北師大版八年級數(shù)學下冊全冊教案 第二章 分解因式

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1、 第二章 分解因式 2.1 分解因式 一、教學目標 讓學生了解多項式公因式的意義,初步會用提公因式法分解因式. 二、教學過程 一塊場地由三個矩形組成,這些矩形的長分別為,,,寬都是,求這塊場地的面積. 解法一:S= + + =++=2 解法二:S= + + = ( ++)=4=2 1.公因式與提公因式法分解因式的概念. 把多項式ma+mb+mc寫成m與(a+b+c)的乘積的形式,相當于把公因式m從各項中提出來,作為多項式ma+mb+mc的一個因式,把m從多項式ma+mb+mc各項中提出后形成的多項式(a+b+c),作為多項式ma+mb+mc的另一個因式,這種分解因

2、式的方法叫做提公因式法. 2.例題講解 [例1]將下列各式分解因式: (1)3x+6; (2)7x2-21x; (3)8a3b2-12ab3c+abc (4)-24x3-12x2+28x. 分析:首先要找出各項的公因式,然后再提取出來. 解:(1)3x+6=3x+32=3(x+2); (2)7x2-21x=7xx-7x3=7x(x-3); (3)8a3b2-12ab3c+abc =8a2bab-12b2cab+abc =ab(8a2b-12b2c+c) (4)-24x3-12x2+28x =-4x(6x2+3x-7) 三、課堂練習 1.寫出下列多項式各項的公因式

3、. (1)ma+mb (m) (2)4kx-8ky (4k) (3)5y3+20y2 (5y2) (4)a2b-2ab2+ab (ab) 2.把下列各式分解因式 (1)8x-72=8(x-9) (2)a2b-5ab=ab(a-5) (3)4m3-6m2=2m2(2m-3) (4)a2b-5ab+9b=b(a2-5a+9) (5)-a2+ab-ac=-(a2-ab+ac)=-a(a-b+c) 2 / 17 (6)-2x3+4x2-2x=-(2x3-4x2+2x)=-2x(x2-2x+1) 四、課后作業(yè) 1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2); (2)

4、8m2n+2mn=2mn(4m+1); (3)a2x2y-axy2=axy(ax-y); (4)3x3-3x2-9x=3x(x2-x-3); (5)-24x2y-12xy2+28y3 =-(24x2y+12xy2-28y3) =-4y(6x2+3xy-7y2); (6)-4a3b3+6a2b-2ab =-(4a3b3-6a2b+2ab) =-2ab(2a2b2-3a+1); (7)-2x2-12xy2+8xy3 =-(2x2+12xy2-8xy3) =-2x(x+6y2-4y3); (8)-3ma3+6ma2-12ma =-(3ma3-6ma2+12ma) =-3m

5、a(a2-2a+4); 2.利用因式分解進行計算 (1)1210.13+12.10.9-121.21 =12.11.3+12.10.9-1.212.1 =12.1(1.3+0.9-1.2) =12.11=12.1 (2)2.3413.2+0.6613.2-26.4 =13.2(2.34+0.66-2) =13.21=13.2 (3)當R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14時 πR12+πR22+πR32 =π(R12+R22+R32) =3.14(202+162+122) =2512 2.2 提公因式法 一、教學目標 讓學生了解多項式公因式的意義,初

6、步會用提公因式法分解因式. 例1 把a(x-3)+2b(x-3)分解因式. 分析:這個多項式整體而言可分為兩大項,即a(x-3)與2b(x-3),每項中都含有(x-3),因此可以把(x-3)作為公因式提出來. 解:a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b) [例2]把下列各式分解因式: (1)a(x-y)+b(y-x); (2)6(m-n)3-12(n-m)2. 分析:雖然a(x-y)與b(y-x)看上去沒有公因式,但仔細觀察可以看出(x-y)與(y-x)是互為相反數(shù),如果把其中一個提取一個“-”號,則可以出現(xiàn)公因式,如y-x=-( x-y).(m-n)3與

7、(n-m)2也是如此. 解:(1)a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b) (2)6(m-n)3-12(n-m)2 =6(m-n)3-12[-(m-n)]2 =6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2). 二、做一做 請在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“-”號,使等式成立: (1)2-a=__________(a-2); (2)y-x=__________(x-y); (3)b+a=__________(a+b); (4)(b-a)2=__________(a-b)2; (5)-m-n=______

8、____-(m+n); (6)-s2+t2=__________(s2-t2). 解:(1)2-a=-(a-2); (2)y-x=-(x-y); (3)b+a=+(a+b); (4)(b-a)2=+(a-b)2; (5)-m-n=-(m+n); (6)-s2+t2=-(s2-t2). 三、課堂練習 把下列各式分解因式: 解:(1)x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y); (2)3a(x-y)-(x-y) =(x-y)(3a-1); (3)6(p+q)2-12(q+p) =6(p+q)2-12(p+q) =6(p+q)(p+q-2); (4)a(m-

