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1、《平行線與相交線》考點(diǎn)例析
山東 李其明
本章的考點(diǎn)含相交線和平行線,是平面幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容,互余和互補(bǔ)的概念以及平行線的判定與性質(zhì)和有關(guān)推理、計(jì)算,都是中考的重要內(nèi)容,一般來講本章的知識點(diǎn)很少單獨(dú)在中考題中出現(xiàn),往往與后面要學(xué)習(xí)的三角形、四邊形等知識綜合起來考查,本章在中考試題中,填空題、選擇題是考查的一般題型,考試的形式主要有三種形式,下面以中考題為例,舉例說明,供同學(xué)們參考.
一、概念型考題
主要考察相交線和平行線的定義、性質(zhì)、定理,常以選擇題為主要題型
例1.(2005年南通市)如圖1,下列條件中,不能判斷直線∥的是( )
2
1
3
4
5
圖
2、1
(A)∠1=∠3(B)∠2=∠3(C)∠4=∠5(D)∠2+∠4=1800
分析:本例可用平行線的判定方法采用排除法使問題得以解決.
A中∠1與∠3為內(nèi)錯(cuò)角,∠1=∠3可得∥;
C中∠4與∠5是兩個(gè)相等的同位角,可得∥;
D中∠2與∠4是兩個(gè)互補(bǔ)的同旁內(nèi)角,可得∥
只有B不能確定.
B
A
C
D
E
F
圖2
答案:應(yīng)選(B).
點(diǎn)評:本題主要考察相交線和平行線的定義、性質(zhì)、定理的理解與運(yùn)用情況.
練習(xí)1:1. 如圖2,下列不能判定FB∥CE的條件是( )
2
1
3
4
圖3
(A)∠F+∠B=180(B)∠ABF=∠C(C)∠F=∠C(
3、D)∠A=∠D
2. 如圖3,下列各式是正確的是( )
(A)∠1與∠4是同位角 (B)∠1與∠3是同位角
(C)∠2與∠4是同位角 (D)∠2與∠3是同位角
答案:1:B;2:D.
二、計(jì)算型考題
圖4
主要考察平行線的性質(zhì);互余、互補(bǔ)角的性質(zhì),常以填空題為主要題型;
例2.(2005年山東?。┤鐖D4,AB∥CD,AD,BC相交于O,∠BAD=35,
∠BOD=76,則∠C的度數(shù)是( )
(A) 31 (B) 35 (C) 41 (D) 76
分析:本題重要考查學(xué)生對平行線的性質(zhì)、互余、互補(bǔ)角的性質(zhì)以及
小學(xué)學(xué)過的常識性的問題------三
4、角形的內(nèi)角和是1800等知識.
解:因?yàn)锳B∥CD,所以∠D=∠BAD=350,又∠BOD=76,
而∠BOD+∠COD=1800,所以∠COD=1040,又因?yàn)椤螩+∠D+∠COD=1800,
所以∠C=1800-1040-350=410,故選(C).
點(diǎn)評:本題雖然是選擇題型,它重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用平行線的性質(zhì)、互余、互補(bǔ)角的性質(zhì)等知識通過簡單的推理計(jì)算來解決問題的.
練習(xí)2:1. 如圖5所示,直線a∥b,則∠A= 度.
圖6
圖5
2. 如圖6,AB∥CD,直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,EG平分∠BEF交CD于點(diǎn)G,∠1=50,求∠2的度數(shù).
答案:1
5、.220;2.650
三、說理型考題
E
B
A
C
D
F
1
圖7
例3.(2005年湖南益陽市)小明到工廠去進(jìn)行社會實(shí)踐活動時(shí),發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖7,所示的零件,工人師傅告訴他:AB∥CD,∠A=40,∠1=70,小明馬上運(yùn)用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識得出了∠C的度數(shù),聰明的你一定知道∠C= .
分析:本題源于生活實(shí)際問題,但考生可借助平行線的性質(zhì)定理和
三角形內(nèi)角和定理,由此可獲得兩種解題思路.
解:方法1:連結(jié)AC,由AB∥CD,得∠BAC+∠ACD=180,
從而∠ECD=180-40-(180-70)=30
方法2:過E作EF∥AB,由平行線的
6、性質(zhì)定理,得∠BAE=∠AEF,∠DCE=∠FEC,從而∠DCE=∠1-∠A=70-40=30.
A
B
E
C
D
A
28
50
a
C
b
B
圖8
點(diǎn)評:本題主要運(yùn)用了平行線的性質(zhì)定理和三角形內(nèi)角和定理,借助于添加輔助線的方法,將問題轉(zhuǎn)化為可解問題,今后同學(xué)們經(jīng)常會遇到這種帶有“折線”、“拐角”類的題目,解決這類問題,必須要掌握“平移”與“分割”的思想,解決問題的辦法有二:一要連結(jié)線段,構(gòu)成三角形,然后運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理;二是過“拐點(diǎn)”作平行線將一個(gè)角分成兩個(gè)角,然后再運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理,問題便自然得到解決,但解本題時(shí),還要注意找準(zhǔn)“內(nèi)錯(cuò)角”,否則容易出
7、錯(cuò)!
練習(xí)3:1.圖8,直線a∥b,則∠ACB =_______.
2.如圖9,已知AB∥CD,從圖中可發(fā)現(xiàn)∠B+∠E+∠D=3600,
你知道為什么嗎?應(yīng)用你所學(xué)的知識來說明.
圖9
答案:1:780;
2:本題解法有多種,只要作出平行線即可請同學(xué)們自己思考.
