2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題（二）導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修

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1、 3．3.2　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題(二) 課時(shí)目標(biāo) 1．準(zhǔn)確利用線性規(guī)劃知識(shí)求解目標(biāo)函數(shù)的最值． 2．掌握線性規(guī)劃實(shí)際問題中的兩種常見類型． 1．用圖解法解線性規(guī)劃問題的步驟： (1)分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格； (2)確定線性約束條件； (3)確定線性目標(biāo)函數(shù)； (4)畫出可行域； (5)利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解； 根據(jù)實(shí)際問題的需要，適當(dāng)調(diào)整最優(yōu)解(如整數(shù)解等)． 2．在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的

2、人力、物力資源最小． 一、選擇題 1．某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a1、b1千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a2、b2千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為d1、d2元．月初一次性購進(jìn)本月用的原料A、B各c1、c2千克，要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大．在這個(gè)問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x千克、y千克，月利潤(rùn)總額為z元，那么，用于求使總利潤(rùn)z＝d1x＋d2y最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 答案　C 解析　比較選項(xiàng)可知C正

3、確． 2. 如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界)，若使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則a的值為(　　) A. B. C．4 D. 答案　B 解析　由y＝－ax＋z知當(dāng)－a＝kAC時(shí)，最優(yōu)解有無窮多個(gè)．∵kAC＝－，∴a＝. 3．某公司有60萬元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤(rùn)，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤(rùn)為(　　)

4、A．36萬元 B．31.2萬元 C．30.4萬元 D．24萬元 1 / 7 答案　B 解析　設(shè)投資甲項(xiàng)目x萬元，投資乙項(xiàng)目y萬元， 可獲得利潤(rùn)為z萬元，則 z＝0.4x＋0.6y. 由圖象知， 目標(biāo)函數(shù)z＝0.4x＋0.6y在A點(diǎn)取得最大值． ∴ymax＝0.424＋0.636＝31.2(萬元)． 4．某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)，可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)，可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每

5、天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為(　　) A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱 C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱 D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱 答案　B 解析　設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，由題意可知 甲、乙兩車間每天總獲利為z＝280x＋200y. 畫出可行域如圖所示． 點(diǎn)M(15,55)為直線x＋y＝70和直線10x＋6y＝480的交點(diǎn)，由圖象知在點(diǎn)M(15,55)處z取得最大值

6、． 5．如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z＝kx－y的可行域?yàn)樗倪呅蜲ABC，點(diǎn)B(3,2)是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，則k的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　y＝kx－z.若k>0，則目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是點(diǎn)A(4,0)或點(diǎn)C(0，4)，不符合題意． ∴k<0，∵點(diǎn)(3,2)是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解． ∴kAB≤k≤kBC，即－2≤k≤－. 二、填空題 6．某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為2

7、00元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為________元． 答案　2 300 解析　設(shè)需租賃甲種設(shè)備x臺(tái)，乙種設(shè)備y臺(tái)，則 目標(biāo)函數(shù)為z＝200x＋300y. 作出其可行域，易知當(dāng)x＝4，y＝5時(shí)，z＝200x＋300y有最小值2 300元． 7．某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件則 z＝10x＋10y的最大值是________． 答案　90 解析　 該不等式組表示平面區(qū)域如圖陰影所示，由于x，y∈N*，計(jì)算區(qū)域內(nèi)與點(diǎn)最近的整點(diǎn)為(5,4)，當(dāng)x＝5，y＝4時(shí)，z取得最大值為90.

8、8．某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，按計(jì)劃每天各生產(chǎn)不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸需煤9噸，電力4千瓦，勞動(dòng)力3個(gè)(按工作日計(jì)算)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸需煤4噸，電力5千瓦，勞動(dòng)力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸價(jià)7萬元，乙產(chǎn)品每噸價(jià)12萬元；但每天用煤量不得超過300噸，電力不得超過200千瓦，勞動(dòng)力只有300個(gè)，當(dāng)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品________噸，乙產(chǎn)品______噸時(shí)，既能保證完成生產(chǎn)任務(wù)，又能使工廠每天的利潤(rùn)最大． 答案　20　24 解析　 設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，總利潤(rùn)為S萬元， 依題意約束條件為： 目標(biāo)函數(shù)為S＝7x＋12y. 從圖中可以看出，當(dāng)直線S＝7x＋12y經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，

