.1 xfx證 明理 論 分 析 ： 函 數(shù) f (x) 不 恒 等 于 零 這 個(gè) 函 數(shù) 是 否

39、一 定 有 正 的 最 大 值 或 者 負(fù) 的 最 小 值 ？最 大 值 一 定 是 上 面 求 出 的 值 ！ 函 數(shù) 的 零 點(diǎn) 問(wèn) 題.)()( xfxf 求 導(dǎo) 數(shù)對(duì) 于 函 數(shù)零 點(diǎn) 變 少 了 ， 還 是 變 多 了 ？多 項(xiàng) 式 函 數(shù) 求 導(dǎo) 數(shù) ， 零 點(diǎn) 變 少 了 這 是 一 般 規(guī) 律 嗎 ？ .e)( 5 xxxf 考 察 函 數(shù)用 Mathematica作 圖 發(fā) 現(xiàn) :越 求 導(dǎo) 數(shù) 零 點(diǎn) 越 多 （ 階之 內(nèi) ） 發(fā) 現(xiàn) 之 后 再 做 嚴(yán) 格 證 明 條 件 極 值 的 罰 函 數(shù) 方 法 0),( ),(min zyxg zyxf .0),( 的 約 束、

40、是 對(duì) zyxzyxg ，是 總 成 本假 定 ),( zyxf .是 各 種 原 料、 zyx .0),( 是 對(duì) 采 購(gòu) 員 的 約 束zyxg 為 了 使 采 購(gòu) 員 盡 可 能 遵 守 規(guī) 定 ， 對(duì) 于 違 反 的 部 分作 n倍 的 罰 款 1 ),(),(),(min 2 zyxngzyxfzyxfn 也 就 是 考 慮 下 述 無(wú) 約 束 極 值 問(wèn) 題 ： 按 照 常 理 ， n 越 大 ， 采 購(gòu) 員 就 越 傾 向 于 遵 守 約 束 2過(guò) 程 管 理 目 標(biāo) 管 理 0),( ),(min zyxg zyxf 1),(),(),(min 2 zyxngzyxfzyxfn

41、 2問(wèn) 題 ： 當(dāng) n 越 來(lái) 越 大 時(shí) ， 2 的 解 是 否 趨 向 于 1的 解 ？.),(2),(1)1( 000 nnn zyxzyx 的 解 是，的 解 是設(shè) 問(wèn) 題 ？是 否 有，時(shí)當(dāng) ),(),( 000 zyxzyxn nnn ？是 否 有 ),(),()2( 000 zyxfzyxf nnn 猜 想 非 邏 輯 思 維 ； 探 索 數(shù) 學(xué) 軟 件 輔 助 ；證 明 邏 輯 推 理 一 個(gè) 好 數(shù) 學(xué) 的 思 想 ， 往 往 需 要 數(shù) 學(xué) 軟 件 的 輔 助 ，才 能 有 效 持 續(xù) ， 得 出 成 果 探 索 ： 數(shù) 學(xué) 實(shí) 驗(yàn) 1.min 222 zyxts xyz

42、2222 )1(),(min zyxnxyzzyxfn 12問(wèn) 題 1求 解 ： 57735.5,57735.5,57735.5.19245.0 %N 31,31,31,331 ,1222,*imizemin zyx zyx zyxzyxzyx 57735.0,57735.0,57735.0,19245.0 000 zyx問(wèn) 題 1的 解 ：?jiǎn)?題 2求 解 ：.1000)1( n 577392.5,577392.5,577392.5.192471.0 %N .,.,., ,2)1222(*1000*imizemin zyx zyx zyxzyxzyx 57735.0,57735.0,5773

43、5.0,19245.0 000 zyx問(wèn) 題 1的 解 ：?jiǎn)?題 2求 解 ： .10000)1( n 577354.5,577354.5,577354.5.192452.0 %N .,.,., ,2)1222(*10000*imizemin zyx zyx zyxzyxzyx 運(yùn) 用 演 繹 推 理 的 方 法 進(jìn) 行 證 明 ： 嚴(yán) 密 的 數(shù) 學(xué) 證 明 往 往 是 最 困 難 的 可 以 進(jìn) 行 部 分證 明 ， 即 附 加 某 些 條 件 ， 或 者 證 明 較 弱 的 結(jié) 論 定 理 ： .),(2),(1 000 nnn zyxzyx 有 解假 定 問(wèn) 題，有 解假 定 問(wèn) 題

