《平面向量數(shù)量積》說課稿

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1、 《平面向量數(shù)量積》說課稿 武都區(qū)兩水中學(xué) 王斌 說課內(nèi)容：普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）《數(shù)學(xué)必修4》P116第二章第四節(jié)“平面向量的數(shù)量積”的第一課時---平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義。 下面，我從背景分析、教學(xué)目標設(shè)計、課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計、教學(xué)過程設(shè)計、教學(xué)媒體設(shè)計及教學(xué)評價設(shè)計六個方面對本節(jié)課的思考進行說明。 一、 背景分析 1、學(xué)習(xí)任務(wù)分析 平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數(shù)學(xué)的一個重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時，其中第一課時主要研究數(shù)量積的概念，第二課時主要研究數(shù)量積的坐標運算，本

2、節(jié)課是第一課時。 本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運算律，使學(xué)生體會類比的思想方法，進一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運算律的基礎(chǔ)。同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點。 2、學(xué)生情況分析 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實數(shù)的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了

3、研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實數(shù)運算類比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運算律。這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學(xué)生倍感親切。但也正是這些干擾了學(xué)生對數(shù)量積概念的理解，一方面，相對于線性運算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運算后，形卻消失了，學(xué)生對這一點是很難接受的；另一方面，由于受實數(shù)乘法運算的影響，也會造成學(xué)生對數(shù)量積理解上的偏差，特別是對性質(zhì)和運算律的理解。因而本節(jié)課教學(xué)的難點數(shù)量積的概念。 二、 教學(xué)目標設(shè)計 《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》 對本節(jié)課的要求有以下三條： （1）通過物理中“功”等事

4、例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。 （2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。 （3）能用運數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。 從以上的背景分析可以看出，數(shù)量積的概念既是本節(jié)課的重點，也是難點。為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應(yīng)用過程中，物理中“功”的實例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數(shù)量積概念延伸的性質(zhì)和運算律，不僅能夠使學(xué)生更加全面深刻地理解概念，同時也是進行相關(guān)計算和判斷的理論依據(jù)。最后，無論是數(shù)量積的性質(zhì)還是運算律，都希望學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上，通過主動探究來發(fā)現(xiàn)，因而對培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體

5、。 綜上所述，結(jié)合“課標”要求和學(xué)生實際，我將本節(jié)課的教學(xué)目標定為： 1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義； 2、體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律， 并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的運算和判斷； 3、體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。 三、課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計 本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學(xué)，依據(jù)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，結(jié)合本節(jié)課的知識的邏輯關(guān)系，我按照以下順序安排本節(jié)課的教學(xué)： 創(chuàng)設(shè)問題情景 抽象概念 探究性

6、質(zhì) 探究運算律 應(yīng)用概念 例題與練習(xí) 小結(jié)提升 即先從數(shù)學(xué)和物理兩個角度創(chuàng)設(shè)問題情景，通過歸納和抽象得到數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上研究數(shù) 量積的性質(zhì)和運算律，使學(xué)生進一步加深對概念的理解，然后通過例題和練習(xí)使學(xué)生鞏固概念，加深印象，最后通過課堂小結(jié)提高學(xué)生認識，形成知識體系。 四、 教學(xué)媒體設(shè)計 和“大綱”教材相比，“課標”教材在本節(jié)課的內(nèi)容安排上，雖然將向量的夾角在“平面向量基本定理”

7、一節(jié)提前做了介紹，但卻將原來分兩節(jié)課完成的內(nèi)容合并成一節(jié)，相比較而言本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)加重了許多。為了保證教學(xué)任務(wù)的完成，順利實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標，考慮到本節(jié)課的實際特點，在教學(xué)媒體的使用上，我的設(shè)想主要有以下兩點： 1、制作高效實用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以此來節(jié)約課時，增加課堂容量。 2、設(shè)計科學(xué)合理的板書（見下），一方面使學(xué)生加深對主要知識的印象，另一方面使學(xué)生清楚本節(jié)內(nèi)容知識間的邏輯關(guān)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)。 平面向量數(shù)量積(一) 一、 數(shù)量積的概念 二、數(shù)量積的性質(zhì) 四、應(yīng)用與提高 1、 概念：