9、2)+b(2-m) =a(m-2)-b(m-2) =(m-2)(a-b); (5)2(y-x)2+3(x-y) =2[-(x-y)]2+3(x-y) =2(x-y)2+3(x-y) =(x-y)(2x-2y+3); (6)mn(m-n)-m(n-m)2 =mn(m-n)-m(m-n)2 =m(m-n)[n-(m-n)] =m(m-n)(2n-m). 補充練習 把下列各式分解因式 解:1.5(x-y)3+10(y-x)2 =5(x-y)3+10(x-y)2 =5(x-y)2[(x-y)+2] =5(x-y)2(x-y+2); 2. m(a-b)-n(b-

10、a) =m(a-b)+n(a-b) =(a-b)(m+n); 3. m(m-n)+n(n-m) =m(m-n)-n(m-n) =(m-n)(m-n)=(m-n)2; 4. m(m-n)(p-q)-n(n-m)(p-q) = m(m-n)(p-q)+n(m-n)(p-q) =(m-n)(p-q)(m +n); 5.(b-a)2+a(a-b)+b(b-a) =(b-a)2-a(b-a)+b(b-a) =(b-a)[(b-a)-a+b] =(b-a)(b-a-a+b) =(b-a)(2b-2a) =2(b-a)(b-a) =2(b-a)2 2.3運用公式法(一)

11、 一、教學目標 1.使學生了解運用公式法分解因式的意義; 2.使學生掌握用平方差公式分解因式. 3.使學生了解,提公因式法是分解因式的首先考慮的方法,再考慮用平方差公式分解因式. 二、教學過程 1.請看乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (1) 左邊是整式乘法,右邊是一個多項式,把這個等式反過來就是 a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 左邊是一個多項式,右邊是整式的乘積. 利用平方差公式進行的因式分解.第(1)個等式可以看作是整式乘法中的平方差公式,第(2)個等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式講解 觀察式子a2

12、-b2,找出它的特點. 答:是一個二項式,每項都可以化成整式的平方,整體來看是兩個整式的平方差. 如果一個二項式,它能夠化成兩個整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成兩個整式的和與差的積. 如x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4). 9 m 2-4n2=(3 m )2-(2n)2 =(3 m +2n)(3 m -2n) 3.例題講解 [例1]把下列各式分解因式: (1)25-16x2; (2)9a2-b2. 解:(1)25-16x2=52-(4x)2 =(5+4x)(5-4x); (2)9a2- b2=(3a)2-(b)2 =(3a+b)(

13、3a-b). [例2]把下列各式分解因式: (1)9(m+n)2-(m-n)2; (2)2x3-8x. 解:(1)9(m +n)2-(m-n)2 =[3(m +n)]2-(m-n)2 =[3(m +n)+(m-n)][3(m +n)-(m-n)] =(3 m +3n+ m-n)(3 m +3n-m +n) =(4 m +2n)(2 m +4n) =4(2 m +n)(m +2n) (2)2x3-8x=2x(x2-4) =2x(x+2)(x-2) 說明:例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方,利用平方差公式分解因式;例2的(1)是把一個二項式化成兩個多項式的平方

14、差,然后用平方差公式分解因式,例2的(2)是先提公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,當一個題中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式時,首先要考慮提公因式法,再考慮公式法. 三、課堂練習 1.判斷正誤 解:(1)x2+y2=(x+y)(x-y); () (2)x2-y2=(x+y)(x-y); (√) (3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y); () (4)-x2-y2=-(x+y)(x-y). () 2.把下列各式分解因式 解:(1)a2b2-m2 =(ab)2-m 2 =

15、(ab+ m)(ab-m); (2)(m-a)2-(n+b)2 =[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)] =(m-a+n+b)(m-a-n-b); (3)x2-(a+b-c)2 =[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)] =(x+a+b-c)(x-a-b+c); (4)-16x4+81y4 =(9y2)2-(4x2)2 =(9y2+4x2)(9y2-4x2) =(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x) 3.解:S剩余=a2-4b2. 當a=3.6,b=0.8時, S剩余=3.62-40.82=3.62-1.62=5.22=10.4(cm

16、2) 答:剩余部分的面積為10.4 cm2. 四、課后作業(yè) 1.解:(1)a2-81=(a+9)(a-9); (2)36-x2=(6+x)(6-x); (3)1-16b2=1-(4b)2=(1+4b)(1-4b); (4)m 2-9n2=(m +3n)(m-3n); (5)0.25q2-121p2 =(0.5q+11p)(0.5q-11p); (6)169x2-4y2=(13x+2y)(13x-2y); (7)9a2p2-b2q2 =(3ap+bq)(3ap-bq); (8)a2-x2y2=(a+xy)( a-xy); 2.解:(1)(m+n)2-n2=(m +n+