44、.),( 有 界并 且 nnn zyx .),),(),( 000 zyxzyxzyx jjj nnnnnn （收 斂 于有 子 列則 .),),( 000 zyxfzyxf jjj nnnn （收 斂 于并 且 教 育 數(shù) 學(xué) 是 數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 的 一 面 鏡 子 。教 育 數(shù) 學(xué) 的 研 究 能 夠 提 高 數(shù) 學(xué) 教 育 水 平 和 效 率 。在 教 育 數(shù) 學(xué) 領(lǐng) 域 可 以 開(kāi) 展 許 多 有 意 義 的 研 究 工 作 。謝 謝 ！ 魚(yú)的最大捕撈量研究2dd bxaxtx 池 塘 養(yǎng) 魚(yú) ， 在 沒(méi) 有 捕 撈 的 情 況 下 ， 魚(yú) 的 數(shù) 量 x 滿 足微 分 方 程 : )

45、,( 為 正 數(shù)ba如 果 每 單 位 時(shí) 間 捕 撈 m 尾 ， 則 微 分 方 程 變 成mbxaxtx 2dd在 保 持 魚(yú) 資 源 不 枯 竭 的 前 提 下 ， 每 個(gè) 單 位 時(shí) 間 最 多可 以 捕 撈 多 少 ？ 每 月 捕 撈 100尾 魚(yú) ， 研 究 魚(yú) 數(shù) 量 的 變 化 規(guī) 律 .10001.02dd 2 xxtx用 數(shù) 學(xué) 軟 件 Mathematica 求 解 微 分 方 程 得 到 如 下 結(jié) 果 : 5101520252004006008001000)(tx30單 位 ： 月 1.原 有 1000尾 . 1000)0( x 每 月 捕 撈 101尾 魚(yú) ， 研

46、究 魚(yú) 數(shù) 量 的 變 化 規(guī) 律 .10101.02dd 2 xxtx 5101520252004006008001000)(tx30單 位 ： 月 2.原 有 1000尾 . 1000)0( x 51015202530200400600800 3.原 有 4000尾 . 10101.02dd 2 xxtx每 月 捕 撈 101尾 魚(yú) ， 研 究 魚(yú) 數(shù) 量 的 變 化 規(guī) 律 .4000)0( x2 運(yùn) 用 數(shù) 字 技 術(shù) 更 加 高 效 地 表 現(xiàn) 數(shù) 學(xué) 概 念 、 原 理 和解 決 問(wèn) 題 的 思 維 過(guò) 程 的 思 路 和 方 法 n 構(gòu) 建 積 極 、 輕 松 、 親 和 的 課

47、 堂 氛 圍n 制 定 可 行 的 課 堂 教 學(xué) 目 標(biāo)n 提 高 課 堂 教 學(xué) 的 文 化 品 位n 教 育 技 術(shù) 的 有 效 使 用 數(shù) 學(xué) 基 礎(chǔ) 課 程 ， 特 別 是 大 班 教 學(xué) ， 很 難 做 到 以學(xué) 生 為 中 心 ， 采 取 啟 發(fā) 討 論 式 教 學(xué) 教 師 主 導(dǎo) 、 師 生 互 動(dòng) 的 模 式 可 以 取 得 較 好 效 果 自 信 而 從 容 不 迫 ， 熱 情 、 幽 默 能 夠 幫 助 教 師 樹(shù) 立良 好 的 形 象 ， 有 利 于 學(xué) 生 的 注 意 力 集 中 板 書(shū) 清 晰 ， 如 果 有 條 件 ， 可 以 用 多 媒 體 搭 配 黑 板 ，例