8、 例1： 2、 概念強調(diào) （1）記法 例2： （2）“規(guī)定” 三、數(shù)量積的運算律 例3： 3、幾何意義： 4、物理意義： 五、 教學(xué)過程設(shè)計 課標指出：數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師引導(dǎo)學(xué)生進行學(xué)習(xí)活動的過程，是教師和學(xué)生間互動的過程，是師生共同發(fā)展的過程。為有序、有效地進行教學(xué)，本節(jié)課我主要安排以下六個活動： 活動一：創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 正如教材主編寄語所言，數(shù)學(xué)是自然的

9、，而不是強加于人的。平面向量的數(shù)量積這一重要概念，和向量的線性運算一樣，也有其數(shù)學(xué)背景和物理背景，為了體現(xiàn)這一點，我設(shè)計以下幾個問題： 問題1：我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？ 問題2：我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？ S F α 期望學(xué)生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運算律→應(yīng)用 問題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S， （1）力F所做的功W= 。 （2） 請同學(xué)們分析這個公式的特點：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量， α是 。 問題1的設(shè)計意

10、圖在于使學(xué)生了解數(shù)量積的數(shù)學(xué)背景，讓學(xué)生明白本節(jié)課所要研究的數(shù)量積與向量的加法、減法及數(shù)乘一樣，都是向量的運算，但與向量的線性運算相比，數(shù)量積運算又有其特殊性，那就是其結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化。 問題2的設(shè)計意圖在于使學(xué)生在與向量加法類比的基礎(chǔ)上明了本節(jié)課的研究方法和順序，為教學(xué)活動指明方向。 問題3的設(shè)計意圖在于使學(xué)生了解數(shù)量積的物理背景，讓學(xué)生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實意義的，從而產(chǎn)生了進一步研究這種新運算的愿望。同時，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊。 活動二：探究數(shù)量積的概念 1、概念的抽象 在分析“功”的計算公式的基礎(chǔ)上提出問題4 問

11、題4：你能用文字語言來表述功的計算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？ 學(xué)生通過思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學(xué)生事實上已經(jīng)得到數(shù)量積概念的文字表述了，在此基礎(chǔ)上，我進一步明晰數(shù)量積的概念。 2、概念的明晰 已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量 ︱︱︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即：= ︱︱︱︱cos 在強調(diào)記法和“規(guī)定”后 ，為了讓學(xué)生進一步認識這一概念，提出問題5 問題5：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？并完成下

12、表： 角的范圍 0≤<90 =90 0<≤180 的符號 通過此環(huán)節(jié)不僅使學(xué)生認識到數(shù)量積的結(jié)果與線性運算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，而且認識到向量的夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素，為下面更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)和運算律做好鋪墊。 3、探究數(shù)量積的幾何意義 這個問題教材是這樣安排的：在給出向量數(shù)量積的概念后，只介紹了向量投影的定義，直到講完例1后，為了證明運算律的第三條才直接以結(jié)論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，我覺得這樣安排似乎不太自然，還不如在給出向量投影的概念后，直接由學(xué)生自己歸納得出，所以做了調(diào)整。為此，我首先給出給出向量投影的概念，然后提出問題5。 如圖，我們把││cos（│

13、│cos） 叫做向量在方向上（在方向上）的投影， 記做：OB1=││cos 問題6：數(shù)量積的幾何意義是什么？ 這樣做不僅讓學(xué)生從“形”的角度重新認識數(shù)量積的概念，從中體會數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，同時也更符合知識的連貫性，而且也節(jié)約了課時。 4、研究數(shù)量積的物理意義 數(shù)量積的概念是由物理中功的概念引出的，學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念后，學(xué)生就會明白功的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是力與位移的數(shù)量積 。為此，我設(shè)計以下問題 一方面使學(xué)生嘗試計算數(shù)量積，另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。 問題7： （1） 請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積 。 （