9、直線的縱截距最大，所以S也取最大值． 解方程組 得A(20,24)，故當(dāng)x＝20，y＝24時(shí)， Smax＝720＋1224＝428(萬元)． 三、解答題 9．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐．甲種原料每10 g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價(jià)3元；乙種原料每 10 g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價(jià)2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)．試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費(fèi)用最??？ 解　將已知數(shù)據(jù)列成下表： 原料/10 g 蛋白質(zhì)/單位 鐵質(zhì)/單位 甲 5 10 乙 7 4 費(fèi)用 3 2 設(shè)甲、乙兩種原料分

10、別用10x g和10y g，總費(fèi)用為z，那么 目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋2y，作出可行域如圖所示： 把z＝3x＋2y變形為y＝－x＋，得到斜率為－，在y軸上的截距為，隨z變化的一族平行直線． 由圖可知，當(dāng)直線y＝－x＋經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z最?。? 由得A(，3)， ∴zmin＝3＋23＝14.4. ∴甲種原料10＝28(g)，乙種原料310＝30(g)，費(fèi)用最?。? 10．某家具廠有方木料90 m3，五合板600 m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一張方桌可獲利

11、潤(rùn)80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元． (1)如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤(rùn)多少？ (2)如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤(rùn)多少？ (3)怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？ 解　由題意可畫表格如下： 方木料(m3) 五合板(m2) 利潤(rùn)(元) 書桌(個(gè)) 0.1 2 80 書櫥(個(gè)) 0.2 1 120 (1)設(shè)只生產(chǎn)書桌x個(gè)，可獲得利潤(rùn)z元， 則??x≤300. 所以當(dāng)x＝300時(shí)，zmax＝80300＝24 000(元)， 即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤(rùn)24 000元． (2)設(shè)只生產(chǎn)書櫥y個(gè)，可獲利潤(rùn)z元， 則??y≤450.

12、 所以當(dāng)y＝450時(shí)，zmax＝120450＝54 000(元)， 即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個(gè)書櫥，獲得利潤(rùn)54 000元． (3)設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個(gè)，利潤(rùn)總額為z元，則? z＝80x＋120y. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域． 作直線l：80x＋120y＝0，即直線l：2x＋3y＝0. 把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，此時(shí)z＝80x＋120y取得最大值． 由解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,400)． 所以當(dāng)x＝100，y＝400時(shí)， zmax＝80100＋120400＝56 000(元)

13、． 因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個(gè)， 可使所得利潤(rùn)最大． 能力提升 11．在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界)，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a的一個(gè)可能值為(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 答案　A 解析　當(dāng)a＝0時(shí)，z＝x.僅在直線x＝z過點(diǎn)A(1,1)時(shí)， z有最小值1，與題意不符． 當(dāng)a>0時(shí)，y＝－x＋. 斜率k＝－<0， 僅在直線z＝x＋ay過點(diǎn)A(1,1)時(shí)， 直線在y軸的截距最小，此時(shí)z也最小， 與目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)矛盾． 當(dāng)a<0時(shí)，y＝－x＋，

14、斜率k＝－>0， 為使目標(biāo)函數(shù)z取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，當(dāng)且僅當(dāng)斜率－＝kAC.即－＝，∴a＝－3. 12．要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示： A規(guī)格 B規(guī)格 C規(guī)格 第一種鋼板 2 1 1 第二種鋼板 1 2 3 今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別至少為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？ 解　設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張． . 作出可行域(如圖)：(陰影部分) 目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋y. 作出一組平行直線x＋

15、y＝t，其中經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線，經(jīng)過直線x＋3y＝27和直線2x＋y＝15的交點(diǎn)A，直線方程為x＋y＝.由于和都不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中，x，y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)點(diǎn)不是最優(yōu)解． 經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x＋y＝12，經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8)，它們都是最優(yōu)解． 答　要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種：第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張．兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張． 1．畫圖對(duì)解決線性規(guī)劃問題至關(guān)重要，關(guān)鍵步驟基本上是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能準(zhǔn)確，圖上操作盡可能規(guī)范． 2．在實(shí)際應(yīng)用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整數(shù)解(比如人數(shù)、車輛數(shù)等)而直接根據(jù)約束條件得到的不一定是整數(shù)解，可以運(yùn)用枚舉法驗(yàn)證求最優(yōu)整數(shù)解，或者運(yùn)用平移直線求最優(yōu)整數(shù)解．最優(yōu)整數(shù)解有時(shí)并非只有一個(gè)，應(yīng)具體情況具體分析． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！