48、 如 作 圖 和 一 些 定 理 和 概 念 的 陳 述 如 果 多 媒 體 運(yùn) 用 得 當(dāng) ， 清 楚 、 美 觀 的 大 屏 幕 能 夠使 人 賞 心 悅 目 ， 情 緒 放 松 制 作 不 精 、 使 用 不 當(dāng) 則起 反 作 用 增強(qiáng)課堂的節(jié)奏感 根 據(jù) 有 關(guān) 的 研 究 ， 最 多 20分 鐘 學(xué) 生 就 會(huì) 感 覺(jué) 疲 勞 ，這 時(shí) 需 要 通 過(guò) 各 種 方 式 調(diào) 節(jié) 課 堂 氣 氛 提 問(wèn) ， 轉(zhuǎn) 換 話 題 ， 展 示 一 個(gè) 準(zhǔn) 備 好 的 小 欄 目 ， 或 故意 出 現(xiàn) 一 個(gè) 明 顯 的 錯(cuò) 誤 將 學(xué) 生 的 精 力 重 新 拉 回 來(lái) 如 果 出 現(xiàn) 某 種

49、失 誤 ， 例 如 思 路 中 斷 、 計(jì) 算 錯(cuò) 誤 要果 斷 地 、 盡 量 巧 妙 地 轉(zhuǎn) 換 話 題 否 則 會(huì) 使 教 師 被 動(dòng) ，課 堂 渙 散 ， 甚 至 失 控 合 理 的 心 理 引 導(dǎo) ： 過(guò) 分 依 賴(lài) 教 師 ， 百 分 之 百 聽(tīng) 懂 某 些 不 能 講 透 的 內(nèi) 容 明 確 告 知 學(xué) 生 ， 留 給 他 們 自 己 。 適 時(shí) 地 轉(zhuǎn) 換 教 學(xué) 方 式 ， 避 免 單 調(diào) 多 用 類(lèi) 比 、 圖 形 、實(shí) 例 和 演 示 重 新 激 發(fā) 興 趣 設(shè) 定 目 標(biāo) 不 要 把 教 學(xué) 目 標(biāo) 定 得 過(guò) 高 ， 不 要 面 面 俱 到 區(qū) 別 基 本 目 標(biāo) 與

50、 附 加 目 標(biāo) ,限 定 講 課 內(nèi) 容 區(qū) 別 必 須 掌 握 的 內(nèi) 容 和 可 選 擇 內(nèi) 容 突 出 核 心 概 念 ， 強(qiáng) 調(diào) 經(jīng) 久 性 主 題 和 價(jià) 值 從 宏 觀 開(kāi) 始 ， 交 待 主 要 內(nèi) 容 和 線 索 ， 歸 納 總 結(jié) 中間 的 細(xì) 節(jié) 適 當(dāng) 地 進(jìn) 行 刪 減 ， 保 證 每 堂 課 的 體 系 完 整 最 基 本 的 概 念 和 計(jì) 算 要 講 清 楚 ， 簡(jiǎn) 單 的 推 導(dǎo) 或 者 計(jì)算 過(guò) 程 不 要 講 得 太 細(xì) ， 多 讓 學(xué) 生 自 己 思 考 或 者 計(jì) 算 對(duì) 于 不 同 基 礎(chǔ) 的 學(xué) 生 采 用 不 同 的 教 學(xué) 策 略 基 礎(chǔ) 較

51、差 的 學(xué) 生 ， 主 要 的 定 理 和 例 題 ， 從 思 路到 解 題 全 ， 直 至 得 到 正 確 答 案 對(duì) 于 比 較 復(fù) 雜 的 問(wèn) 題 ， 主 要 是 講 清 楚 思 路 和 難點(diǎn) 其 中 的 細(xì) 節(jié) 不 必 掰 開(kāi) 揉 碎 地 講 否 則 可 能 使 得 學(xué)生 陷 入 細(xì) 支 末 葉 ， 抓 不 住 要 領(lǐng) 例 題 配 置 ： 先 基 本 、 后 提 高 概 念 ： 用 最 簡(jiǎn) 單 的 例 子 說(shuō) 明 最 抽 象 的 概 念 以 概 述 開(kāi) 始 ， 以 概 括 結(jié) 束 現(xiàn)代教育技術(shù)搭建能力培養(yǎng)平臺(tái)1 有 效 地 影 響 學(xué) 習(xí) 的 內(nèi) 部 過(guò) 程 ， 合 理 地 組 織 和

