高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)原子物理 運(yùn)動(dòng)定律

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1、 原 子 物 理 自1897年發(fā)現(xiàn)電子并確認(rèn)電子是原子的組成粒子以后，物理學(xué)的中心問(wèn)題就是探索原子內(nèi)部的奧秘，經(jīng)過(guò)眾多科學(xué)家的努力，逐步弄清了原子結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律并建立了描述分子、原子等微觀系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論體系——量子力學(xué)。本章簡(jiǎn)單介紹一些關(guān)于原子和原子核的基本知識(shí)。 1.1 原子 1．1．1、原子的核式結(jié)構(gòu) 1897年，湯姆生通過(guò)對(duì)陰極射線的分析研究發(fā)現(xiàn)了電子，由此認(rèn)識(shí)到原子也應(yīng)該具有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而不是不可分的。1909年，盧瑟福和他的同事以α粒子轟擊重金屬箔，即α粒子的散射實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)α粒子穿過(guò)金箔后仍沿原來(lái)的方向前進(jìn)，但有少數(shù)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，并且有極少數(shù)偏轉(zhuǎn)角超過(guò)了9

2、0，有的甚至被彈回，偏轉(zhuǎn)幾乎達(dá)到180。 1911年，盧瑟福為解釋上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果而提出了原子的核式結(jié)構(gòu)學(xué)說(shuō)，這個(gè)學(xué)說(shuō)的內(nèi)容是：在原子的中心有一個(gè)很小的核，叫原子核，原子的全部正電荷和幾乎全部質(zhì)量都集中在原子核里，帶負(fù)電的電子在核外的空間里軟核旋轉(zhuǎn)，根據(jù)α粒子散射的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可估計(jì)出原子核的大小應(yīng)在10-14nm以下。 1、1．2、氫原子的玻爾理論 1、核式結(jié)論模型的局限性 通過(guò)實(shí)驗(yàn)建立起來(lái)的盧瑟福原子模型無(wú)疑是正確的，但它與經(jīng)典論發(fā)生了嚴(yán)重的分歧。電子與核運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生與軌道旋轉(zhuǎn)頻率相同的電磁輻射，運(yùn)動(dòng)不停，輻射不止，原子能量單調(diào)減少，軌道半徑縮短，旋轉(zhuǎn)頻率加快。由此可得兩點(diǎn)結(jié)論： 高中物理

3、競(jìng)賽光學(xué)原子物理學(xué)教程 第一講　原子物理 ①電子最終將落入核內(nèi)，這表明原子是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)； ②電子落入核內(nèi)輻射頻率連續(xù)變化的電磁波。原子是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)顯然與事實(shí)不符，實(shí)驗(yàn)所得原子光譜又為波長(zhǎng)不連續(xù)分布的離散光譜。如此尖銳的矛盾，揭示著原子的運(yùn)動(dòng)不服從經(jīng)典理論所表述的規(guī)律。 為解釋原子的穩(wěn)定性和原子光譜的離經(jīng)叛道的離散性，玻爾于1913年以氫原子為研究對(duì)象提出了他的原子理論，雖然這是一個(gè)過(guò)渡性的理論，但為建立近代量子理論邁出了意義重大的一步。 2、玻爾理論的內(nèi)容： 一、原子只能處于一條列不連續(xù)的能量狀態(tài)中，在這些狀態(tài)中原子是穩(wěn)定的，電子雖做加速運(yùn)動(dòng)，但并不向外輻射能量，這些

4、狀態(tài)叫定態(tài)。 二、原子從一種定態(tài)（設(shè)能量為E2）躍遷到另一種定態(tài)（設(shè)能量為E1）時(shí)，它輻 高中物理競(jìng)賽原子物理學(xué)教程 第一講原子物理 射或吸收一定頻率的光子，光子的能量由這種定態(tài)的能量差決定，即 =E2-E1 三、氫原子中電子軌道量子優(yōu)化條件：氫原子中，電子運(yùn)動(dòng)軌道的圓半徑r和運(yùn)動(dòng)初速率v需滿足下述關(guān)系： ，n=1、2…… 其中m為電子質(zhì)量，h為普朗克常量，這一條件表明，電子繞核的軌道半徑是不連續(xù)的，或者說(shuō)軌道是量子化的，每一可取的軌道對(duì)應(yīng)一個(gè)能級(jí)。 定態(tài)假設(shè)意味著原子是穩(wěn)定的系統(tǒng)，躍遷假設(shè)解釋了原子光譜的離散性，最后由氫原子中電子軌道量子化條件，可導(dǎo)出氫原子能級(jí)和氫原子的

5、光譜結(jié)構(gòu)。 氫原子的軌道能量即原子能量，為 因圓運(yùn)動(dòng)而有 由此可得 根據(jù)軌道量子化條件可得： ，n=1，2…… 因，便有 得量子化軌道半徑為： ，n=1，2…… 式中已將r改記為rn對(duì)應(yīng)的量子化能量可表述為： ，n=1，2…… n=1對(duì)應(yīng)基態(tài)，基態(tài)軌道半徑為 計(jì)算可得： =0.529 r1也稱為氫原子的玻爾半徑 基態(tài)能量為 計(jì)算可得： E1=eV。 對(duì)激發(fā)態(tài)，有： ，n=1，2… n

6、越大，rn越大，En也越大，電子離核無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)，因此氫原子的電離能為： 電子從高能態(tài)En躍遷到低能態(tài)Em輻射光子的能量為： 光子頻率為 ， 因此氫原子光譜中離散的譜線波長(zhǎng)可表述為： ， 試求氫原子中的電子從第n軌道遷躍到n-1第軌道時(shí)輻射的光波頻率，進(jìn)而證明當(dāng)n很大時(shí)這一頻率近似等于電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率。 輻射的光波頻率即為輻射的光子頻率，應(yīng)有 將 代入可得 當(dāng)n很大時(shí)，這一頻率近似為 電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為： 將 代入得

7、 因此，n很大時(shí)電子從n第軌道躍遷到第n-1軌道所輻射的光波頻率，近似等于電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，這與經(jīng)典理論所得結(jié)要一致，據(jù)此，玻爾認(rèn)為，經(jīng)典輻射是量子輻射在時(shí)的極限情形。 1、1．3、氫原子光譜規(guī)律 1、巴耳末公式 研究原子的結(jié)構(gòu)及其規(guī)律的一條重要途徑就是對(duì)光譜的研究。19世紀(jì)末，許多科學(xué)家對(duì)原子光譜已經(jīng)做了大量的實(shí)驗(yàn)工作。第一個(gè)發(fā)現(xiàn)氫原子線光譜可組成線系的是瑞士的中學(xué)教師巴耳末，他于1885年發(fā)現(xiàn)氫原子的線光譜在可見(jiàn)光部分的譜線，可歸納為如下的經(jīng)驗(yàn)公式 ，n=3，4，5，… 式中的為波長(zhǎng)，R是一個(gè)常數(shù)，叫做里德伯恒量，實(shí)驗(yàn)測(cè)得R的值為1.09677

8、6107。上面的公式叫做巴耳末公式。當(dāng)n=3，4，5，6時(shí)，用該式計(jì)算出來(lái)的四條光譜線的波長(zhǎng)跟從實(shí)驗(yàn)測(cè)得的、、、四條譜線的波長(zhǎng)符合得很好。氫光譜的這一系列譜線叫做巴耳末系。 2、里德伯公式 1896年，瑞典的里德伯把氫原子光譜的所有譜線的波長(zhǎng)用一個(gè)普遍的經(jīng)驗(yàn)公式表示出來(lái)，即 n=1，2，3…，，… 上式稱為里德伯公式。對(duì)每一個(gè)，上是可構(gòu)成一個(gè)譜線系： ，，3，4… 萊曼系（紫外區(qū)） ，，4，5… 巴耳末系（可見(jiàn)光區(qū)） ，，5，6… 帕邢系（紅外區(qū)） ，，6，7… 布拉開(kāi)系（遠(yuǎn)紅外區(qū)） ，，7，8… 普豐德系（遠(yuǎn)紅外區(qū)） 以上是氫原子光譜的規(guī)律，通

