電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核手冊(cè)答案小抄【精編打印版】

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1、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)1答案 第1章 函數(shù) 第2章 極限與連續(xù) （一） 單項(xiàng)選擇題 ⒈下列各函數(shù)對(duì)中，（C）中的兩個(gè)函數(shù)相等． A. ， B. ， C. ， D. ， ⒉設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖形關(guān)于（C）對(duì)稱． A. 坐標(biāo)原點(diǎn) B. 軸 C. 軸 D. ⒊下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）． A. B. C. D. ⒋下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）． A.

2、 B. C. D. ⒌下列極限存計(jì)算不正確的是（D）． A. B. C. D. ⒍當(dāng)時(shí)，變量（C）是無(wú)窮小量． A. B. C. D. ⒎若函數(shù)在點(diǎn)滿足（A），則在點(diǎn)連續(xù)。 A. B. 在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 C. D. （二）填空題 ⒈函數(shù)的定義域是． ⒉已知函數(shù)，則

3、 x2-x ． ⒊． ⒋若函數(shù)，在處連續(xù)，則　e ． ⒌函數(shù)的間斷點(diǎn)是． ⒍若，則當(dāng)時(shí)，稱為。 （三）計(jì)算題 ⒈設(shè)函數(shù) 求：． 解：，， ⒉求函數(shù)的定義域． 解：有意義，要求解得 則定義域?yàn)? ⒊在半徑為的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)． 解： A R O h E

4、 B C 設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h，即OE=h，下底CD＝2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得 則上底＝ 故 ⒋求． 解：＝ ⒌求． 解： ⒍求． 解： ⒎求． 解： ⒏求． 解： ⒐求． 解： ⒑設(shè)函數(shù) 討論的連續(xù)性。 解：分別對(duì)分段點(diǎn)處討論連續(xù)性 （1） 所以，即在處不連續(xù) （2） 所以即在處連續(xù) 由（1）（2）得在除點(diǎn)外均連續(xù) 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)2答案： 第3章 導(dǎo)數(shù)與微分 （一）單項(xiàng)選擇題

5、 ⒈設(shè)且極限存在，則（C）． A. B. C. D. cvx ⒉設(shè)在可導(dǎo)，則（D）． A. B. C. D. ⒊設(shè)，則（A）． A. B. C. D. ⒋設(shè)，則（D）． A. B. C. D. ⒌下列結(jié)論中正確的是（C）． A. 若在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)可導(dǎo)． B. 若在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)可

6、導(dǎo)． C. 若在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)有極限． D. 若在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)連續(xù)． （二）填空題 ⒈設(shè)函數(shù)，則　　0 ． ⒉設(shè)，則。 ⒊曲線在處的切線斜率是。 ⒋曲線在處的切線方程是。 ⒌設(shè)，則 ⒍設(shè)，則。 （三）計(jì)算題 ⒈求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ⑴ 解: ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸ 解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⒉求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸

7、 解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⑼ 解： ⒊在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)，求： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸ 解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⒋求下列函數(shù)的微分：（注：） ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑹ 解： ⒌求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： （四）證明題 設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證是偶函數(shù)． 證：因?yàn)閒(

8、x)是奇函數(shù) 所以 兩邊導(dǎo)數(shù)得： 所以是偶函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)3答案： 第4章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （一）單項(xiàng)選擇題 ⒈若函數(shù)滿足條件（D），則存在，使得． A. 在內(nèi)連續(xù) B. 在內(nèi)可導(dǎo) C. 在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo) D. 在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo) ⒉函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（D?。? A. B. C. D. ⒊函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（A　）． A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B. 單調(diào)下降 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降

9、 D. 單調(diào)上升 ⒋函數(shù)滿足的點(diǎn)，一定是的（C?。? A. 間斷點(diǎn) B. 極值點(diǎn) C. 駐點(diǎn) D. 拐點(diǎn) ⒌設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，，若滿足（ C ），則在取到極小值． A. B. C. D. ⒍設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則在此區(qū)間內(nèi)是（ A ）． A. 單調(diào)減少且是凸的 B. 單調(diào)減少且是凹的 C. 單調(diào)增加且是凸的 D. 單調(diào)增加且是凹的 （二）填空題

