考研概率論復習

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1、二維隨機變量及概率分布 一、 二維隨機變量的聯(lián)合概率分布表示 (一). 二維隨機變量的聯(lián)合概率分布函數(shù) 1. 概念 設(shè)為一個二維隨機變量，為任兩個實數(shù)，則稱 為的聯(lián)合概率分布函數(shù)。 2. 性質(zhì) (1). (2). 關(guān)于或單調(diào)遞增 (3). ， (4). 關(guān)于或右連續(xù)， 即，。 (5). 對于任意4個實數(shù)，其中，均有 如有滿足(1) ～ (5)，則一定可成為某一個二維隨機變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)。 例：問，能否作為某二維隨機變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)？ 解：取， 因，不能 (二). 二維離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布表 1.概念 設(shè)為一個二維隨

2、機變量，且的取值僅有有限對數(shù)或可列對數(shù)，則稱為二維離散型隨機變量。 二維離散型隨機變量可用聯(lián)合概率分布表或聯(lián)合概率分布列表示。 … … … … … … … … … … … … … … … … … … ～ 或～ 2.性質(zhì) (1). (2). (三). 二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù) 1.概念 設(shè)為一個二維隨機變量，為一非負函數(shù)，若對任意實數(shù) 其中，事件的概率 ， 則稱為二維連續(xù)型隨機變量，稱為的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

3、 2.性質(zhì) (1). (2). 3. 二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)與聯(lián)合概率分布函數(shù)的關(guān)系 若的概率分布函數(shù)為，的概率密度函數(shù)為，則 (1). (2). 4. 設(shè)的概率密度為， 若 具有唯一的反函數(shù)， 且，，，都有一階連續(xù)偏導數(shù)，記 ，, 則設(shè)的概率密度為 = 例：設(shè)二維隨機變量～,問時，獨立？ 解：，且，所以～二維正態(tài)分布，因此 獨立等價于不相關(guān)，從而等價于Cov=0 Cov =Cov= Cov- Cov = Cov- ， 二、 二維隨機變量的邊緣概率分布表示

4、 (一). 二維隨機變量的邊緣概率分布函數(shù) 若～，則～，～。 (二). 二維離散型隨機變量的邊緣概率分布表 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 若～ 或～ 則～ ～ (三). 二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度函數(shù) 若～，則～，～。 三、 兩個隨機變量的獨立性的判斷 1．若的聯(lián)合概率分布函數(shù)為，邊緣概率分布函數(shù)分別為，，則相互獨立的充要條件為：=。 2. 若的聯(lián)合概率分布列為 邊緣概率分布列為 ～ ～ 則相互獨立

5、的充要條件為： 3. 若的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，邊緣概率密度函數(shù)分別為，，則相互獨立的充要條件為：=。 四. 常用的二維隨機變量 1. 二維均勻分布 ～， 的概率密度函數(shù)為， 2. 二維正態(tài)分布 (1). ～， 的概率密度函數(shù)為 = (2).若～，則～，～。 五．條件概率分布 例1. 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 求(1). 條件概率密度函數(shù)，(2). 條件概率 解：(1). 的密度函數(shù)為 ～， 當，=， 當時，， 所以～， 所以，當時， (2). 的密度函數(shù)為 ～， 例2. 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ， 求(1).

6、，(2).條件概率密度函數(shù) 解： (1). 的密度函數(shù)為 ～ 又， 所以 (2). 六實例 例1. 設(shè)隨機變量和的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布，試求隨機變量的概率密度。 解： 據(jù)題意，～。 先求的概率分布函數(shù)。顯然，所以 (1).，， (2).， (3).， ，所以。 例2. 設(shè)隨機變量～，，且滿足，求。 解：先求的聯(lián)合概率分布列 -1 0 1 -1 0.25 0 0.5 1 0.25 0.25 0.5 0.25 因 -1 0 1 -1 0

7、 0 0.25 0 0.5 1 0 0 0.25 0.25 0.5 0.25 由聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系得 -1 0 1 -1 0 0.25 0 0.25 0 0.25 0 0.25 0.5 1 0 0.25 0 0.25 0.25 0.5 0.25 所以。 例3. 設(shè)隨機變量和的聯(lián)合分布是矩形上的均勻分布，試求以為邊長的矩形面積的概率密度。 解： 據(jù)題意，～。 先求的概率分布函數(shù)。顯然，所以 (1).，， (2).， (3).， ， 所以。 例4. 設(shè)二維隨機變

8、量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 (1). 求隨機變量的概率密度函數(shù) (2). 求概率。 解： 據(jù)題意，～。 先求的概率分布函數(shù)。顯然，所以 (1).，， (2).， (3).， ，所以。 例5. 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 求隨機變量的概率分布函數(shù)。 解： ， (1).或， (2).， (3).且， (4).且， (5). ， 例6.設(shè)一電路裝有三個同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，當三個電器元件都無故障時，電路正常工作，否則電路不能正常工作，求電路正常工作的時間的概率分布。 解： 以表示第個電器元件無故

9、障工作的時間，則 相互獨立,其分布函數(shù)均為 且 的概率分布函數(shù)為 (1).，=0 (2).， = 故～。 例7.已知隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù) 求隨機變量的概率密度函數(shù)。 解：～ (1). ，=0 (2).， ， 所以當，= 所以 ～ 利用卷積公式也可做： 已知隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù) 則的概率密度函數(shù) ，或 推導： ～ 令，所以 所以。 另解：利用卷積公式， ，，即，， 所以當時， 。 例8.已知隨機變量在單位圓內(nèi)服從均勻分布，研究是否獨立？ 解： 的聯(lián)合概率密度函數(shù) ～， 當或時，=， 當時

10、，， 所以～， 同理 ～ 因，所以不獨立！ 例9.已知隨機變量獨立，且～，～，記為隨機變量的分布函數(shù)，求的間斷點的個數(shù)。 解： (1).時， (2).時，， (3).時，， 可見僅在處間斷，僅1個間斷點. 例10.袋中有1個紅球，2個黑球，3個白球，現(xiàn)有放回地從袋中取2個，以表示兩次所取得的紅球，黑球，白球的個數(shù)，求 (1). (2).的分布 解：(1). (2). 例11. 設(shè)隨機變量相互獨立，～，， ～ 記 求(1). 求 (2). 的概

11、率密度函數(shù)。 解： (1). . (2). 的概率分布函數(shù) ～ = 當，=0 當， 。 當， 當， 當， 所以～ ～。 例12.設(shè)二維隨機變量的概率密度為 (1) 求的邊緣概率分布，。 (2) 求的概率分布。 (3) 解： (1) （2） (3) 例13.. 設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，在的條件下，隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布， 求：（1）二維隨機變量的聯(lián)合概率分布；（2）的概率密度；(3) 概率 解：(1)的概率密度為 在的條件下， 的概率密度為， 當時，二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為 ， 在其余各點 所以 （2）當時， 的概率密度為， 當時， (3) 概率=