2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 3.2.3空間的角的計算課時作業(yè) 蘇教版選修

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1、 3.2.3　空間的角的計算 課時目標(biāo)　1.掌握異面直線所成角與二面角的概念，能正確運用向量的數(shù)量積求角.2.正確運用二面角的概念及兩個平面的法向量的夾角與二面角大小的關(guān)系求二面角的大小.3.掌握平面的斜線所在方向向量與平面的法向量夾角與線面角的關(guān)系． 1．兩條異面直線所成的角 (1)定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的________________叫做a與b所成的角． (2)范圍：兩異面直線所成的角θ的取值范圍是________________． (3)向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為φ，則有cos

2、θ＝|cos φ|＝__________. 2．直線與平面所成的角 (1)定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的________所成的角． (2)范圍：直線和平面所成的角θ的取值范圍是__________． (3)向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為θ，a與u的夾角為φ，則有sin θ＝|cos φ|＝________或cos θ＝________. 3．二面角 (1)二面角的取值范圍：________. (2)二面角的向量求法： 利用向量求二面角的平面角有兩種方法： ①若AB，CD分別是二面角α—l—β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的

3、異面直線，則二面角的大小θ是向量與的夾角(如圖①所示)．即cos θ＝. ②設(shè)n1、n2是二面角α—l—β的兩個面α、β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是二面角的平面角的大小(如圖②所示)．即二面角α—l—β的大小θ的余弦值為 cos θ＝或cos θ＝－. 一、填空題 1．若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150，則l1與l2這兩條異面直線所成的角為_______________________________________________________． 2．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150，則直線l與平面α所成的角為____

4、____． 3. - 1 - / 11 如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點，若∠B1MN＝90，則∠PMN的大小是______． 4．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則二面角A—BC—D的平面角的余弦值是________． 5．已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為________． 6．若兩個平面α，β的法向量分別是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)，則這兩個平面所成的銳二面角的度數(shù)是________．

5、 7．如圖， 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________． 8．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為________． 二、解答題 9. 如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，求異面直線AM與C1N所成的角的余弦值． 10. 如圖所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60，∠AOB＝

6、90，且OB＝OO1＝2，OA＝，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大?。? 能力提升 11．已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上一點，且AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點． (1)證明：CM⊥SN； (2)求SN與平面CMN所成角的大?。? 12. 如圖所示，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值．

7、 1．兩異面直線所成的角θ等于兩異面直線的方向向量a，b所成的角(或其補角)，所以求解時要加絕對值，cos θ＝|cos〈a，b〉|. 2．求直線與平面的夾角的方法與步驟 思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)． 思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量． 3．二面角的求法往往有兩種思路．一種是幾何法，可以在兩個半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩條線段，找出二面角的平面角，這是幾何中

8、的一大難點．另一種是向量法，當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時，用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單的運算即可求出．可以根據(jù)所求二面角是銳角還是鈍角確定二面角大小． 3．2.3　空間的角的計算 知識梳理 1．(1)銳角或直角　(2)0<θ≤　(3) 2．(1)射影　(2)0≤θ≤　(3)　sin φ 3．(1)[0，π] 作業(yè)設(shè)計 1．30 2．60 3．90 解析　A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN. ∵＝(＋)＝＋＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90. 4. 解析　 建立如圖所示的空間直角坐

9、標(biāo)系O—xyz， 設(shè)正方形ABCD的棱長為1，則 O(0,0,0)，A， B，C. ∴＝，＝. 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)， 則　∴ 可取n＝(1，－1,1)． 由題意知，平面BCD的法向量為＝， ∴cos〈n，〉＝＝＝， 即二面角A—BC—D的平面角的余弦值為. 5. 解析　如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因為A1D⊥平面ABC，AD⊥BC，設(shè)三棱柱的棱長為1，則AD＝，AA1＝1，A1D＝， 故A1. 又A，B， ∴＝ ＝，＝， ∴cos〈，〉＝. ∴異面直線AB與CC1所成角的余弦值為. 6．60 解析　∵cos〈n，ν〉＝＝

10、－. ∴〈n，ν〉＝120.故兩平面所成的銳二面角為60. 7．90 解析　建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為1，則 B，M， B1， 因此＝，＝，設(shè)異面直線AB1與BM所成的角為θ， 則cos θ＝|cos〈，〉|＝＝0， ∴θ＝90. 8. 解析　 如圖，連結(jié)A1B，則A1B∥C D1，故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角． 設(shè)AB＝a，則A1E＝a，A1B＝a，BE＝a. 在△A1BE中，由余弦定理得， cos∠A1BE＝ ＝＝. 9．解　方法一　∵＝＋， ＝＋， ∴＝(＋)(＋) ＝＝－. 而||＝ ＝＝

11、＝. 同理||＝. 設(shè)α為異面直線AM與C1N所成的角， 則cos α＝＝＝. 方法二　 以，，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz. 則A(1,0,0)，M， C1(0,1,1)，N，于是有＝－(1,0,0)＝， ＝－(0,1,1)＝. ∴＝01＋0＋1＝－， 又||＝＝， ||＝＝， ∴cos α＝＝＝. 10．解　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則O(0,0,0)，O1(0,1，)， A(，0,0)，A1(，1，)， B(0,2,0)， ∴＝－＝(－，1，－)， ＝－＝(，－1，－)． ∴cos〈，〉＝ ＝＝－.

12、 ∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為. 11. (1)證明　設(shè)PA＝1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)， N(，0,0)，S(1，，0)． 所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)． 因為＝－＋＋0＝0， 所以CM⊥SN. (2)解?。?－，1,0)， 設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則 即令x＝2，得a＝(2,1，－2)． 因為|cos〈a，〉|＝ ＝＝， 所以SN與平面CMN所成的角為45. 12．解　如圖所示以A為原點，AB，AD，AS所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則D，C(1,1,0)， S(0,0,1)，A(0,0,0)． 所以＝，＝(1,1，－1)，＝， 設(shè)平面SDC的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥， 所以　即 令z＝1，則x＝－1，y＝2. 此時n＝(－1,2,1)． 而是平面SAB的法向量，則＝. 觀察圖形可知平面SCD與平面SAB所成角的余弦值為. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！