10、 ⒈設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則是的 極小值 點(diǎn)． ⒉若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且是的極值點(diǎn)，則 0 ． ⒊函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是． ⒋函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 ⒌若函數(shù)在內(nèi)恒有，則在上的最大值是． ⒍函數(shù)的拐點(diǎn)是 （三）計(jì)算題 ⒈求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值． 解：令 X 1 (1,5) 5 + 0 — 0 + y 上升 極大值32 下降 極小值0 上升 列表： 極大值： 極小值： ⒉求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值． 解：令：，列表： （0,1） 1

11、（1,3） + 0 — 上升 極大值2 下降 3.求曲線上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)的距離最短． 解：，d為p到A點(diǎn)的距離，則： 。 4.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為，問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？ 解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積 5.一體積為V的圓柱體，問(wèn)底半徑與高各為多少時(shí)表面積最?。? 解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積 答：當(dāng) 時(shí)表面積最大。 6.欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最省？ 解：設(shè)底長(zhǎng)為x，高為h。則： 側(cè)面積為：

12、 令 答：當(dāng)?shù)走B長(zhǎng)為5米，高為2.5米時(shí)用料最省。 （四）證明題 ⒈當(dāng)時(shí)，證明不等式． 證：在區(qū)間 其中，于是由上式可得 ⒉當(dāng)時(shí)，證明不等式． 證： 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)4答案： 第5章 不定積分 第6章 定積分及其應(yīng)用 （一）單項(xiàng)選擇題 ⒈若的一個(gè)原函數(shù)是，則（D）． A. B. C. D. ⒉下列等式成立的是（D）． A B. C. D. ⒊若，則（B）． A. B.

13、 C. D. ⒋（B）． A. B. C. D. ⒌若，則（B）． A. B. C. D. ⒍下列無(wú)窮限積分收斂的是（D）． A. B. C. D. （二）填空題 ⒈函數(shù)的不定積分是。 ⒉若函數(shù)與是同一函數(shù)的原函數(shù)，則與之間有關(guān)系式。 ⒊。 ⒋。 ⒌若，則。

14、 ⒍3 ⒎若無(wú)窮積分收斂，則。 （三）計(jì)算題 ⒈ ⒉ ⒊ ⒋ ⒌ ⒍ ⒎ ⒏ （四）證明題 ⒈證明：若在上可積并為奇函數(shù)，則． 證: 證畢 ⒉證明：若在上可積并為偶函數(shù)，則． 證：  高等數(shù)學(xué)（1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(一) 第一章 函數(shù) ⒈理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)中符號(hào)f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求

15、函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。 兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。 若對(duì)任意，有，則稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱。 若對(duì)任意，有，則稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 掌握奇偶函數(shù)的判別方法。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。 ⒊熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 基本初等函數(shù)是指以下幾種類型： ① 常數(shù)函數(shù)： ② 冪函數(shù)： ③ 指數(shù)函數(shù)： ④ 對(duì)數(shù)函數(shù)： ⑤ 三角函數(shù)： ⑥ 反三角函數(shù)： ⒋了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把

16、一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)。 如函數(shù) 可以分解，，，。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。 ⒌會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。 例題選解 　　一、填空題 ⒈設(shè)，則　　　　　。 解：設(shè)，則，得 故。 ⒉函數(shù)的定義域是　　　　　。 解：對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)，要求且，即且；對(duì)函數(shù)的第二項(xiàng)，要求，即。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)椤? ⒊函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域是　　　　　。 解：要使有意義，必須使，由此得定義域?yàn)椤? ⒋函數(shù)的定義域?yàn)? 。 解：要使有意義，必須滿足且，即成立，解不等式方程組，得出，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

17、。 ⒌設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于　　　　　對(duì)稱。 解：的定義域?yàn)?，且有 即是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于軸對(duì)稱。 　　二、單項(xiàng)選擇題 　?、毕铝懈鲗?duì)函數(shù)中，（?。┦窍嗤?。 　　A.；　　　B.； C.；　　D. 解：A中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同, ， B, D三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同，所以A B, D都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng)C正確。 　?、苍O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖形關(guān)于（?。?duì)稱。 A.y＝x；　　　　　B.x軸；　　　　　C.y軸；　　　　　D.坐標(biāo)原點(diǎn) 解：設(shè)，則對(duì)任意有 即是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。選項(xiàng)D正確。