四、操作畫圖型
例4.(2005年河北?。┮粚W(xué)員在廣場上練習(xí)駕駛汽車,兩次拐彎后,行駛的方向與原來的方向相同,這兩次拐彎的角度可能是( )
(A)第一次向左拐300,第二次向右拐300 (B)第一次向右拐500,第二次向左拐1300
(C)第一次向右拐500,第二次向右拐1300 (D)第一次向左拐50
8、0,第二次向左拐1300
D
500
1300
B
A
300
300
1300
500
分析:解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地畫出示意圖,如圖10:
C
1300
500
圖10
答案:應(yīng)選(A)
點(diǎn)評:本題單純從文字方面去分析,很難判斷出結(jié)果,若畫出上述圖形來分析,結(jié)果
是顯然的,本題屬于操作畫圖型中考題.
練習(xí)4:1.兩條直線相交于一點(diǎn),有多少對不同的對頂角?三條直線相交于一點(diǎn),有多少對不同的對頂角?三條直線相交于一點(diǎn),有多少對不同的對頂角?試根據(jù)此規(guī)律,歸納n條直線相交于一點(diǎn),有多少對不同的對頂角?
答案:.
B
A
C
圖11
B
9、A
C
E
F
G
H
D
圖12
2.如圖11,要在長方形木板上截一個(gè)平行四邊形,使它的一組對邊在長方形木板的邊緣上,另一組對邊中的一條邊為AB,請用尺規(guī)作圖,過點(diǎn)C畫出與AB平行的另?xiàng)l邊.
提示:要在長方形木板上截一個(gè)平行四邊形,
只要保證過點(diǎn)C畫出與AB平行的另?xiàng)l線段即可,
要過點(diǎn)C畫出與AB平行線,可以利用“同位角相等,
兩直線平行”來作(如圖12).
五、分類討論型
例5.(2005年滕州市)已知平面內(nèi)四條直線共有三個(gè)交點(diǎn),則這四條直線中最多有幾條平行線?
分析:若四條直線兩兩不相交,則此時(shí)四條直線相互平行,且沒有交點(diǎn);
若四條直線中有三條直線相互平行
10、,則此時(shí)恰好有三個(gè)交點(diǎn);
若四條直線中有兩條直線相互平行,另兩條不平行,則此時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)或五個(gè)交點(diǎn);
若四條直線中有兩條直線相互平行,另兩條也平行,但它們之間相互不平行,則此時(shí)有四個(gè)交點(diǎn);
若四條直線中沒有平行線,則此時(shí)的交點(diǎn)是一個(gè)或四個(gè)或六個(gè).
綜上,這四條直線中共有三條平行線.
點(diǎn)評:本題只要是考查對平行線的定義、分類討論的思想方法的理解和運(yùn)用能力以及畫圖分析的能力.
練習(xí)5:地面上有10條公路(假設(shè)公路是筆直的,并且可以無限延伸),無任何三條公路交于同一個(gè)岔口,現(xiàn)有31位交警剛好每系滿足每個(gè)岔口有且只有一位交警執(zhí)勤,請你畫出公路的示意圖.
提示:把公路抽象成10條直線,岔口
11、抽象成點(diǎn),由交警的人數(shù)及題意可知這10條直線剛好有31個(gè)交點(diǎn),而平面上的10條直線,若兩兩相交,最多可出現(xiàn)45個(gè)交點(diǎn),按題目要求只出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn),即要減少14個(gè)交點(diǎn),通常有如下兩種方法:(1)多條直線共點(diǎn);(2)出現(xiàn)平行線.但(1)不符合題意,故考慮方法(2),若在同一方向上有5條直線互相平行,則可減少10個(gè)交點(diǎn),若有6條直線平行,則可減少15個(gè)交點(diǎn),故在這個(gè)方向上最多可取5條平行線,這時(shí)還需要減去4個(gè)點(diǎn),轉(zhuǎn)一個(gè)方向取3條平行線,即可減少3個(gè)交點(diǎn),這時(shí)還剩下2條直線和一個(gè)需要減去的點(diǎn),只需讓其在第三個(gè)方向上互相平行,請同學(xué)們動手畫出圖來.
六、開放創(chuàng)新型
主要考察學(xué)生的探究能力,常以解答題
12、為主要題型.
例6.(2005年棗莊市)如圖13,E在直線DF上,B在直線AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D,試判斷∠A與∠F的關(guān)系,并說明理由.
分析:從圖中可以猜測∠A=∠F,但題目沒有告訴DF∥AC,所以需要根據(jù)已知條件說明DF∥AC.
A
B
C
D
E
F
G
H
圖13
解:∠A=∠F.理由:
因?yàn)椤螦GB=∠DGF,∠AGB=∠EHF,
所以∠DGF=∠EHF,所以BD∥CE,
所以∠C=∠ABD,又∠C=∠D,
所以∠D=∠ABD,所以DF∥AC,所以∠A=∠F.
例7.有三條直線a,b,c,且①a∥b,②b∥c③a∥c,④a⊥b,⑤b⊥c,⑥a⊥c中總有成立的,請你寫出盡可能多的正確結(jié)論.
分析:此題屬于條件、結(jié)論全開放的題目,由給出的這些條件讓同學(xué)們自己組裝正確的
點(diǎn)評:例6,例7主要對學(xué)生的分析、探究、綜合、發(fā)散等創(chuàng)新思維能力的考查,學(xué)生必須具有一定的歸納、探索及思考能力才能順利解決問題.
練習(xí)6:(2005年日照市)在同一平面上,1條直線把一個(gè)平面分成=2個(gè)部分,
2條直線把一個(gè)平面最多分成=4個(gè)部分,3條直線把一個(gè)平面最多分成=7個(gè)部分,那么8條直線把一個(gè)平面最多分成 部分.
答案:=40