17、n)(m +n-n)= m(m +2n); (2)49(a-b)2-16(a+b)2 =[7(a-b)]2-[4(a+b)]2 =[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)] =(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b) =(11a-3b)(3a-11b); (3)(2x+y)2-(x+2y)2 =[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)] =(3x+3y)(x-y) =3(x+y)(x-y); (4)(x2+y2)-x2y2 =(x2+y2+xy)(x2+y2-xy); (5)3ax2-3ay4=3a(x2-y4) =3a

18、(x+y2)(x-y2) (6)p4-1=(p2+1)(p2-1) =(p2+1)(p+1)(p-1). 3.解:S環(huán)形=πR2-πr2=π(R2-r2) =π(R+r)(R-r) 當R=8.45,r=3.45,π=3.14時, S環(huán)形=3.14(8.45+3.45)(8.45-3.45)=3.1411.95=186.83(cm2) 答:兩圓所圍成的環(huán)形的面積為186.83 cm2. Ⅵ.活動與探究 把(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc分解因式 解:(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc =[a+(b+c)][bc+a(b+c)]-abc =abc+

19、a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2-abc =a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2 =(b+c)[a2+bc+a(b+c)] =(b+c)[a2+bc+ab+ac] =(b+c)[a(a+b)+c(a+b)] =(b+c)(a+b)(a+c) 運用公式法(二) 一、教學目標 1.使學生會用完全平方公式分解因式. 2.使學生學習多步驟,多方法的分解因式. 二、教學過程 在前面我們不僅學習了平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 而且還學習了完全平方公式 (ab)2=a22ab+b2 三、新課 判斷一個多項式是否為完全平方式,要考慮三個條

20、件,項數(shù)是三項;其中有兩項同號且能寫成兩個數(shù)或式的平方;另一項是這兩數(shù)或式乘積的2倍. 1.例題講解 [例1]把下列完全平方式分解因式: (1)x2+14x+49; (2)(m+n)2-6(m +n)+9. [師]分析:大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式,然后再根據(jù)公式分解因式.公式中的a,b可以是單項式,也可以是多項式. 解:(1)x2+14x+49=x2+27x+72=(x+7)2 (2)(m +n)2-6(m +n)+9=(m +n)2-2(m +n)3+32=[(m +n)-3]2=(m +n-3)2. [例2]把下列各式分解因式: (1)3ax2+6axy

21、+3ay2; (2)-x2-4y2+4xy. [師]分析:對一個三項式,如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時,要仔細觀察它是否有公因式,若有公因式應先提取公因式,再考慮用完全平方公式分解因式. 如果三項中有兩項能寫成兩數(shù)或式的平方,但符號不是“+”號時,可以先提取“-”號,然后再用完全平方公式分解因式. 解:(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 (2)-x2-4y2+4xy =-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2x2y+(2y)2] =-(x-2y)2 四、課堂練習 1.(1)是完全平方式 x2-x+=x

22、2-2x+()2=(x-)2 (2)不是完全平方式,因為3ab不符合要求. (3)是完全平方式 m2+3 m n+9n2 =( m)2+2 m3n+(3n)2 =( m +3n)2 (4)不是完全平方式 2.(1)x2-12xy+36y2 =x2-2x6y+(6y)2 =(x-6y)2; (2)16a4+24a2b2+9b4 =(4a2)2+24a23b2+(3b2)2 =(4a2+3b2)2 (3)-2xy-x2-y2 =-(x2+2xy+y2) =-(x+y)2; (4)4-12(x-y)+9(x-y)2 =22-223(x-y)+[3(x-y)]2 =

23、[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2 五、課后作業(yè) 1.(1)x2y2-2xy+1=(xy-1)2; (2)9-12t+4t2=(3-2t)2; (3)y2+y+=(y+)2; (4)25m2-80 m +64=(5 m-8)2; (5)+xy+y2=(+y)2; (6)a2b2-4ab+4=(ab-2)2 2.(1)(x+y)2+6(x+y)+9 =[(x+y)+3]2 =(x+y+3)2; (2)a2-2a(b+c)+(b+c)2 =[a-(b+c)]2 =(a-b-c)2; (3)4xy2-4x2y-y3 =y(4xy-4x2-y2) =-y(4x2-4xy+y2) =-y(2x-y)2; (4)-a+2a2-a3 =-(a-2a2+a3) =-a(1-2a+a2) =-a(1-a)2. 3.設兩個奇數(shù)分別為x、x-2,得 x2-(x-2)2 =[x+(x-2)][x-(x-2)] =(x+x-2)(x-x+2) =2(2x-2) =4(x-1) l 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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