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1、
6.1正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)(2)
上音安師附中 李少保
上海市市北中學(xué) 余 化
一、教學(xué)內(nèi)容分析
正余弦函數(shù)的性質(zhì)(值域、最大(小)值、周期性、奇偶性、單調(diào)性)是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了正余弦函數(shù)的圖像后的重要內(nèi)容.是深入學(xué)習(xí)后繼數(shù)學(xué)知識及解決實(shí)際問題的基本工具.尤其是三角函數(shù)的周期性在物理學(xué)中、科技生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用.在本節(jié)學(xué)習(xí)中,涉及到 數(shù)形結(jié)合、類比、換元、化歸等數(shù)學(xué)思想方法.通過解決有關(guān)實(shí)際問題,充分顯示了三角函數(shù)來源于實(shí)踐需要,同時又廣泛應(yīng)用于客觀實(shí)際.
本單元重點(diǎn)掌握正(余)弦
2、函數(shù)的值域;正(余)弦函數(shù)取得最大小值時的自變量的取值集合.理解函數(shù)周期性定義,會求一般正(余)弦函數(shù)的周期.掌握正(余)弦函數(shù)的奇偶性及單調(diào)區(qū)間.會用正(余)弦函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計
(1)掌握正(余)弦函數(shù)的值域(有界性).
(2)掌握正(余)弦函數(shù)取最大(小)值時,自變量x的取值集合.
(3)會用正(余)弦函數(shù)的值域(有界性)解決相關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題.
三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
正(余)弦函數(shù)取最大(?。┲禃r,自變量x的取值集合.
四、教學(xué)用具準(zhǔn)備
教具、學(xué)具、多媒體設(shè)備
五、教學(xué)流程設(shè)計
正弦函數(shù)圖像 正弦函數(shù)值域
正弦
3、函數(shù)取最大值時x的取值集合 應(yīng)用舉例
六、教學(xué)過程設(shè)計
正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域
一、 情景引入
1.觀察
在上節(jié)課中,我們探討了正余弦函數(shù)的圖像.請同學(xué)們觀察圖像.
2.思考
正余弦函數(shù)的值域是什么?值域的涵義是什么?
3.討論:
回憶正弦函數(shù)圖像的作圖過程.結(jié)合正弦線的長度變化情況易得
二、學(xué)習(xí)新課
1.概念辨析 y=sinx 的值域是[-1,1]
當(dāng)且僅當(dāng)
當(dāng)且僅當(dāng)
類似地
y=cosx 的值域是[-1,1]
當(dāng)且
4、僅當(dāng)
當(dāng)且僅當(dāng)
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域相同,但取得最大值1和最小值-1時的x的集合不同.
2.例題分析
例1.求下列函數(shù)的定義域與值域
① ②
分析:①∵y=sinx 的定義域?yàn)镽,值域是[-1,1];
∴的定義域應(yīng)是2x∈R,即x∈R,值域是[];
②雖然y=cosx的定義域?yàn)镽,值域是[-1,1].但本題中-2cosx作為二次根式的被開方數(shù),所以-2cosx≥0,即cosx≤0.根據(jù)余弦比的符號可求得x求值范圍,并由0≤-2cosx≤2,可得函數(shù)值域.
解:①定義域?yàn)镽,值域是[];
②定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?
例2.見課本
例3.
5、見課本
3.問題拓展
關(guān)于例2.一般地函數(shù)
當(dāng)A>0,,此時x的取值可由解得
,此時x的取值可由解得
當(dāng)A<0,,此時x的取值可由解得
,此時x的取值可由解得
關(guān)于例3.一般地對于,可化為正弦形式.對于實(shí)際問題求最大小值時,要注意角x的取值范圍.
三、鞏固練習(xí)
1、已知α是第四象限角,且求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
2、函數(shù)的值域?yàn)椋?4,2],求a、b的值.
3、求函數(shù)的定義域和值域.
四、課堂小結(jié)
正(余)弦函數(shù)的值域、取得最大(?。┲禃r的x取集合值.
五、作業(yè)布置
1、求函數(shù)的值域.
2、求函數(shù)的最大值、最小值及其相應(yīng)的x值.
3、要在一個半徑為R的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形ABCD,問應(yīng)如何截取,并求出此矩形的面積.
4、求函數(shù)的值域.