18、 3．設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)是（?。? 　　A.單調(diào)減函數(shù)；　　　　　　　　　 B.有界函數(shù)； C.偶函數(shù)；　　　　　　　　　　　 D.周期函數(shù) 解：A, B, D三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。 設(shè)，則對(duì)任意有 即是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確。 ⒋函數(shù)（ ） A.是奇函數(shù)；　　　　　　　　　 B. 是偶函數(shù)； C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；　　　　 D.是非奇非偶函數(shù)。 解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。 所以B正確。 ⒌若函數(shù)，則（ ） A.；　　　　　　　　　 B. ； C.；　　　 　 D. 。 解：因?yàn)? 所以

19、則，故選項(xiàng)B正確。 第二章 極限與連續(xù) 　?、敝罃?shù)列極限的“”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。 ⒉理解無(wú)窮小量的概念；了解無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)窮大量的關(guān)系；知道無(wú)窮小量的比較。 無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有： ① 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量； ② 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量； ③ 無(wú)窮小量和有界變量的乘積是無(wú)窮小量。 ⒊熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。 求極限有幾種典型的類型 （1） （2） （3） 　?、词炀氄莆諆蓚€(gè)重要極限： 　　　　

20、　　　　 　　　　　　　　　?。ɑ颍? 　　重要極限的一般形式： 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（或） 利用兩個(gè)重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如 ⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。 間斷點(diǎn)的分類： 已知點(diǎn)是的間斷點(diǎn)， 若在點(diǎn)的左、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn)； 若在點(diǎn)的左、右極限有一個(gè)不存在，則稱為的第二類間斷點(diǎn)。 ⒍理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）及復(fù)合仍是

21、連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。 典型例題解析 　　一、填空題 ⒈極限　　　　　。 解： 注意：（無(wú)窮小量乘以有界變量等于無(wú)窮小量） ，其中=1是第一個(gè)重要極限。 ⒉函數(shù)的間斷點(diǎn)是　　　　　。 解：由是分段函數(shù)，是的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。 因?yàn)? 所以函數(shù)在處是間斷的， 又在和都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點(diǎn)是。 ⒊⒋⒌⒍設(shè)，則　　　　　。 解：，故 ⒎函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是　　　　　。 　　二、單項(xiàng)選擇題 　　⒈函數(shù)在點(diǎn)處（?。? 　　A.有定義且有極限；　　　　 　 　B.無(wú)定義但有

22、極限； C.有定義但無(wú)極限；　　　　　 　D.無(wú)定義且無(wú)極限 解：在點(diǎn)處沒(méi)有定義，但 （無(wú)窮小量有界變量=無(wú)窮小量） 故選項(xiàng)B正確。 　　⒉下列函數(shù)在指定的變化過(guò)程中，（?。┦菬o(wú)窮小量。 　　A.；　　　　　　　 　B.； C. ；　　　　　　D. 解：無(wú)窮小量乘以有界變量仍為無(wú)窮小量，所以 而A, C, D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為0，故選項(xiàng)B正確。 三、計(jì)算應(yīng)用題 　?、庇?jì)算下列極限： 　?、拧　　??、? （4） 解：⑴ = ⑵ ⑶ 題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為 分母的最高

23、次項(xiàng)為，由此得 （4）當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限均為0，所以不能用極限的除法法則。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法則和第一個(gè)重要極限計(jì)算。 = 2.設(shè)函數(shù) 問(wèn)（1）為何值時(shí)，在處有極限存在？ （2）為何值時(shí)，在處連續(xù)？ 解：（1）要在處有極限存在，即要成立。 因?yàn)? 所以，當(dāng)時(shí)，有成立，即時(shí)，函數(shù)在處有極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān)，所以此時(shí)可以取任意值。 （2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是 　　于是有，即時(shí)函數(shù)在

24、處連續(xù)。 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)： ⒈理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 在點(diǎn)處可導(dǎo)是指極限 存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上點(diǎn)處切線的斜率。 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)連續(xù)。反之則不然，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)不一定可導(dǎo)。 　?、擦私馕⒎值母拍?；知道一階微分形式不變性。 ⒊熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法 （1）導(dǎo)數(shù)的