52、 安 排教 學(xué) 事 件 ， 優(yōu) 化 教 學(xué) 活 動(dòng) 的 程 序 現(xiàn) 代 教 育 技 術(shù) 在 數(shù) 學(xué) 課 堂 教 學(xué) 中 的 應(yīng) 用 2 運(yùn) 用 數(shù) 字 技 術(shù) 更 加 高 效 地 表 現(xiàn) 數(shù) 學(xué) 概 念 、 原 理 和解 決 問(wèn) 題 的 思 維 過(guò) 程 的 思 路 和 方 法 教 學(xué) 素 材 的 信 息 化 處 理 的 思 路 概 念 原 理 可 視 化 ; 微 觀 過(guò) 程 宏 觀 化 ; 分 析 探 索 數(shù) 值 化 ； 學(xué) 習(xí) 過(guò) 程 交 互 化 ； 測(cè) 試 智 能 化 。 信息技術(shù)條件下的教學(xué)設(shè)計(jì)一 、 教 學(xué) 要 素 構(gòu) 成 ：1 教 師 ；2. 學(xué) 生 ；3. 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 與 學(xué)

53、習(xí) 內(nèi) 容 ；4. 學(xué) 習(xí) 情 景 ；5. 教 學(xué) 過(guò) 程 ；6. 教 學(xué) 方 法 ；7. 測(cè) 試 與 評(píng) 估 。 多 媒 體 教 學(xué) 手 段 ， 是 以 數(shù) 字 技 術(shù) 為 基 礎(chǔ) 、 將 通信 技 術(shù) 、 聲 像 技 術(shù) 和 計(jì) 算 機(jī) 技 術(shù) 融 為 一 體 ， 能 交 互處 理 、 存 貯 和 傳 遞 文 字 、 圖 形 、 影 視 圖 像 、 動(dòng) 畫(huà) 和聲 音 等 多 種 媒 體 信 息 的 一 種 綜 合 信 息 處 理 技 術(shù) 。 多 媒 體 教 學(xué) 方 式 優(yōu) 勢(shì) 分 析 ： 抽 象 、 枯 燥 的 學(xué) 習(xí) 內(nèi) 容 通 過(guò) 圖 形 、 動(dòng) 畫(huà) 等 表 現(xiàn)形 式 而 變 得 直

54、觀 有 效 實(shí) 施 教 師 為 主 導(dǎo) 、 學(xué) 生 為 主 體 的 互 動(dòng) 與 交流 教 學(xué) 模 式 促 進(jìn) 以 知 識(shí) 傳 授 為 主 向 素 質(zhì) 教 育 為 主 的 轉(zhuǎn) 變 。 提 高 教 學(xué) 效 率 1 有 效 地 影 響 學(xué) 習(xí) 的 內(nèi) 部 過(guò) 程 ， 合 理 地 組 織 和 安 排教 學(xué) 事 件 ， 優(yōu) 化 教 學(xué) 活 動(dòng) 的 程 序 現(xiàn) 代 教 育 技 術(shù) 在 數(shù) 學(xué) 課 堂 教 學(xué) 中 的 應(yīng) 用2 運(yùn) 用 數(shù) 字 技 術(shù) 更 加 高 效 地 表 現(xiàn) 數(shù) 學(xué) 概 念 、 原 理 和解 決 問(wèn) 題 的 思 維 過(guò) 程 的 思 路 和 方 法 數(shù) 字 與 信 息 技 術(shù) 可 以 在 學(xué) 習(xí) 場(chǎng) 景 、 教 學(xué) 方 法 和 測(cè)試 等 方 面 影 響 教 學(xué) 過(guò) 程 ， 變 革 教 學(xué) 模 式 ， 提 高 教 學(xué)效 果 3 如 何 表 述 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 收 斂 條 件 ？局 部 化 原 理狄 尼 判 別 法 狄 利 克 雷 判 別 法f (x) 逐 段 光 滑 f (x) 逐 段 單 調(diào)f (x) 連 續(xù) 獲 只 有 有 限 個(gè) 間 斷 點(diǎn) ， 最 多 有 有 限 個(gè) 極 值 謝 謝 ！