9、過(guò)進(jìn)一步的研究，里德伯等人又證明在其他元素的原子光譜中，光譜線也具有如氫原子光譜相類(lèi)似的規(guī)律性。這種規(guī)律性為原子結(jié)構(gòu)理論的建立提供了條件。 1、1．4、玻爾理論的局限性： 玻爾原子理論滿意地解釋了氫原子和類(lèi)氫原子的光譜；從理論上算出了里德伯恒量；但是也有一些缺陷。對(duì)于解釋具有兩個(gè)以上電子的比較復(fù)雜的原子光譜時(shí)卻遇到了困難，理論推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論與實(shí)驗(yàn)事實(shí)出入很大。此外，對(duì)譜線的強(qiáng)度、寬度也無(wú)能為力；也不能說(shuō)明原子是如何組成分子、構(gòu)成液體個(gè)固體的。玻爾理論還存在邏輯上的缺點(diǎn)，他把微觀粒子看成是遵守經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)，同時(shí)，又給予它們量子化的觀念，失敗之處在于偶保留了過(guò)多的經(jīng)典物理理論。到本世紀(jì)20年

10、代，薛定諤等物理學(xué)家在量子觀念的基礎(chǔ)上建立了量子力學(xué)。徹底摒棄了軌道概念，而代之以幾率和電子云概念。 例題1：設(shè)質(zhì)子的半徑為，求質(zhì)子的密度。如果在宇宙間有一個(gè)恒定的密度等于質(zhì)子的密度。如不從相對(duì)論考慮，假定它表面的“第一宇宙速度”達(dá)到光速，試計(jì)算它的半徑是多少。它表面上的“重力加速度”等于多少？（1mol氣體的分子數(shù)是個(gè)；光速）；萬(wàn)有引力常數(shù)G取為。只取一位數(shù)做近似計(jì)算。 解:的摩爾質(zhì)量為2g/mol，分子的質(zhì)量為 ∴質(zhì)子的質(zhì)量近似為 質(zhì)子的密度 ρ== 設(shè)該星體表面的第一宇宙速度為v，由萬(wàn)引力定律，得 ， 而 ∴ 由于

11、“重力速度” ∴ 【注】萬(wàn)有引力恒量一般取6.67 例題2：與氫原子相似，可以假設(shè)氦的一價(jià)正離子（He）與鋰的二價(jià)正離子（L）核外的那一個(gè)電子也是繞核作圓周運(yùn)動(dòng)。試估算 （1）He、L的第一軌道半徑； （2）電離能量、第一激發(fā)能量； （3）賴曼系第一條譜線波長(zhǎng)分別與氫原子的上述物理量之比值。 解：在估算時(shí)，不考慮原子核的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響，原子核可視為不動(dòng)，其帶電量用+Ze表示，可列出下面的方程組： ， ① ， ② ，n=1，2，3，… ③ ， ④ 由此解得，，并可得出的表達(dá)式： ，

12、 ⑤ 其中米，為氫原子中電子的第度軌道半徑，對(duì)于He，Z=2，對(duì)于Li，Z=3． ， ⑥ 其中13.6電子伏特為氫原子的基態(tài)能． ． ⑦ ，2，3，… ，，… R是里德伯常數(shù)。 （1）由半徑公式⑤，可得到類(lèi)氫離子與氫原子的第一軌道半徑之比： ，． （2）由能量公式⑥，可得到類(lèi)氫離子與氫原子的電離能和第一激發(fā)能（即電子從第一軌道激發(fā)到第二軌道所需的能量）之比： 電離能： ， 第一激發(fā)能： ， 。 （其中：表示電子處在第二軌道上的能量，表示電子處在第一軌道上的能量） （3）由光譜公式⑦，氫原子賴曼系第一條譜線的波長(zhǎng)有：

13、 相應(yīng)地，對(duì)類(lèi)氫離子有： ， ， 因此 ： ，。 例3：已知基態(tài)He的電離能為E=54.4Ev，（1）為使處于基態(tài)的He進(jìn)人激發(fā)態(tài)，入射光子所需的最小能量應(yīng)為多少？（2）He從上述最底激發(fā)態(tài)躍遷返回基態(tài)時(shí)，如考慮到該離子的反沖，則與不考慮反沖相比，它所發(fā)射的光子波長(zhǎng)的百分變化有多大？（離子He的能級(jí)En與n的關(guān)系和氫原子能級(jí)公式類(lèi)中，可采用合理的近似。） 分析:第（1）問(wèn)應(yīng)正確理解電離能概念。第（2）問(wèn)中若考慮核的反沖，應(yīng)用能量守恒和動(dòng)量守恒，即可求出波長(zhǎng)變化。 解:（1）電離能表示He的核外電子脫離氦核的束縛所需要的能量。而題問(wèn)最小能量對(duì)應(yīng)于核外電

14、子由基態(tài)能級(jí)躍遷到第一激發(fā)態(tài)，所以 54.440.8eV （2）如果不考慮離子的反沖，由第一激發(fā)態(tài)遷回基態(tài)發(fā)阜的光子有關(guān)系式： 現(xiàn)在考慮離子的反沖，光子的頻率將不是而是，為反沖離子的動(dòng)能，則由能量守恒得 又由動(dòng)量守恒得 式中是反沖離子動(dòng)量的大小，而是發(fā)射光子的動(dòng)量的大小，于是，波長(zhǎng)的相對(duì)變化 = 由于 所以 代入數(shù)據(jù) 即百分變化為0.00000054% 1、2 原子核 原子核所帶電荷為+Ze，Z是整數(shù)，叫做原子序數(shù)。原子核是由質(zhì)子和中子組成，兩者均稱為核子，核子數(shù)記為A，質(zhì)子數(shù)記為Z，中子數(shù)便為A-Z。原子的元素符號(hào)記為X，原子

15、核可表述為，元素的化學(xué)性質(zhì)由質(zhì)子數(shù)Z決定，Z相同N不同的稱為同位素。 在原子物理中，常采用原子質(zhì)量單位，一個(gè)中性碳原子質(zhì)量的記作1個(gè)原子單位，即lu=。質(zhì)子質(zhì)量：中子質(zhì)量：電子質(zhì)量： 1．2．1、結(jié)合能 除氫核外，原子核中Z個(gè)質(zhì)子與（A-Z）個(gè)中子靜質(zhì)量之和都大于原子核的靜質(zhì)量，其間之差： 稱為原子核的質(zhì)量虧損。式中、分別為質(zhì)子、中子的靜質(zhì)量。造成質(zhì)量虧損的原因是核子相互吸引結(jié)合成原子核時(shí)具有負(fù)的能量，這類(lèi)似于電子與原子核相互吸引力結(jié)合成原子時(shí)具有負(fù)的能量（例如氫原子處于基態(tài)時(shí)電子軌道能量為-13.6eV）。據(jù)相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系，負(fù)能量對(duì)應(yīng)質(zhì)量虧損。質(zhì)量虧損折合成的能量： 稱為原

16、子核的結(jié)合能，注意結(jié)合能取正值。結(jié)合能可理解成為了使原子核分裂成各個(gè)質(zhì)子和中子所需要的外加你量。稱為核子的平均結(jié)合能。 1．2．2、天然放射現(xiàn)象 天然放射性元素的原子核，能自發(fā)地放出射線的現(xiàn)象，叫天然放射現(xiàn)象。這一發(fā)現(xiàn)揭示了原子核結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。天然放射現(xiàn)象中有三種射線，它們是： α射線：速度約為光速的1/10的氦核流（），其電離本領(lǐng)很大。 β射線：速度約為光速的十分之幾的電子流（），其電離本領(lǐng)較弱，貫穿本領(lǐng)較弱。 γ射線：波長(zhǎng)極短的電磁波，是伴隨著α射線、β射線射出的，其電離本領(lǐng)很小，貫穿本領(lǐng)最強(qiáng)。 1．2．3、原子核的衰變 放射性元素的原子核放出某種粒子后，變成另一種新核的現(xiàn)象