14、2）嘗試練習(xí)：一物體質(zhì)量是10千克，分別做以下運動： ①、在水平面上位移為10米； ②、豎直下降10米； ③、豎直向上提升10米； ④、沿傾角為30度的斜面向上運動10米； 分別求重力做的功。 活動三：探究數(shù)量積的運算性質(zhì) 1、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn) 教材中關(guān)于數(shù)量積的三條性質(zhì)是以探究的形式出現(xiàn)的，為了很好地完成這一探究活動，在完成上述練習(xí)后，我不失時機地提出問題8： （1）將嘗試練習(xí)中的① ② ③的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？ （2）比較︱︱與︱︱︱︱的大小，你有什么結(jié)論？ 在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，教師進一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學(xué)生利用數(shù)量積的定義給予證

15、 明，完成探究活動。 設(shè)和b都是非零向量，則 1、⊥ =0 2、當與同向時，︱︱=︱︱︱︱；當與反向時， ︱︱= -︱︱︱︱， 特別地，=︱︱2或︱︱= 3、︱︱≤︱︱︱︱ 數(shù)量積的性質(zhì) 2、明晰數(shù)量積的性質(zhì) 數(shù)量積的性質(zhì) 3、性質(zhì)的證明 這樣設(shè)計體現(xiàn)了教師只是教學(xué)活動的引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)活動的主體，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動的熱情，不僅使學(xué)生獲得了知識，更培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)。 活動四：探究數(shù)量積的運算律 1、運算律

16、的發(fā)現(xiàn) 關(guān)于運算律，教材仍然是以探究的形式出現(xiàn)，為此，首先提出問題9 問題9：我們學(xué)過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？ 通過此問題主要是想使學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上，猜測提出數(shù)量積的運算律。 學(xué)生可能會提出以下猜測： ①= ②（）= () ③（ + ） = + 猜測①的正確性是顯而易見的。 關(guān)于猜測②的正確性，我提示學(xué)生思考下面的問題： 猜測②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？ 學(xué)生通過討論不難發(fā)現(xiàn)，猜測②是不正確的。 這時教師在肯定猜測③的基礎(chǔ)上明晰數(shù)量積的運算律： 數(shù)量積的運算律 2、明晰數(shù)

17、量積的運算律 已知向量、 、和實數(shù)λ，則： （1）= （2）（λ）=λ（)= （λ） （3）（ + ）= + 3、證明運算律 學(xué)生獨立證明運算律（2） 我把運算運算律（2）的證明交給學(xué)生完成，在證明時，學(xué)生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問題： 當λ<0時，向量與λ，與λ的方向 的關(guān)系如何？此時，向量λ與及與λ的夾角與向量與的夾角相等嗎？ 師生共同證明運算律（3） 運算律（3）的證明對學(xué)生來說是比較困難的，為了節(jié)約課時，這個證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。 在這個環(huán)節(jié)中，我仍然是

18、首先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上進行猜想歸納，然后教師明晰結(jié)論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)了學(xué)生推理論證的能力，同時也增強了學(xué)生類比創(chuàng)新的意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機的結(jié)合在一起。 活動五：應(yīng)用與提高 例1、（師生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 與的夾角為60，求（+2 ）（-3），并思考此運算過程類似于哪種運算？ 例2、（學(xué)生獨立完成）對任意向量 ，b是否有以下結(jié)論： （1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 2—2 例3、（師生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4, 且 與不共線，k為何值時，向量+k 與-k互相垂直？并思考：通過本題