25、四則運(yùn)算法則 （2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 （3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法 （4）對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法 （5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法 正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如 一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法， 例如函數(shù)，求。 在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些，而且容易出錯(cuò)。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即 再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有 這樣計(jì)算不但簡(jiǎn)單而且不易出錯(cuò)。 又例如函數(shù) ，求。 顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得 兩端求

26、導(dǎo)得 整理后便可得 若函數(shù)由參數(shù)方程 的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式 能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 ⒋熟練掌握微分運(yùn)算法則 微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似 一階微分形式的不變性 微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。 ⒍了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。 函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)

27、數(shù)。要求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解 　　一、填空題 ⒈設(shè)函數(shù)在鄰近有定義，且，則　　　　　。 解： 故應(yīng)填1。 ⒉曲線在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率是　　　　　。 解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在處切線的斜率是，即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是 故應(yīng)填。 ⒊設(shè)，則　　　　　。 解：，故 故應(yīng)填 　　二、單項(xiàng)選擇題 　?、痹O(shè)函數(shù)，則（　）。 A.；　　　B.2； C.4；　　D不存在 解：因?yàn)?，且? 所以，即C正確。 　?、苍O(shè)，則（?。? A.；　　　　　B. ；　　　　　C. ；　　　　　D. 解：

28、先要求出，再求。 因?yàn)?，由此得，所? 即選項(xiàng)D正確。 3．設(shè)函數(shù)，則（　）． 　　A.0；　　　　　　　　　 B.1； C.2；　　　　　　　　　　　 D. 解：因?yàn)?，其中的三?xiàng)當(dāng)時(shí)為0，所以 故選項(xiàng)C正確。 4．曲線在點(diǎn)（?。┨幍那芯€斜率等于0。 A.；　　　　　B.；　　　　C.；　　　　D. 解：，令得。而，故選項(xiàng)C正確。 5． ，則（?。?。 A.；　　　　B.；　　　C.；　　　D. 解： 故選項(xiàng)C正確。 三、計(jì)算應(yīng)用題 ⒈設(shè)，求 解：⑴由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 由此得 ⒉設(shè)，其中為可微函數(shù)，求。

29、 解 = = = 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，然后由外層開(kāi)始，逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡(jiǎn)。 3.設(shè)函數(shù)由方程確定，求。 解：方法一：等式兩端對(duì)求導(dǎo)得 整理得 方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得 左端 右端 由此得 整理得 　　4.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定，求。 解：由參數(shù)求導(dǎo)法 5．設(shè)，求。 解 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題 一、填空題

30、 1.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是　　　　　. 解：，當(dāng)時(shí).故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是. 2.極限　　　　　. 解：由洛必達(dá)法則 3.函數(shù)的極小值點(diǎn)為 。 解：，令，解得駐點(diǎn)，又時(shí)，；時(shí)，，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)。 二、單選題 1.函數(shù) 在區(qū)間上是（ ） A） 單調(diào)增加 B）單調(diào)減少 C）先單調(diào)增加再單調(diào)減少 D）先單調(diào)減少再單調(diào)增加 解：選擇D ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在區(qū)間上函數(shù)先單調(diào)減少再單調(diào)增加。 2. 若函數(shù)滿足條件（ ），則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 成立。

31、 A）在內(nèi)連續(xù)； B）在內(nèi)可導(dǎo)； C）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)； D）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。 解：選擇D。 由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇D正確。 3. 滿足方程的點(diǎn)是函數(shù)的（ ）。 A）極值點(diǎn) B）拐點(diǎn) C）駐點(diǎn) D）間斷點(diǎn) 解：選擇C。 依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。 4.設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，，且，則函數(shù)在處（ ）。 A）取得極大值

32、 B）取得極小值 C）一定有拐點(diǎn) D）可能有極值，也可能有拐點(diǎn) 解：選擇D 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇D。 三、解答題 1.計(jì)算題 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 解：函數(shù)的定義區(qū)間為，由于 令，解得，這樣可以將定義區(qū)間分成和兩個(gè)區(qū)間來(lái)討論。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)是，。 由此得出，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)增加。 2.應(yīng)用題 　　欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法所用材料最??？ 解：設(shè)底邊邊長(zhǎng)為，高為，所