17、，叫做原子核的衰變，衰變過(guò)程遵循電荷守恒定律和質(zhì)量守恒定律。用X表示某種放射性元素，z表示它的核電荷數(shù)，m表示它的質(zhì)量數(shù)，Y表示產(chǎn)生的新元素，中衰變規(guī)律為： α衰變：通式 例如 β衰變：通式 例如 γ衰變：通式 （γ射線伴隨著α射線、β射線同時(shí)放出的。原子核放出γ射線，要引起核的能量發(fā)生變化，而電荷數(shù)和質(zhì)量數(shù)都不改變） 1．2．4、衰變定律和半衰期 研究發(fā)現(xiàn)，任何放射性物質(zhì)在單獨(dú)存在時(shí)，都遵守指數(shù)衰減規(guī)律 ① 這叫衰變定律。式中是t=0時(shí)的原子核數(shù)目，N（t）是經(jīng)時(shí)間t后還沒(méi)有衰變的原子核的數(shù)目，λ叫衰變常數(shù)，對(duì)于不同的核素

18、衰變常數(shù)λ不同。由上式可得： ② 式中代表在時(shí)間內(nèi)發(fā)生的衰變?cè)雍藬?shù)目。分母N代表t時(shí)刻的原子核總數(shù)目。λ表示一個(gè)原子核在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生衰變的概率。不同的放射性元素具有不同的衰變常數(shù)，它是一個(gè)反映衰變快慢的物理量，λ越大，衰變?cè)娇臁? 半衰期表示放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變所需的時(shí)間。用T表示，由衰變定律可推得： ③ 半衰期T也是反映衰變快慢的物理量；它是由原子核的內(nèi)部因素決定的，而跟原子所處的物理狀態(tài)或化學(xué)狀態(tài)無(wú)關(guān)；半衰期是對(duì)大量原子核衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，不表示某個(gè)原子核經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間發(fā)生的衰變。由①、③式則可導(dǎo)出衰變定律的另一種形式，即 （

19、T為半衰期，t表示衰變的時(shí)間，表示衰變前原子核的總量，N表示t后未衰變的原子核數(shù)） 或（為衰變前放射性物質(zhì)的質(zhì)量，M為衰變時(shí)間t后剩余的質(zhì)量）。 1、2、5、原子核的組成 用人工的方法使原子核發(fā)生變化，是研究原子核結(jié)構(gòu)及變化規(guī)律的有力武器。確定原子核的組成有賴于質(zhì)子和中子的發(fā)現(xiàn)。 1919年，盧瑟福用α粒子轟擊氮原子核而發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子，這個(gè)變化的核反應(yīng)方程： 1932年，查德威克用α粒子轟擊鈹原子核而發(fā)現(xiàn)了中子，這個(gè)變化的核反應(yīng)方程是： 通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)事實(shí)，從而確定了原子核是由質(zhì)子和中子組成的，質(zhì)子和中子統(tǒng)稱為核子。某種元素一個(gè)原子的原子核中質(zhì)子與中子的數(shù)量關(guān)系為： 質(zhì)子數(shù)=核

20、電荷數(shù)=原子序數(shù) 中子數(shù)=核質(zhì)量數(shù)-質(zhì)子數(shù) 具有相同質(zhì)子數(shù)不同中子數(shù)的原子互稱為同位素，利用放射性同位素可作“示蹤原子”，用其射線可殺菌、探傷、消除靜電等。 1、2、6、核能 ①核能 原子核的半徑很小，其中質(zhì)子間的庫(kù)侖力是很大的。然而通常的原子核卻是很穩(wěn)定的。這說(shuō)明原子核里的核子之間一定存在著另一種和庫(kù)侖力相抗衡的吸引力，這種力叫核力。 從實(shí)驗(yàn)知道，核力是一種強(qiáng)相互作用，強(qiáng)度約為庫(kù)侖力的確100倍。核力的作用距離很短，只在的短距離內(nèi)起作用。超過(guò)這個(gè)距離，核力就迅速減小到零。質(zhì)子和中子的半徑大約是，因此每個(gè)核子只跟它相鄰的核子間才有核力的作用。核力與電荷無(wú)關(guān)。質(zhì)子和質(zhì)子，質(zhì)子和中子，

21、中子和中子之間的作用是一樣的。當(dāng)兩核子之間的距離為時(shí)，核力表現(xiàn)為吸力，在小于時(shí)為斥力，在大于10fm時(shí)核力完全消失。 ②質(zhì)能方程 愛(ài)因斯坦從相對(duì)論得出物體的能量跟它的質(zhì)量存在正比關(guān)系，即 這個(gè)方程叫做愛(ài)因斯坦質(zhì)能方程，式中c是真空中的光速，m是物體的質(zhì)量，E是物體的能量。如果物體的能量增加了△E，物體的質(zhì)量也相應(yīng)地增加了△m，反過(guò)來(lái)也一樣?！鱁和△m之間的關(guān)系符合愛(ài)因斯坦的質(zhì)能方程。 ③質(zhì)量虧損 原子核由核子所組成，當(dāng)質(zhì)子和中子組合成原子核時(shí)，原子核的質(zhì)量比組成核的核子的總質(zhì)量小，其差值稱為質(zhì)量虧損。用m表示由Z個(gè)質(zhì)子、Y個(gè)中子組成的原子核的質(zhì)量，用和分別表示質(zhì)子和中子的質(zhì)量

22、，則質(zhì)量虧損為： ④原子核的結(jié)合能和平均結(jié)合能 由于核力將核子聚集在一起，所以要把一個(gè)核分解成單個(gè)的核子時(shí)必須反對(duì)核力做功，為此所需的能量叫做原子核的結(jié)合能。它也是單個(gè)核子結(jié)合成一個(gè)核時(shí)所能釋放的能量。根據(jù)質(zhì)能關(guān)系式，結(jié)合能的大小為： 原子核中平均每個(gè)核子的結(jié)合能稱為平均結(jié)合能，用N表示核子數(shù)，則： 平均結(jié)合能= 平均結(jié)合能越大，原子核就越難拆開(kāi)，平均結(jié)合能的大小反映了核的穩(wěn)定程度。從平均結(jié)合能曲線可以看出，質(zhì)量數(shù)較小的輕核和質(zhì)量數(shù)級(jí)大的重核，平均結(jié)合能都比較小。中等質(zhì)量數(shù)的原子核，平均結(jié)合能大。質(zhì)量數(shù)為50~60的原子核，平均結(jié)合能量大，約為8.6MeV。 1．2．7、核

23、反應(yīng) 原子核之間或原子核與其他粒子之間通過(guò)碰撞可產(chǎn)生新的原子核，這種反應(yīng)屬于原子核反應(yīng)，原子核反應(yīng)可用方程式表示，例如 即為氦核（α粒子）轟擊氮核后產(chǎn)生氧同位素和氫核的核反應(yīng)，核反應(yīng)可分為如下幾類(lèi) （1）彈性散射：這種過(guò)程，出射粒子就是入射粒子，同時(shí)在碰撞過(guò)程中動(dòng)能保持不變，例如將中子與許多原子核碰撞會(huì)發(fā)生彈性散射。 （2）非彈性散射：這種過(guò)程中出射粒子也是原來(lái)的入射粒子，但在碰撞過(guò)程中粒子動(dòng)能有了變化，即粒子和靶原子核發(fā)生能量轉(zhuǎn)移現(xiàn)象。例如能量較高的中子轟擊原子核使核激發(fā)的過(guò)程。 （3）產(chǎn)生新粒子：這時(shí)碰撞的結(jié)果不僅能量有變化，而且出射粒子與入射粒子不相同，對(duì)能量較大的入射粒子

24、，核反應(yīng)后可能出現(xiàn)兩個(gè)以上的出射粒子，如合成101號(hào)新元素的過(guò)程。 （4）裂變和聚變：在碰撞過(guò)程中，使原子核分裂成兩個(gè)以上的元素原子核，稱為裂變，如鈾核裂變 裂變過(guò)程中，質(zhì)量虧損0.2u，產(chǎn)生巨大能量，這就是原子彈中的核反應(yīng)。 引起原子核聚合的反應(yīng)稱為聚變反應(yīng)，如 氫彈就是利用氘、氘化鋰等物質(zhì)產(chǎn)生聚變后釋放出巨大能量發(fā)生爆炸的。 核反應(yīng)中電荷守恒，即反應(yīng)生成物電荷的代數(shù)和等于反應(yīng)物電荷的代數(shù)和。核反應(yīng)中質(zhì)量守恒，即反應(yīng)生成物總質(zhì)量等于反應(yīng)物總質(zhì)量。這里的質(zhì)量指相對(duì)論質(zhì)量，相對(duì)論質(zhì)量m與相對(duì)論能量E之間的關(guān)系是 因此質(zhì)量守恒也意味著能量守恒。核反應(yīng)中質(zhì)量常采用原子質(zhì)量