19、你有什么收獲？ 本節(jié)教材共安排了四道例題，我根據(jù)學(xué)生實際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數(shù)量積的性質(zhì)和運算律的綜合應(yīng)用，教學(xué)時，我重點從對運算原理的分析和運算過程的規(guī)范書寫兩個方面加強示范。完成計算后，進一步提出問題：此運算過程類似于哪種運算？目的是想讓學(xué)生在類比多項式乘法的基礎(chǔ)上自己猜測提出例2給出的兩個公式，再由學(xué)生獨立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生通過類比這一思維模式達到創(chuàng)新的目的。例3的主要作用是，在繼續(xù)鞏固性質(zhì)和運算律的同時，教給學(xué)生如何利用數(shù)量積來判斷兩個向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應(yīng)用之一，教學(xué)時重點給學(xué)生分析數(shù)與形的轉(zhuǎn)化原理。 為

20、了使學(xué)生更好的理解數(shù)量積的含義，熟練掌握性質(zhì)及運算律，并能夠應(yīng)用數(shù)量積 解決有關(guān)問題，再安排如下練習(xí)： 1、 下列兩個命題正確嗎？為什么？ ①、若≠0，則對任一非零向量，有≠0． ②、若≠0，＝，則＝． 2、已知△ABC中，=, =，當 <0或＝0時，試判斷△ABC的形狀。 安排練習(xí)1的主要目的是，使學(xué)生在與實數(shù)乘法比較的基礎(chǔ)上全面認識數(shù)量積這一重要運算，通過練習(xí)2使學(xué)生學(xué)會用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，進一步感受數(shù)量積的應(yīng)用價值。 活動六：小結(jié)提升與作業(yè)布置 1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？ 2、平面向量數(shù)量積的兩個基本應(yīng)用是什么？ 3、我們是按照怎樣的思維模式進行概

21、念的歸納和性質(zhì)的探究？在運算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？ 4、類比向量的線性運算，我們還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？ 通過上述問題，使學(xué)生不僅對本節(jié)課的知識、技能及方法有了更加全面深刻的認識，同時也為下一節(jié)做好鋪墊，繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的求知欲。 布置作業(yè)： 1、課本P121習(xí)題2.4A組1、2、3。 2、拓展與提高： 已知與都是非零向量，且+3 與7 -5垂直，-4與 7-2垂直,求與的夾角。 在這個環(huán)節(jié)中，我首先考慮檢測全體學(xué)生是否都達到了“課標”的基本要求，因此安排了一組教材中的習(xí)題，目的是讓所有的學(xué)生繼續(xù)加深對數(shù)量積概念的理解和應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。其次，為了能讓不

22、同的學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到不同的發(fā)展，我又安排了一道有一定難度的問題供學(xué)有余力的同學(xué)選做。 六、教學(xué)評價設(shè)計 評價方式的轉(zhuǎn)變是新課程改革的一大亮點，課標指出：相對于結(jié)果，過程更能反映每個學(xué)生的發(fā)展變化，體現(xiàn)出學(xué)生成長的歷程。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價既要重視結(jié)果，也要重視過程。結(jié)合“課標”對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價建議，對本節(jié)課的教學(xué)我主要通過以下幾種方式進行： 1、 通過與學(xué)生的問答交流，發(fā)現(xiàn)其思維過程，在鼓勵的基礎(chǔ)上，糾正偏差，并對其進行定性的評價。 2、在學(xué)生討論、交流、協(xié)作時，教師通過觀察，就個別或整體參與活動的態(tài)度和表現(xiàn)做出評價，以此來調(diào)動學(xué)生參與活動的積極性。 3、 通過練習(xí)來檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，并在講評中，肯定優(yōu)點，指出不足。 4、 通過作業(yè)，反饋信息，再次對本節(jié)課做出評價，以便查漏補缺。 以上是我對本節(jié)課的一些思考，不妥之處，敬請各位專家批評指正。謝謝！ 6