33、用材料為 且 令得， 且因?yàn)椋詾樽钚≈?此時(shí)。 于是以6米為底邊長(zhǎng)，3米為高做長(zhǎng)方體容器用料最省。 3．證明題：當(dāng)時(shí)，證明不等式 證 設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏线B續(xù)可導(dǎo)，所以在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得 其中，即 又

34、由于，有 故有 兩邊同時(shí)取以為底的指數(shù)，有 即 所以當(dāng)時(shí)，有不等式 成立. 第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（2） 典型例題解析 　　一、填空題 ⒈曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為，且曲線過(guò)點(diǎn)，則曲線方程為　　　　　。 解：，即曲線方程為。將點(diǎn)代入得，所求曲線方程為 ⒉已知函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是，則　　　　　。 解： ⒊已知是的一個(gè)原函數(shù)，那么　　　　　。 解：用湊微分法

35、 　　二、單項(xiàng)選擇題 　　⒈設(shè)，則（?。?。 　　A. ；　　　　 　　B. ； C. ；　　　　　　 　　D. 解：因 故選項(xiàng)A正確． ?、苍O(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則等式（?。┏闪?。 　　A.；　　　　　　B.； C.；　　　　　　　　D. 解：正確的等式關(guān)系是 故選項(xiàng)D正確． ⒊設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則（?。? 　　A. ；　　 　　B. ； C. ；　　　　 　　　　D. 解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

36、 故選項(xiàng)C正確． 　　三、計(jì)算題 　　⒈計(jì)算下列積分： 　?、拧　　　、啤　　　? 解：⑴利用第一換元法 ⑵利用第二換元法，設(shè)， 　?、灿?jì)算下列積分： 　?、拧　　　、啤　　　? 解：⑴利用分部積分法 ⑵利用分部積分法 高等數(shù)學(xué)（1）第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo) 綜合練習(xí)題 （一）單項(xiàng)選擇題 （1）．下列式

37、子中，正確的是（ ）。 A. B. C. D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） A. B. C. D. (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 A .B. C. D. (4) 若是上的連續(xù)

38、偶函數(shù)，則 。 A. B． 0 C． D． (5) 若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( ). A. B. C. D. 答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。 解：（1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A正確。 而 B不正確。 在（0，1）區(qū)間內(nèi) C 不正確。

39、根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量的選取無(wú)關(guān)。 故D不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 ∴A、C不正確。 由定積分定義知 B不正確。 D正確。 (3) ∴A不正確。 ∴B。不正確。 ∴C。不正確。 D D正確 （4）由課本344頁(yè) （6—4—2）和345頁(yè)（6—4—3）知C。正確。 （5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) ∴ A正確。 （二） 填空題

40、(1) (2) (3) 在區(qū)間上，曲線和軸所圍圖形的面積為_(kāi)_____________。 (4) (5) (a＞0 p＞0 ) 答案： 解：（1） （2） （2） 所圍圖形的面積S= （3） 由定積分的幾何意義知: 　　定積分的值等于 （4） y= 所圍圖形的面積∴ （5） p≤1時(shí) 無(wú)窮積分發(fā)散。 （三）　計(jì)算下列定積分 (1） (2） （3） （4） （5）

41、 答案： (1） (2） （3） （4） (5) （四）定積分應(yīng)用 求由曲線,及直線所圍平面圖形的面積 x 解：畫草圖 求交點(diǎn) 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1 y 2 y=2 y=x 0 xy=1 第七章綜合練習(xí)題 （一）單項(xiàng)選擇題 1、若（ ）成立，則級(jí)數(shù)發(fā)散，其中 表示此級(jí)數(shù)的部分和。 A、

42、； B、單調(diào)上升； C、 D、不存在 2、當(dāng)條件（ ）成立時(shí)，級(jí)數(shù)一定發(fā)散。 A、發(fā)散且收斂； B、發(fā)散； C、發(fā)散； D、和都發(fā)散。 3、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則（ ）收斂。 A、 B、 C 、 D、 4、若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)、滿足，則結(jié)論（ ），是正確的。 A、發(fā)散則發(fā)散； B、收斂則收斂； C、發(fā)散則收斂；