25、單位，記為u.lu相當(dāng)于931.5MeV。 核反應(yīng)中相對(duì)論質(zhì)量守恒，但靜質(zhì)量可以不守恒。一般來(lái)說(shuō)，反應(yīng)生成物總的靜質(zhì)量少于反應(yīng)物總的靜質(zhì)量，或者說(shuō)反應(yīng)物總的靜質(zhì)量有虧損。虧損的靜質(zhì)量記為△m，反應(yīng)后它將以能量形式釋放出來(lái)，稱之為反應(yīng)能，記為△E，有 需要注意的是反應(yīng)物若有動(dòng)能，其相對(duì)論質(zhì)量可大于靜質(zhì)量，但在算反應(yīng)能時(shí)只計(jì)靜質(zhì)量。反應(yīng)能可以以光子形式向外輻射，也可以部分轉(zhuǎn)化為生成物的動(dòng)能，但生成物的動(dòng)能中還可以包含反應(yīng)物原有的動(dòng)能。 下面討論原子核反應(yīng)能的問(wèn)題： 在所有原子核反應(yīng)中，下列物理量在反應(yīng)前后是守恒的：①電荷；②核子數(shù)；③動(dòng)量；④總質(zhì)量和聯(lián)系的總能量等（包括靜止質(zhì)量和聯(lián)系的

26、靜止能量），這是原子核反應(yīng)的守恒定律。下面就質(zhì)量和能量守恒問(wèn)題進(jìn)行分析。 設(shè)有原子核A被p粒子撞擊，變?yōu)锽和q。其核反應(yīng)方程如下： A+p→B+q 上列各核和各粒子的靜質(zhì)量M和動(dòng)能E為 反應(yīng)前 反應(yīng)后 根據(jù)總質(zhì)量守恒和總能量守恒可得 由此可得反應(yīng)過(guò)程中釋放的能量Q為： Pp Pp Pb A Pq 此式表示，反應(yīng)能Q定義為反應(yīng)后粒子的動(dòng)能超出反應(yīng)前粒子的動(dòng)能的差值。這也等于反應(yīng)前粒子靜質(zhì)量超過(guò)反應(yīng)后粒子的靜質(zhì)量的差值乘以。所以反應(yīng)能Q可以通過(guò)粒子動(dòng)能的測(cè)量求出，也可以由已知的粒子的靜質(zhì)量來(lái)計(jì)算求出。 下面來(lái)討論怎

27、樣由動(dòng)能來(lái)求出Q。設(shè)A原子核是靜止的。由能量守恒可得 根據(jù)反應(yīng)前后動(dòng)量守恒得 式中為反應(yīng)前撞擊粒子的動(dòng)量，和是反應(yīng)后新生二粒子的動(dòng)量。上式可改為標(biāo)量 由于，上式可改為 從上式求出，代入中得 從上式中的質(zhì)量改為質(zhì)量數(shù)之比可得： 如果事先測(cè)知，再測(cè)出和β，即可算得Q。 例1 已知某放射源在t=0時(shí)，包含個(gè)原子，此種原子的半衰期為30天． （1）計(jì)算時(shí)，已發(fā)生衰變的原子數(shù)； （2）確定這種原子只剩下個(gè)的時(shí)刻。 解: 衰變系數(shù)λ與半衰期T的關(guān)系為 衰變規(guī)律可表述為：。 （1）時(shí)刻未衰變的原子數(shù)為： 已發(fā)生衰變的原子數(shù)便為：

28、 （2）時(shí)刻未發(fā)生衰變的原子數(shù)為： 由此可解得： =399天 例2 在大氣和有生命的植物中，大約每個(gè)碳原子中有一個(gè)原子，其半衰期為t=5700年，其余的均為穩(wěn)定的原子。在考古工作中，常常通過(guò)測(cè)定古物中的含量來(lái)推算這一古物年代。如果在實(shí)驗(yàn)中測(cè)出：有一古木碳樣品，在m克的碳原子中，在△t（年）時(shí)間內(nèi)有△n個(gè)原子發(fā)生衰變。設(shè)燒成木炭的樹(shù)是在T年前死亡的，試列出能求出T的有關(guān)方程式（不要求解方程）。 解: m克碳中原有的原子數(shù)為，式中為阿伏加德羅常數(shù)。 經(jīng)過(guò)T年，現(xiàn)存原子數(shù)為 （1） 在△T內(nèi)衰變的原子數(shù)為 （2） 在（1）、（2）二式中，m、、τ、△T和

29、均為已知，只有n和T為未知的，聯(lián)立二式便可求出T。 例3.當(dāng)質(zhì)量為m，速度為的微粒與靜止的氫核碰撞，被氫核捕獲（完全非彈性碰撞）后，速度變?yōu)?；?dāng)這個(gè)質(zhì)量為m，速度為的微粒與靜止的碳核做對(duì)心完全彈性碰撞時(shí)，碰撞后碳核速度為，今測(cè)出，已知，求此微粒質(zhì)量m與氫核質(zhì)量之比為多少？ 解: 根據(jù)題意有，即有 （1） 又因 （2） （3） 由（2）式得 （4） 由（3）式得 （5） 由（4）、（5）式得 （6） （6）m（4）得 所以。此微粒的

30、質(zhì)量等于氫核的質(zhì)量。 　 運(yùn)動(dòng)定律 3.1牛頓定律 3．1．1、牛頓第一定律 任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到其他物體所作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。這是牛頓第一定律的內(nèi)容。牛頓第一定律是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。 物體保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)稱為慣性。牛頓第一定律又稱為慣性定律，慣性定律是物體的固有屬性，可用質(zhì)量來(lái)量度。 無(wú)論是靜止還是勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其速度都是不變的。速度不變的運(yùn)動(dòng)也就是沒(méi)有加速度的運(yùn)動(dòng)，所以物體如果不受到其他物體的作用，就作沒(méi)有加速度的運(yùn)動(dòng)，牛頓第一定律指出了力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。 牛頓第一定律只在一類(lèi)特殊的參照系

31、中成立，此參照系稱為慣性參照系。簡(jiǎn)稱慣性系。相對(duì)某一慣性系作勻速運(yùn)動(dòng)的參照系必定也是慣性系，牛頓第一定律不成立的參照系稱為非慣性參照系，簡(jiǎn)稱非慣性系，非慣性系相對(duì)慣性系必作變速運(yùn)動(dòng)，地球是較好的慣性系，太陽(yáng)是精度更高的慣性系。 3．1．2．牛頓第二定律 (1)定律內(nèi)容：物體的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同 (2)數(shù)學(xué)表達(dá)式： (3)理解要點(diǎn) ①牛頓第二定律不僅揭示了物體的加速度跟它所受的合外力之間的數(shù)量關(guān)系，而且揭示了加速度方向總與合外力的方向一致的矢量關(guān)系。在應(yīng)用該定律處理物體在二維平面或三維空間中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，往往需要選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)

32、系，把它寫(xiě)成分量形式 ②牛頓第二定律反映了力的瞬時(shí)作用規(guī)律。物體的加速度與它所受的合外力是時(shí)刻對(duì)應(yīng)的，即物體所受合外力不論在大小還是方向上一旦發(fā)生變化，其加速度也一定同時(shí)發(fā)生相應(yīng)的變化。 F1 F2 圖3-1-1 ③當(dāng)物體受到幾個(gè)力的作用時(shí)，每個(gè)力各自獨(dú)立地使物體產(chǎn)生一個(gè)加速度，就如同其他力不存在—樣；物體受幾個(gè)力共同作用時(shí)，產(chǎn)生的加速度等于每個(gè)力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的加速度的矢量和，如圖3-1-1示。這個(gè)結(jié)論稱為力的獨(dú)立作用原理。 ④牛頓第二定律闡述了物體的質(zhì)量是慣性大小的量度，公式反映了對(duì)同—物體，其所受合外跟它的加速度之比值

