2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 §1.2應(yīng)用舉例(二)導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修

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1、 1.2　應(yīng)用舉例(二) 課時(shí)目標(biāo) 1．利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)高度的問(wèn)題． 2．利用正、余弦定理及三角形面積公式解決三角形中的幾何度量問(wèn)題． 1．仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平線下方時(shí)叫俯角．(如圖所示) 2．已知△ABC的兩邊a、b及其夾角C，則△ABC的面積為absin C. 一、選擇題 1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關(guān)系為(　　) A．α>β B．α＝β C．α<β

2、 D．α＋β＝90 答案　B 2．設(shè)甲、乙兩樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是(　　) A．20 m， m B．10 m,20 m C．10(－) m,20 m D. m， m 答案　A 解析　h甲＝20tan 60＝20(m)． h乙＝20tan 60－20tan 30＝(m)． 3．如圖，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取A、B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得望樹(shù)尖的仰角為30，45，且A、B兩點(diǎn)之間的距離為60 m，則樹(shù)的高度為(　　) A．30＋30 m

3、 B．30＋15m C．15＋30m D．15＋3m 答案　A 解析　在△PAB中，由正弦定理可得 ＝， 1 / 6 PB＝＝， h＝PBsin 45＝(30＋30)m. 4．從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30，看正南方向一只船俯角為45，則此時(shí)兩船間的距離為(　　) A．2h米 B.h米 C.h米 D．2h米 答案　A 解析　如圖所示， BC＝h，AC＝h， ∴AB＝＝2h. 5．在某個(gè)位置

4、測(cè)得某山峰仰角為θ，對(duì)著山峰在平行地面上前進(jìn)600 m后測(cè)仰角為原來(lái)的2倍，繼續(xù)在平行地面上前進(jìn)200 m后，測(cè)得山峰的仰角為原來(lái)的4倍，則該山峰的高度是(　　) A．200 m B．300 m C．400 m D．100 m 答案　B 解析　如圖所示，600sin 2θ＝200sin 4θ， ∴cos 2θ＝，∴θ＝15， ∴h＝200sin 4θ＝300 (m)． 6．平行四邊形中，AC＝，BD＝，周長(zhǎng)為18，則平行四邊形面積是(　　) A．16 B．17.5 C．18

5、D．18.53 答案　A 解析　設(shè)兩鄰邊AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α， 則a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17， a2＋b2－2abcos(180－α)＝65. 解得：a＝5，b＝4，cos α＝或a＝4，b＝5，cos α＝， ∴S?ABCD＝ab sin α＝16. 二、填空題 7．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，則甲船應(yīng)取方向__________才能追上乙船；追上時(shí)甲船行駛了________海里． 答案　北偏東30　a 解析　 如圖所示，設(shè)到C點(diǎn)甲船追上乙船， 乙到C地

6、用的時(shí)間為t，乙船速度為v， 則BC＝tv，AC＝tv，B＝120， 由正弦定理知＝， ∴＝， ∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30，∴∠ACB＝30， ∴BC＝AB＝a， ∴AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos 120 ＝a2＋a2－2a2＝3a2，∴AC＝a. 8．△ABC中，已知A＝60，AB∶AC＝8∶5，面積為10，則其周長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　20 解析　設(shè)AB＝8k，AC＝5k，k>0，則 S＝ABACsin A＝10k2＝10. ∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos A ＝82＋52－285＝

7、49. ∴BC＝7，∴周長(zhǎng)為：AB＋BC＋CA＝20. 9．已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，一腰長(zhǎng)為12，則它的內(nèi)切圓面積為_(kāi)_______． 答案　 解析　不妨設(shè)三角形三邊為a，b，c且a＝6，b＝c＝12， 由余弦定理得： cos A＝＝＝， ∴sin A＝ ＝. 由(a＋b＋c)r＝bcsin A得r＝. ∴S內(nèi)切圓＝πr2＝. 10．某艦艇在A處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45，距離為10 n mile的C處，此時(shí)得知，該漁船沿北偏東105方向，以每小時(shí)9 n mile的速度向一小島靠近，艦艇時(shí)速21 n mile，則艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是______小時(shí)． 答案　 解析

8、　設(shè)艦艇和漁船在B處相遇，則在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120，設(shè)艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間為t，則AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，則(21t)2＝(9t)2＋100－2109tcos 120， 解得t＝或t＝－(舍)． 三、解答題 11．如圖所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測(cè)得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD. 解　在△ABC中，∠BCA＝90＋β， ∠ABC＝90－α， ∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 根據(jù)正弦定理得：＝， 即＝， ∴AC＝ ＝. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACs

9、in β ＝. 即山高CD為. 12．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積． 解　 連接BD，則四邊形面積 S＝S△ABD＋S△CBD＝ABADsin A＋BCCDsin C. ∵A＋C＝180，∴sin A＝sin C. ∴S＝(ABAD＋BCCD)sin A＝16sin A. 由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－224cos A＝20－16cos A， 在△CDB中，BD2＝42＋62－246cos C＝52－48cos C， ∴20－16cos A＝52－48cos C. 又cos C＝－co

10、s A，∴cos A＝－.∴A＝120. ∴四邊形ABCD的面積S＝16sin A＝8. 能力提升 13．如圖所示，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80 m，于B處測(cè)得水深BE＝200 m，于C處測(cè)得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值． 解　作DM∥AC交BE于N，交CF于M. DF＝＝＝10(m)， DE＝＝＝130(m)， EF＝＝＝150(m)． 在△DEF中，由余弦定理的變形公式，得 cos∠DEF＝＝＝. 即∠DEF的余弦值為. 14．江岸邊有一炮臺(tái)高

11、30 m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺(tái)底部連成30角，求兩條船之間的距離． 解　如圖所示： ∠CBD＝30，∠ADB＝30，∠ACB＝45 ∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝＝30. 在△BCD中， CD2＝BC2＋BD2－2BCBDcos 30＝900， ∴CD＝30，即兩船相距30 m. 1．測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題．由于底部不可到達(dá)，這類問(wèn)題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題． 2．測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！