43、 D、收斂則發(fā)散。 5、 若f(x)= , 則 = ( )。 A、 B 、 C D、 答案：1、D 2、A 3、B 4、A 5、C （二）填空題 1、 當(dāng)_________時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂。 2、 級(jí)數(shù)是___________級(jí)數(shù)。 3、 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)_____________。 4、 指數(shù)函數(shù)f(x)= 展成 x的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)_________________。 5、 若冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（—9 ，9 ），則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 ___________。 答案：1、<1 2、發(fā)散

44、3、收斂 4、 5、C ( 0 ,6 ) （三）計(jì)算題 1、 判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性 ⑴ ⑵ ⑶ 解：⑴此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)滿足 n=2,3,…. 由于收斂，則由比較判別法可知收斂。 ⑵>1 則由比值判別法可知發(fā)散。 ⑶ 由于是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且= 及，由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂。 2、 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 ⑴ ⑵ 解：⑴ 因此收斂半徑R=1， ⑵ 令 得冪級(jí)數(shù) 可知的收斂半徑為4 ，所以原冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 第八章綜合練習(xí)題及參考答案 （一）單項(xiàng)選擇題

45、 1、 下列階數(shù)最高的微分方程是 （ ）。 A、； B、； C、 D、 2、下列一階微分方程中為可分離變量的微分方程是（ ）。 A、； B、 C、 D、 3、微分方程的通解為（ ）。 A、 B、 C 、 D、 4、微分方程的通解為（ ）。 A、； B、 C、； D、 5、微分方程的特解應(yīng)設(shè)為（ ）。 A、

46、 B 、 C D、 答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D （二）填空題 6、 一階線性微分方程的通解公式為_(kāi)________。 7、 二階線性微分方程的特征根為_(kāi)________。 8、 二階線性微分方程的通解中含有____________獨(dú)立的任意常數(shù)。 9、 二階微分方程的通解為_(kāi)____________。 10、 若是二階線性非齊次微分方程的一個(gè)特解，為其相應(yīng)的齊次微分方程的通解，則非齊次微分方程的通解為_(kāi)________________。 答案：1、 2、

47、3、兩個(gè) 4、 5、 （三）計(jì)算題 3、 ⑴求一階微分方程的滿足的特解 ⑵求一階微分方程的滿足的特解 ⑶ 解：⑴微分方程變?yōu)?，兩邊積分得方程的通解為 由條件得， 故微分方程的的特解 ⑵方法一 由一階線性微分方程的通解公式得 由條件得,故微分方程的的特解 方法二 由微分方程可得，兩邊積分得方程的通解為 由條件得,故微分方程的的特解 2、⑴求微分方程的通解 解：

48、原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 特征根為， 故齊次微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） 設(shè)原方程的一個(gè)特解應(yīng)為，代入方程得得 故微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） ⑵求微分方程的通解 解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 得特征根為， 故齊次微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） 設(shè)原方程的一個(gè)特解應(yīng)為，代入方程得 故微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合練習(xí)題解答 一．填空題 1．函數(shù)的定義域?yàn)? 。 2．函數(shù)

49、的定義域是 。 3．函數(shù)的定義域是 。 4．設(shè)，則 。 解：設(shè)，則且原式 即＝ 亦即 4．若函數(shù)在處連續(xù)，則= 。 5．曲線在處的切線方程為 。 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 解：， ， 6. 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為 。 初等函數(shù)在其定義區(qū)間連續(xù)。 且 7．曲線在點(diǎn)處的切線方程為 。 8. 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則 。 解：＝＝＝ ＝＝ 9.（判斷

50、單調(diào)性、凹凸性）曲線在區(qū)間內(nèi)是 單調(diào)遞減且凹 。 解： 10．設(shè)，則 。 解：，， 11． 0 。 解：是奇函數(shù)；是偶函數(shù)，由于偶+偶=偶，則是偶函數(shù)， 因?yàn)槠媾迹狡妫允瞧婧瘮?shù)，是對(duì)稱區(qū)間 奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分為零 12． 。 解： 是奇函數(shù)（奇偶＝奇），故； 而是偶函數(shù)，故 13．設(shè)，則 。 解： 14．已知，則 。 解： 15．設(shè)為的原函數(shù)，那么 。 分析：為的原函數(shù)， 解： 16．設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是, 則 。 解：的一個(gè)原函數(shù)為＝＝＝