33、是個(gè)常數(shù)，而對(duì)不同物體其比值不同，這個(gè)比值的大小就是物體的質(zhì)量，它是物體慣性大小量度，當(dāng)合外力不變時(shí)，物體加速度跟其質(zhì)量成反比，即質(zhì)量越大，物體加速度越小，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越難改變，慣性也就越大。 ⑤牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式定義了力的基本單位；牛頓（N）。因?yàn)?，，故，?dāng)定義使質(zhì)量為1kg的物體產(chǎn)生加速度的作用力為1N時(shí)，即1N=時(shí)，k=1。由于力的單位1N的規(guī)定使牛頓第二定律公式 中的k=1，由此所產(chǎn)生的單位制即我們最常用的國(guó)際單位制。 ⑥在慣性參考系中，公式中的ma不是一個(gè)單獨(dú)的力，更不能稱它是什么“加速力”，它是一個(gè)效果力，只是在數(shù)值上等于物體所受的合外力。 F 圖3

34、-2-1 ⑦對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系而言，同樣可以應(yīng)用牛頓第二定律。 如果這個(gè)質(zhì)量系在任意的x方向上受的合外力為，質(zhì)點(diǎn)系中的n個(gè)物體（質(zhì)量分別為）在x方向上的加速度分別為，那么有 這就是質(zhì)點(diǎn)系的牛頓第二定律。 3．1．3、牛頓第三定律 （1）定律內(nèi)容：兩個(gè)物體之間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，作用在一條直線上。 （2）數(shù)學(xué)表達(dá)式： （3）理解要點(diǎn) ①牛頓第三定律揭示了物體相互作用的規(guī)律，自然界中的力的作用都是相互的，任何一個(gè)物體既為受力體，則它一定就是施力體。 ②相互作用力必定是同一性質(zhì)的力，即如果其中一個(gè)力是摩擦力，則它的反作用力也一定是摩擦力。 ③兩個(gè)相互作用力

35、要與一對(duì)平衡力區(qū)分清楚。 ④這個(gè)相互作用力是指的性質(zhì)力。對(duì)于效果力不一定能找到“整體”的反作用力，如有人說(shuō)向心力的反作用力就是離心力。這是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛐牧ν怯啥鄠€(gè)力作用是共同效果，其中每個(gè)力都有其各自的反作用力，故向心力這個(gè)合力就不一定有一個(gè)所謂反作用力。 3．1．4、關(guān)于參照系的問(wèn)題 （1）慣性參照系：牛頓第一定律實(shí)際上又定義了一種參照系，在這個(gè)參照系中觀察，一個(gè)不受力作用的物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這樣的參照系就叫做慣性參照系，簡(jiǎn)稱慣性系。由于地球在自轉(zhuǎn)的同時(shí)又繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，所以嚴(yán)格地講，地面不是一個(gè)慣性系。在一般情況下，我們可不考慮地球的轉(zhuǎn)動(dòng)，且在研究較短時(shí)間內(nèi)物體的運(yùn)

36、動(dòng)，我們可以把地面參照系看作一個(gè)足夠精確的慣性系。 （2）非慣性參照系：凡牛頓第一定律不成立的參照系統(tǒng)稱為非慣性參性系，一切相對(duì)于慣性參照系做加速運(yùn)動(dòng)的參照系都是非慣性參照系。在考慮地球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，地球就是非慣性系。在非慣性系中，物體運(yùn)動(dòng)不遵循牛頓第二定律，但在引入“慣性力”的概念以后，就可以利用牛頓第二定律的形式來(lái)解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題了。（關(guān)于慣性力的應(yīng)用在后邊將到）。 3.2牛頓定律在曲線運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用 3．2．1、物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件 物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是，物體的初速度不為零，受到的合外力與初速度不共線，指向曲線的“凹側(cè)”，如圖3-2-1，該時(shí)刻物體受到的合外力F與速度的夾角滿足的條件是0

37、<<180。 3．2．2、圓周運(yùn)動(dòng) 物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件是，物體受到始終與速度方向垂直，沿半徑指向圓心，大小恒定的力的作用。由牛頓第二定律可知，其大小為 。 在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，合外力在法線方向和切線方向都有分量，法向分量產(chǎn)生向心加速度。 切向分量產(chǎn)生切向加速度。 3．2．3、一般曲線運(yùn)動(dòng) 與變速圓周運(yùn)動(dòng)類(lèi)似，在一般曲線運(yùn)動(dòng)中，合外力在法線方向和切線方向都有分量，法向分量的大小為 R為曲線在該處的曲率半徑，切向分量的大小為 3.3 慣性力 應(yīng)用牛頓定律時(shí)，選用的參照系應(yīng)該是慣性系。在非慣性系中，為了能得

38、到形式上與牛頓第二定律一致的動(dòng)力學(xué)方程，引入慣性力的概念，引入的慣性力必須滿足 式中是質(zhì)點(diǎn)受到的真實(shí)合力，是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)非慣性系的加速度。 真實(shí)力與參照系的選取無(wú)關(guān)，慣性力是虛構(gòu)的力，不是真實(shí)力。慣性力不是自然界中物質(zhì)間的相互作用，因此不屬于牛頓第三定律涉及的范圍之內(nèi)，它沒(méi)有施力物體，不存在與之對(duì)應(yīng)的反作用力． 3．3．1．平動(dòng)加速系統(tǒng)中的慣性力 設(shè)平動(dòng)非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度為。質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于慣性系加速度，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平動(dòng)非慣性系的加速度 質(zhì)點(diǎn)受到的真實(shí)力對(duì)慣性系有 對(duì)非慣性系 得 平動(dòng)非慣性系中，慣性力

39、由非慣性系相對(duì)慣性系的加速度及質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量確定，與質(zhì)點(diǎn)的位置及質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于非慣性系速度無(wú)關(guān)。 3．3．2、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)系中的慣性力 O m 圖3—3—1 ω 如圖3—3—1，圓盤(pán)以角速度繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤(pán)上用長(zhǎng)為r的細(xì)線把質(zhì)量為m的點(diǎn)系于盤(pán)心且質(zhì)點(diǎn)相對(duì)圓盤(pán)靜止，即隨盤(pán)一起作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以慣性系觀察，質(zhì)點(diǎn)在線拉力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，符合牛頓第二定律．以圓盤(pán)為參照系觀察，質(zhì)點(diǎn)受力拉到作用而保持靜止，不符合牛頓定律．要在這種非慣性系中保持牛頓第二定律形式不變，在質(zhì)點(diǎn)靜止于此參照系的情況下，引入慣性力 為轉(zhuǎn)軸向質(zhì)點(diǎn)所引矢量，與轉(zhuǎn)軸垂直，由于這個(gè)慣

40、性力的方向沿半徑背離圓心，通常稱為慣性離心力．由此得出：若質(zhì)點(diǎn)靜于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參照系中，則作用于此質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)力與慣性離心力的合力等于零． 慣性離心力的大小，除與轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的角速度和質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)外，還與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)（半徑）， 必須指出的是，如果質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)，則若想在形式上用牛頓第二定律來(lái)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，僅加慣性離心力是不夠的，還須加其他慣性力。如科里奧里力，科里奧利力是以地球這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)物體為參照系所加入的慣性力，它的水平分量總是指向運(yùn)動(dòng)的右側(cè)，即指向相對(duì)速度的右側(cè)。例如速度自北向南，科里奧利力則指向西方。這種長(zhǎng)年累月的作用，使得北半球河流右岸的沖刷甚于左岸，因而比較陡峭