51、 17．，那么 。 解： 18．_________________。 解： 19．設(shè)，則 。 解： 20．= 。 解：＝－＝ 二．選擇題 1． 下列函數(shù)中（ B ）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。 A． B． C． D． 規(guī)律：（1）1．奇偶函數(shù)定義： ； （2）．常見(jiàn)的偶函數(shù)： 常見(jiàn)的奇函數(shù)： 常見(jiàn)的非奇非偶函數(shù)：； （3）．奇偶函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)： 奇奇=奇；奇偶=非；偶偶=偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶； （4）．奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶

52、函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱。 解：A．非奇非偶； B．奇偶=奇（原點(diǎn)）； C．奇奇=偶（軸）； D．非奇非偶 2．下列函數(shù)中（ B ）不是奇函數(shù)。 A．； B．； C．； D． 解：A．奇函數(shù)（定義）； B．非奇非偶（定義）；C．奇函數(shù)（奇偶）；D．奇函數(shù)（定義） 3．下列函數(shù)中，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱的是（ A ）。 A． B． C． D． 解：A．偶函數(shù)（軸）； B．非奇非偶（定義）；C．奇函數(shù)（常見(jiàn)）；D．非奇非偶（定義） 4．下列極限正確的是（ B ）。 A． B． C.

53、 D． 解：A錯(cuò)?！?，～∴； B正確。分子分母最高次冪前的系數(shù)之比； C錯(cuò)?！撸词菬o(wú)窮小，即是有界變量，∴； D錯(cuò)。第二個(gè)重要極限應(yīng)為或，其類型為。 5．當(dāng)時(shí)，（ D ）為無(wú)窮小量。 A． B． C． D． 解：A． ＝； B．，，， 不存在； C．，； D．，。 6. 下列等式中，成立的是（ B ）。 A． B． C． D． 解：A．錯(cuò)，正確的應(yīng)為 B。 正確，即 C．錯(cuò)，正確的應(yīng)為 D．錯(cuò)，正確的應(yīng)為 7．設(shè)在點(diǎn)可微，且，則下列結(jié)論成立的是（ C

54、 ）。 A． 是的極小值點(diǎn) B． 是的極大值點(diǎn) ； C．是的駐點(diǎn)； D． 是的最大值點(diǎn)； 解：駐點(diǎn)定義：設(shè)在點(diǎn)可微，且，則是的駐點(diǎn)。駐點(diǎn)為可能的極值點(diǎn)。 8．．函數(shù)，則 （ D ）。 A． 3 ； B． ； C． ； D． 解一： 解二： 9．設(shè)，則（ B ）。 A． ； B． ； C． ； D． 不存在 10．曲線在區(qū)間內(nèi)是（ A ）。 A．下降且凹 B．上升且凹 C．下降且凸 D． 上升且凸 解： 11．曲線在內(nèi)是（ B

55、 ）。 A． 下降且凹； B．上升且凹； C．下降且凸； D．上升且凸 解： 12．曲線在點(diǎn)處的法線方程為（ B ）。 A.；B.；C．D. 規(guī)律：曲線在x=處的法線方程為 解：，， 故法線方程為B．； 13．下列結(jié)論中正確的是（ C ）。 A．函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn) 　　 B．函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn) C．函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn)一定是駐點(diǎn) D．函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)必為 解：駐點(diǎn)定義：設(shè)在點(diǎn)可微，且，則是的駐點(diǎn)。駐點(diǎn)為可能的極值點(diǎn)。 14．設(shè)函數(shù)，則（ A ）。 A．； B．； C．； D．

56、 解： 15．當(dāng)函數(shù)不恒為0，為常數(shù)時(shí)，下列等式不成立的是（ B ）。 A. B. C. D. 解： A. 成立，為不定積分的性質(zhì)； B. 不成立，常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零； C. 成立，為不定積分的性質(zhì)； D. 成立，為牛頓－萊布尼茲公式。 16．設(shè)函數(shù)的原函數(shù)為，則（ A ）。 A． ； B．； C．； D． 解：函數(shù)的原函數(shù)為， 17．下列無(wú)窮積分為收斂的是（　B?。?。 A.　　　 B. 　　　C.　　D. 規(guī)律：⑴ ⑵ ⑶、發(fā)散 ⑷

57、 解：A.；B.，收斂； C.，發(fā)散； D. ，發(fā)散 18．下列無(wú)窮積分為收斂的是（　C?。? A.　　　 B.　　　C. 　　　D. 解：A. 發(fā)散；B. 發(fā)散；C. 收斂；D. 發(fā)散； 三．計(jì)算題 1、求極限 2、求極限 解：∵ 解：∵ ∴原題＝ ∴原題＝ 3、求極限解：∵，～，～ ∴原題＝=＝ 4、求極限解：∵，～，～ ∴原題＝＝ 5、求極限解：∵，～，～ ∴原題＝＝ 6、求極限 解：∵，～～，～ ∴原題＝

58、＝ 7、設(shè)函數(shù)，求 解： 8、設(shè)函數(shù)，求。 解： 9、設(shè)函數(shù)，求。 解： 10、設(shè)函數(shù)，求。 11、設(shè)函數(shù)，求。 解： 12、計(jì)算不定積分 2 0 + — + ＝ 13、計(jì)算不定積分 解： 1 0 ＋ —

59、 ＝ 四、應(yīng)用題 1、 要做一個(gè)有底無(wú)蓋的圓柱體容器,已知容器的容積為4立方米,試問(wèn)如何選取底半徑和高的尺寸,才能使所用材料最省。 解：設(shè)圓柱體底半徑為，高為， 則體積 材料最省即表面積最小 表面積＝＝＝ ＝，令＝0，得唯一駐點(diǎn) 所以當(dāng)?shù)装霃綖槊祝藭r(shí)高為米時(shí)表面積最小即材料最省。 2、 要做一個(gè)有底無(wú)蓋的圓柱體容器,已知容器的容積為16立方米,底面單位面積的造價(jià)為10元/平方米，側(cè)面單位面積的造價(jià)為20元/平方米，試問(wèn)如何選取底半徑和高的尺寸,才能使建造費(fèi)用最省。 解：設(shè)圓柱體底半徑為，高為，

60、 則體積 且造價(jià)函數(shù) 令，得唯一駐點(diǎn) 所以當(dāng)?shù)装霃綖槊?，此時(shí)高為米時(shí)造價(jià)最低。 3、要用同一種材料建造一個(gè)有底無(wú)蓋的容積為108立方米的圓柱體容器，試問(wèn)如何選取底半徑和高的尺寸,才能使建造費(fèi)用最省。 解：要使建造費(fèi)用最省，就是在體積不變的情況下，使圓柱體的表面積最小。 設(shè)圓柱體底半徑為，高為， 則體積 則圓柱體倉(cāng)庫(kù)的表面積為＝＝＝ ＝，令＝0，得唯一駐點(diǎn), 所以當(dāng)?shù)装霃綖槊?，此時(shí)高為米時(shí)表面積最小即建造費(fèi)用最省。 4、在半徑為8的半圓和直徑圍成的半圓內(nèi)內(nèi)接

61、一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖）， 為使長(zhǎng)方形的面積最大，該長(zhǎng)方形的底長(zhǎng)和高各為多少。 解：設(shè)長(zhǎng)方形的底邊長(zhǎng)為，高為， 則 8 面積 令，得唯一駐點(diǎn) 所以當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為米，此時(shí)高為米時(shí)面積最大。 5、在半徑為8的圓內(nèi)內(nèi)接一個(gè)長(zhǎng)方形，為使長(zhǎng)方形的面積最大， 該長(zhǎng)方形的底長(zhǎng)和高各為多少。 解：設(shè)長(zhǎng)方形的底邊長(zhǎng)為，高為， 則 面積 令，得唯一駐點(diǎn) 所以當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為米，此時(shí)高為米時(shí)面積最大。 6、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點(diǎn)為， 面積＝= ＝＝ 7、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點(diǎn)為，， 面積＝＝＝ 8、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點(diǎn)為，， 面積＝＝＝ 9、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點(diǎn)為, 面積＝＝ 10、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點(diǎn)為，， 面積＝＝＝-1 -1 36