41、。雙軌鐵路的情形也是這樣。在北半球，由于右軌所受壓力大于左軌，因而磨損較甚。南半球的情況與此相反，河流左岸沖刷較甚，而雙線鐵路的左軌磨損較甚。由于這個(gè)過(guò)程極為復(fù)雜，涉及微分知識(shí)及坐標(biāo)系建立，這里就不進(jìn)一步討論了。 3．3．3、用實(shí)驗(yàn)方法證明在非慣性系中加入慣性力的必要性。 圖3－3－2 在一列以加速度做直線運(yùn)動(dòng)的車(chē)廂里，有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，放在光滑的桌面上，如圖3-3-2所示，相對(duì)于地面慣性系來(lái)觀測(cè)，小球保持靜止?fàn)顟B(tài)，小球所受合外力為零，符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律，相對(duì)于非慣性系的車(chē)廂來(lái)觀測(cè)，小球以加速度向后運(yùn)動(dòng)，而小球沒(méi)有受到其它物體對(duì)他的力的作用，牛頓運(yùn)動(dòng)定律不再成立。 不

42、過(guò)，車(chē)廂里的人可以認(rèn)為小球受到一向后的力，把牛頓定律寫(xiě)為。這樣的力不是其它物體的作用，而是參照系是非慣性系所引起的，稱為慣性力．如果一非慣性系以加速度相對(duì)慣性系而運(yùn)動(dòng)，則在此非慣性系里，任一質(zhì)量為m的物體都受到一慣性力，把慣性力計(jì)入在內(nèi)，在非慣性里也可以應(yīng)用牛頓定律．當(dāng)汽車(chē)拐彎做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于地面出現(xiàn)向心加速度，相對(duì)于車(chē)廂人感覺(jué)向外傾倒，常說(shuō)受到了離心力，正確地說(shuō)應(yīng)是慣性離心力，這就是非慣性系中出現(xiàn)的慣性力。 A B N 圖3-3-3 如圖3-3-3，一物塊A放在傾角為的光滑斜面B上，問(wèn)斜面B必須以多大的加速度運(yùn)動(dòng)，才能保持A、B相

43、對(duì)靜上？ 可取B作為參照系，A在此參照系中靜止。因?yàn)锽是相對(duì)地面有加速度的非慣性參照系，所以要加一個(gè)慣性力f=ma，方向水平向右，a的大小等于B相對(duì)地面的加速度。由受力分析圖可知 f=ma=mg ∴ 3.4應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解題的方法和步驟 應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律的基本方法是隔離法，再配合正交坐標(biāo)運(yùn)用分量形式求解。 解題的基本步驟如下： (1)選取隔離體，即確定研究對(duì)象 一般在求某力時(shí)，就以此力的受力體為研究對(duì)象，在求某物體的運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，就以此物體為研究對(duì)象。有幾個(gè)物體相互作用，要求它們之間的相互作用力，則必須將相互作用的物體隔離開(kāi)來(lái)，取其中一物體作研究對(duì)象。有時(shí)，某些力不能直

44、接用受力體作研究對(duì)象求出，這時(shí)可以考慮選取施力物體作為研究對(duì)象，如求人在變速運(yùn)動(dòng)的升降機(jī)內(nèi)地板的壓力，因?yàn)榈匕迨芰^為復(fù)雜，故采用人作為研究對(duì)象為好。 在選取隔離體時(shí)，采用整體法還是隔離法要靈活運(yùn)用。如圖3-4-1要求質(zhì)量分別為M和m的兩物體組成的系統(tǒng)的加速度a，有兩種方法，一種是將兩物體隔離，得方程為 m M 圖3-4-1 另—種方法是將整個(gè)系統(tǒng)作為研究對(duì)象，得方程為 顯然，如果只求系統(tǒng)的加速度，則第二種方法好；如果還要求繩的張力，則需采用前一種方法。 (2)分析物體受力情況：分析物體受力是解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵，必須牢牢掌握。 ①一般順序：在

45、一般情況下，分析物體受力的順序是先場(chǎng)力，如重力、電場(chǎng)力等，再?gòu)椓?，如壓力、張力等，然后是摩擦力。并配合作物體的受力示意圖。 大小和方向不受其它力和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響的力叫主動(dòng)力，如重力、庫(kù)侖力；大小和主向與主動(dòng)力和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有密切聯(lián)系的力叫被動(dòng)力或約束力，如支持力、摩擦力。這就決定了分析受力的順序。如物體在地球附近不論是靜止還是加速運(yùn)動(dòng)，它受的重力總是不變的；放在水平桌面上的物體對(duì)桌面的壓力就與它們?cè)谪Q直方向上有無(wú)加速度有關(guān)，而滑動(dòng)摩擦力總是與壓力成正比。 A FX FY 圖3-4-2 ②關(guān)于合力與分力：分析物體受力時(shí)，只在合力或兩個(gè)分力中取其一，不能同時(shí)取而說(shuō)它受

46、到三個(gè)力的作用。一般情況下選取合力，如物體在斜面上受到重力，一般不說(shuō)它受到下滑力和垂直面的兩個(gè)力。在—些特殊情況下，物體其合力不能先確定，則可用兩分力來(lái)代替它，如圖3-4-2橫桿左端所接鉸鏈對(duì)它的力方向不能明確之前，可用水平和豎直方向上的兩個(gè)分力來(lái)表示，最后再求出這兩個(gè)分力的合力來(lái)。 ③關(guān)于內(nèi)力與外力：在運(yùn)用牛頓第二定律時(shí)，內(nèi)力是不可能對(duì)整個(gè)物體產(chǎn)生加速度的，選取幾個(gè)物體的組合為研究對(duì)象時(shí)，這幾個(gè)物體之間的相互作用力不能列入方程中。要求它們之間的相互作用，必須將它們隔離分析才行，此時(shí)內(nèi)力轉(zhuǎn)化成外力。 ④關(guān)于作用力與反作用力：物體之間的相互作用力總是成對(duì)出現(xiàn)，我們要分清受力體與施力體。在列方

47、程解題時(shí)，對(duì)一對(duì)相互作用力一般采用同一字線表示。在不考慮繩的質(zhì)量時(shí)，由同一根繩拉兩個(gè)物體的力經(jīng)常作為一對(duì)相互作用力處理，經(jīng)過(guò)不計(jì)摩擦的定滑輪改變了方向后，我們一般仍將繩對(duì)兩個(gè)物體的拉力當(dāng)作一對(duì)相互作用力處理。 (3)分析物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其變化 ①運(yùn)用牛頓定律解題主要是分析物體運(yùn)動(dòng)的加速度a，加速度是運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)聯(lián)系的紐帶，經(jīng)常遇到的問(wèn)題是已知物體運(yùn)動(dòng)情況通過(guò)求a而求物體所受的力。 圖3－4－3 m1 ɑ F ②針對(duì)不同的運(yùn)動(dòng)形式和運(yùn)用不同的公式，在分析物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)有不同的要求。對(duì)于靜力學(xué)的問(wèn)題，其加速度為零，速度為零或常量；對(duì)于牛頓運(yùn)動(dòng)定律問(wèn)題，主要是分析加速度，要注意其瞬

48、時(shí)性，勻變速運(yùn)動(dòng)可任取一點(diǎn)分析，變加速運(yùn)動(dòng)則必須找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)分析；如果是運(yùn)用動(dòng)量定理或動(dòng)能定理，則必須分析物體所受的力的沖量或所做的功，還要分析運(yùn)動(dòng)始末兩態(tài)的動(dòng)量或動(dòng)能。 ③要注意物體運(yùn)動(dòng)的加速度與速度的大小方向的關(guān)系，也要注意兩者大小不一定同時(shí)為零，如豎直上拋的最高點(diǎn)，速度為零加速度不為零，在振動(dòng)的平衡位置速度最大加速度為零；兩者的方向也不一定相同，如加速上升，兩者方向相同，減速上升，兩者方向相反。 圖3-4-4 ④對(duì)于由幾個(gè)物體組成的連接體的運(yùn)動(dòng)，要分析各個(gè)物體的加速度。各個(gè)物體的加速度之間的關(guān)系的求法是：一般假設(shè)各物體初速為零，由公式，再由各物體的位移的比

49、值找出它們加速度之間的關(guān)系來(lái)。 如圖3-4-3，顯然有，故有 ， 所以 圖3-4-4， 故有 如圖3-4-5設(shè)，我們以地球?yàn)閰⒄瘴?，三者的加速度如圖所示，為了找出三個(gè)加速度大小的關(guān)系，我們?cè)O(shè)由于和的運(yùn)動(dòng)，使繩有沿動(dòng)滑輪邊沿的加速度，根據(jù)有關(guān)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律有 m1 m2 m3 圖3-4-5 兩式相減消去得到三個(gè)加速度之間的關(guān)系式為 ⑤若不知加速度a的方向，則可事先假設(shè)加速度的方向，按假設(shè)算出來(lái)的加速度若為正，則說(shuō)明假設(shè)正確；若計(jì)算出來(lái)的加速度為負(fù)，則不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為加速度的方向

50、與假設(shè)的方向相反，一般情況下，應(yīng)該換一個(gè)方向重新計(jì)算，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)方向不同時(shí)，物體所受的力有可能不同，特別是有摩擦力的時(shí)候。 (4)建立坐標(biāo)系 ①通常我們采用慣性坐標(biāo)系，一般不加申明就以地球?yàn)閰⒄瘴?，有時(shí)為了方便，采用非慣性坐標(biāo)系。 ②坐標(biāo)也有瞬時(shí)性，如圓錐擺所建立的坐標(biāo)就是指某一瞬間的。 ③通常采用直角坐標(biāo)系，對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)常用自然坐標(biāo)，即取切向和法向?yàn)閮勺鴺?biāo)軸的方向，切向加速度反映了速度大小的變化，法向加速度反映了速度方向的變化。 ④選取坐標(biāo)軸，最好能以加速度方向?yàn)橐惠S的方向，這樣可以使方程較為簡(jiǎn)潔；如果由于解題需要而兩軸都不與加速度同向，則要注意將加速度依坐標(biāo)分解列入方程。 (5)列

51、方程和解方程 ①根據(jù)物理意義列出方程，對(duì)于正交坐標(biāo)，一般是對(duì)每一個(gè)隔離體列出一組坐標(biāo)數(shù)的方程。 ②出于解題的需要，一般是方程數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等，若方程數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則要注意題目的隱含條件，或者用特殊方法可以解出。 ③不同的題型要注意有不同的解法，有些題目可以一次性的列出方程，有些題目必須走一步看一步，逐步推出結(jié)論。 (6)驗(yàn)算作答 ①驗(yàn)算是必不可少的一步，要根據(jù)物理意義和題設(shè)條件剔除多余的根。 ②為了快速檢驗(yàn)，可以采用檢驗(yàn)答案的量綱的方法。 ③正負(fù)符號(hào)在物理問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，要特別注意正負(fù)號(hào)的物理意義。 3.5力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系 判斷一個(gè)物體做什么運(yùn)動(dòng)，一要看它受到

52、什么外力，二要看它的初速與外力方向的關(guān)系。物體運(yùn)動(dòng)某時(shí)刻的加速度總與該時(shí)刻所受的合外力相對(duì)應(yīng)，而某時(shí)刻的速度沿軌跡切線方向，與該時(shí)刻所受的力沒(méi)有直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。 (1)物體受平衡力的作用：。當(dāng)時(shí)，物體靜止：當(dāng)時(shí)，物體以作勻速直線運(yùn)動(dòng)。 (2)物體作直線運(yùn)動(dòng)：=恒量，恒量，物體作勻變速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，作初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)時(shí)，如果與同向，物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如果和反向，物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)。 =變量，=變量，物體將做變加速運(yùn)動(dòng)。如果方向不變大小變，物體作如有空氣阻力的豎直上拋運(yùn)動(dòng)；若大小和方向都變，物體的運(yùn)動(dòng)更要具體分析。 (3)物體作曲線運(yùn)動(dòng) ①物體作曲線運(yùn)動(dòng)的條件：當(dāng)物體所受的

53、合外力的方向與物體運(yùn)動(dòng)的速度方向不在一條直線上時(shí)，物體將作曲線運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體的速度方向是在曲線某點(diǎn)的切線方向上，合力在切線方向的分量產(chǎn)生切向加速度，它描述速度大小改變的快慢；合力在法線方向（徑向）的分量產(chǎn)生法向加速度，它描述速度方向改變的快慢。 ②拋物線運(yùn)動(dòng)：當(dāng)物體所受的合外力大小和方向都不變，而速度與合外力方向不在同一直線上時(shí)，物體作軌跡為拋物線的運(yùn)動(dòng)。如物體只受重力作用的拋體運(yùn)動(dòng)和帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)合力與初速的方向垂直時(shí)，物體做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)；當(dāng)合力與初速的夾角小于90時(shí)，物體作類(lèi)下拋運(yùn)動(dòng)；當(dāng)合力與初速的夾角大于90時(shí)，物體作類(lèi)上拋運(yùn)動(dòng)。 ③圓周運(yùn)動(dòng)：當(dāng)物體所受的合外

54、力的大小保持不變，而速度與合外力保持垂直，則物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，切向加速度為零，法向加速度即向心加速度，故此時(shí)合外力就叫向心力 或 m1 m2 m3 圖3-5-1 向心力是從力的作用效果命名的力，任何一個(gè)力或幾個(gè)力的合力，只要它的作用效果是使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生向心加速度，這個(gè)力或這幾力的合力就叫向心力。不要在分析物體所受的重力、彈力、摩擦力之外再無(wú)中生有地受到一個(gè)向心力。 做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力，一定在法向上有一個(gè)分量，這一分量即為向心力；在切向上也有一個(gè)分量，這一分量使速度大小有變化。 所謂離心

55、力是對(duì)作圓周運(yùn)動(dòng)的物體給提供它的向心力的另一物體的作用力，如果做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心力是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體共同提供的，則離心力必作用在這兩個(gè)或兩個(gè)以上的相應(yīng)的物體上，所以，除了只有一個(gè)物體提供向心力的情況外，一般不能把離心力說(shuō)成是向心力的反作用力。當(dāng)合外力提供的向心力小于物體所需的向心力時(shí)，物體將遠(yuǎn)離原來(lái)的軌道作離心運(yùn)動(dòng)；當(dāng)合力提供的向心力在某時(shí)刻消失時(shí)，物體將沿該時(shí)刻的速度方向飛出，這些現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)是物體的慣性所致，而不是所謂離心力的作用。在非慣性系中提出的慣性離心力這一虛擬力，也與上述離心力根本不同，決不能混淆。 如下是一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題： 兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體在某一種力（一般是彈力或

56、摩擦力）作用下一起運(yùn)動(dòng)，叫做聯(lián)接體，解聯(lián)接體的問(wèn)題一般要用隔離法，即把某一個(gè)物體隔離出來(lái)進(jìn)行分析，有時(shí)聯(lián)接體中的各個(gè)物體具有不同的加速度，必須確定它們的加速度之間的關(guān)系。 如圖3-5-1所示的裝置，細(xì)繩不可伸長(zhǎng)，三個(gè)物體的加速度方向如圖所示，那么它們的加速度之間有什么關(guān)系呢？ 先設(shè)物體不動(dòng)，那么當(dāng)物體下降時(shí)物體將上升；再設(shè)物體不動(dòng)，當(dāng)物體下降物體將上升。當(dāng)上述兩種運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來(lái)，則實(shí)際上物體下降物體下降物體應(yīng)是上升。它們對(duì)時(shí)間的變化率（即速度）之間也有上述關(guān)聯(lián)，即 它們的加速度之間的關(guān)系也同樣是 A B P Q K

57、圖3-5-2 再如圖3-5-2所示的物體系，由于B球受重力作用，使B球向下做加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)三角形劈A向左做加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)球和劈在原來(lái)的K點(diǎn)接觸，經(jīng)過(guò)時(shí)間之后，球上的K點(diǎn)移動(dòng)到了P點(diǎn)處，劈上的K點(diǎn)移到了Q點(diǎn)處，顯然△KPQ和劈的剖面三角形是相似的，即∠KQP等于劈的底角θ，因此 同樣，任何時(shí)刻都有 mg N h 圖3-5-3 如圖3-5-3所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球沿著拋物線型的軌道從h米高處由靜止開(kāi)始滑下，試求小球到達(dá)軌道底部時(shí)對(duì)軌道的壓力。小球到達(dá)底部時(shí)的速度 根據(jù)第二講的討論可知，拋物線底部的曲率半徑 小球在底部時(shí)受到二個(gè)力：重力m

58、g和軌道彈力N，因此 F m m x y 圖3-5-4 兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，用細(xì)繩連接起來(lái)，置于光滑平面上，繩恰好被拉直。用一個(gè)恒力F作用在連繩中點(diǎn)，F(xiàn)的方向水平且垂直于繩的初始位置（圖3-5-4），F(xiàn)力拉動(dòng)原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)的小球。問(wèn)：在兩小球第一次相撞前的一瞬間，小球在垂直于F的作用線方向（設(shè)為y方向）上的分速度多大？ 由于繩的張力和方向都在不斷改變，因此兩小球的運(yùn)動(dòng)是比較復(fù)雜的，我們應(yīng)用兩種手段使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化。 一是先研究小球在某一方向即F作用的線方向（設(shè)為x方向）上的運(yùn)動(dòng)：當(dāng)繩與作用線成角時(shí)繩上的張力，這個(gè)張力使小球產(chǎn)生的

59、在x方向上的加速度為 F T 圖3-5-5 可見(jiàn)，無(wú)關(guān)，即小球在x方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)（圖3-5-5） 二是只考慮小球運(yùn)動(dòng)的初、末兩個(gè)狀態(tài)：設(shè)F的作用點(diǎn)共移動(dòng)了s距離，則小球在x方向上運(yùn)動(dòng)了的距離，小球碰撞前在x方向上的速度為 在這段過(guò)程中，F(xiàn)力做的功為，根據(jù)動(dòng)能定理 應(yīng)該說(shuō)明的是，因?yàn)閯?dòng)能定理是從牛頓第二定律推導(dǎo)出來(lái)的，因此只適用于慣性系。雖然相對(duì)不同的慣性系，F(xiàn)做功的位移和物體的速度都是不一樣的，但動(dòng)能定理卻仍然成立。 3.6 萬(wàn)有引力 天體的運(yùn)動(dòng) 3．6．1、萬(wàn)有引力 任何兩個(gè)物體間存在一種稱為萬(wàn)

60、有引力的相互作用力。萬(wàn)有引力是自然界中已發(fā)現(xiàn)的四種相互作用（萬(wàn)有引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用）之一。兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力，其大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘積成正比，與兩質(zhì)點(diǎn)距離的平方成反比，方向沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向，其表示式為 式中G稱為萬(wàn)有引力常量，其值為 萬(wàn)有引力公式只適用于質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)物體的幾何線度不能忽略時(shí)，可以把它們分割成線度可略的小部分，兩物體間每一小部分之間的萬(wàn)有引力的合力便就是兩物體間的萬(wàn)有引力。可以證明兩個(gè)質(zhì)量均勻的球體之間的引力?？梢杂萌f(wàn)有引力定律計(jì)算，只是計(jì)算式中的r為兩球心間的距離。質(zhì)量為m的均勻分布的球殼對(duì)球殼外任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力，等于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處于

61、球心處與該質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力，它對(duì)球殼內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力則為零。 測(cè)得的地球表面上物體所受到的重力，是地球?qū)ξ矬w引力的一個(gè)分量，由于地球并不嚴(yán)格是個(gè)球體，質(zhì)量分布也不均勻，加之地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，使得同一物體，在地球表面不同位置處受到的重力略有不同。 萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用 ①天體表面的重力加速度g：設(shè)天體質(zhì)量為M且均勻分布，天體為圓球體且半徑為R，物體質(zhì)量為m，則 故 ②關(guān)于天體質(zhì)量和平均密度的計(jì)算：設(shè)質(zhì)量為m的行星繞質(zhì)量為M的恒星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)的半徑為r，周期為T(mén)，由牛頓定律，恒星對(duì)行星的萬(wàn)有引力就是行星繞恒星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故有 由此可得

62、恒星的質(zhì)量為 圖3-6-1 設(shè)恒星的球半徑為R，則它的平均密度為 這個(gè)公式也適用于衛(wèi)星繞行星作圓周運(yùn)動(dòng)的情況。如設(shè)近地人造衛(wèi)星的周期為T(mén)，因有，上式就可以寫(xiě)成 這就很容易求出地球的平均密度了。 3．6．2、天體的運(yùn)動(dòng) 開(kāi)普勒根據(jù)前人積累的行星運(yùn)動(dòng)觀察資料。總結(jié)出關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的三定律——開(kāi)普勒三定律。 第一定律：行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓，太陽(yáng)在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 第二定律：行星與太陽(yáng)的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。 下面舉一個(gè)例子詳加說(shuō)明： 為用數(shù)學(xué)式子表述第二定律，設(shè)徑矢r在時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為，則面積速度為，由圖3-6-

63、1可知， 故面積速度為 常量 式中v為行星運(yùn)動(dòng)的線速度，為徑矢r與速度v方向之間的夾角。當(dāng)行星位于橢圓軌道的近日點(diǎn)或遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，速度v的方向與徑矢r的方向垂直，即=90，故 第三定律：各行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期平方與軌道半長(zhǎng)軸立方的比值相同，即 開(kāi)普勒定律不僅適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)。也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)。 當(dāng)半長(zhǎng)軸a與半短軸b相等時(shí)，橢圓成為圓。由開(kāi)普勒第二定律可知，圓軌道運(yùn)動(dòng)必為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力。 對(duì)于繞地球作半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，由牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律可得 根據(jù)地球表面物體重力與引力的關(guān)系

64、 R為地球半徑衛(wèi)星速率為 對(duì)于貼著地球表面運(yùn)行的衛(wèi)星。 這就是第一宇宙速度，也就是發(fā)射衛(wèi)星必須具有的最小速度 利用能量關(guān)系，可求出從地球表面發(fā)射的宇宙飛般，為能掙脫地球引力的束縛，其發(fā)射速度必須滿足 稱為第二宇宙速度。 下面舉一個(gè)例子詳加說(shuō)明： 新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10km。學(xué)者們對(duì)該行星進(jìn)行探查時(shí)發(fā)現(xiàn)。當(dāng)把試驗(yàn)用的樣品浸入行星海洋的不同深度時(shí)，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變，試求這個(gè)行星表面處的自由落體加速度。已知萬(wàn)有引力常數(shù)為 。 解1：如圖3-6-2以R表示

65、此星球（包括水層）的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其表層海洋的深度，r表示海洋內(nèi)任一點(diǎn)A到星球中心O的距離，表示除表層海洋外星球內(nèi)層的半徑。則有，且，以表示水的密度，則此星球表層海洋中水的總質(zhì)量為 ① 由于，故①式可略去其中h的高次項(xiàng)面是近似寫(xiě)為 ② 根據(jù)均勻球體表面處重力加速度的公式，R0 R r A O h 圖3-6-2 可得此星球表層海洋的底面和表面處的重力加速度分別為 依題述有,即 整理上式可解得 ③ 由于，故近似取2Rh-,則③式可寫(xiě)為 ④ 由④和②式得此

66、星球表面的重力加速度為 ⑤ 以G=、、代入⑤式，得 解2：設(shè)行星的內(nèi)層（即半徑為的球體部分）的平均密度為，則可將該半徑為的球體視為由一個(gè)均勻的水球（密度為、半徑為）和一個(gè)密度為半徑為的球疊加而成。則在水球殼層內(nèi)的重力加速度應(yīng)由這兩個(gè)球分別產(chǎn)生的加速度疊加而成。 如圖3-6-2，對(duì)于水球殼層中的任一點(diǎn)A，以表示上述水球在該處形成的重力加速度，則有 由上式可見(jiàn)，隨r的增加而增加，當(dāng)r增加為r+△r時(shí)，的增加量為 又以表示上述的密度為的球在A點(diǎn)產(chǎn)生的重力加速度，則有 由上式可見(jiàn)，隨r的增加而減少，當(dāng)r增加為r+△r時(shí)，的增加量（為一負(fù)值，表明其實(shí)際上是減少）為 上式演算中利用了近似關(guān)系。由于要求在水層內(nèi)重力加速度g為恒量，即不隨r變化而變化，故應(yīng)有 即 近似取r=，乃得 則行星內(nèi)層密度為 由上可得此行星內(nèi)外兩層分界面處的重力加速度（亦即行星表面處的重力加速度）為