2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 2.3等差數(shù)列的前n項和（二）導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修

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1、 2.3　等差數(shù)列的前n項和(二) 課時目標(biāo) 1．熟練掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，并能靈活運用． 2．掌握等差數(shù)列前n項和的最值問題． 3．理解an與Sn的關(guān)系，能根據(jù)Sn求an. 1．前n項和Sn與an之間的關(guān)系 對任意數(shù)列{an}，Sn是前n項和，Sn與an的關(guān)系可以表示為an＝ 2．等差數(shù)列前n項和公式 Sn＝＝na1＋d. 3．等差數(shù)列前n項和的最值 (1)在等差數(shù)列{an}中 當(dāng)a1>0，d<0時，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式組確定； 當(dāng)a1<0，d>0時，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式組確定． (2)因為Sn＝n2＋n，若d

2、≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時，Sn有最小值；當(dāng)d<0時，Sn有最大值；且n取最接近對稱軸的自然數(shù)時，Sn取到最值． 一個有用的結(jié)論： 若Sn＝an2＋bn，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．反之亦然． 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則an等于(　　) A．n B．n2 C．2n＋1 D．2n－1 答案　D 2．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是(　　) A．－2 B

3、．－1 C．0 D．1 答案　B 解析　等差數(shù)列前n項和Sn的形式為：Sn＝an2＋bn， ∴λ＝－1. 3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5

4、S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差數(shù)列，公差為(S 1 / 4 6－S3)－S3＝S3，從而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3?S9＝6S3， S12－S9＝S3＋3S3＝4S3?S12＝10S3，所以＝. 5．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D. 答案　A 解析　由等差數(shù)列的性質(zhì)，＝＝＝， ∴＝＝＝1. 6．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S5S8，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．d<0

5、 B．a(chǎn)7＝0 C．S9>S5 D．S6與S7均為Sn的最大值 答案　C 解析　由S50.又S6＝S7?a7＝0，所以d<0. 由S7>S8?a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9 ＝2(a7＋a8)<0即S9

6、解析　方法一　利用前n項和公式和二次函數(shù)性質(zhì)． 由S17＝S9，得2517＋(17－1)d＝259＋(9－1)d，解得d＝－2， 所以Sn＝25n＋(n－1)(－2) ＝－(n－13)2＋169， 由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)n＝13時，Sn有最大值169. 方法二　先求出d＝－2，因為a1＝25>0， 由　得 所以當(dāng)n＝13時，Sn有最大值． S13＝2513＋(－2)＝169. 因此Sn的最大值為169. 方法三　由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2

7、<0， 又因為a1>0，所以a13>0，a14<0， 故當(dāng)n＝13時，Sn有最大值． S13＝2513＋(－2)＝169. 因此Sn的最大值為169. 9．在等差數(shù)列{an}中，已知前三項和為15，最后三項和為78，所有項和為155，則項數(shù)n＝________. 答案　10 解析　由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，兩式相加，得 (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31. 由Sn＝＝＝155，得n＝10. 10．等差數(shù)列{an}中，a1<0，S9＝S12，該數(shù)列在n＝k時，前n項和Sn取到最小值，則

8、k的值是________． 答案　10或11 解析　方法一　由S9＝S12，得d＝－a1，由，得 ， 解得10≤n≤11.∴當(dāng)n為10或11時，Sn取最小值， ∴該數(shù)列前10項或前11項的和最?。? 方法二　由S9＝S12，得d＝－a1， 由Sn＝na1＋d＝n2＋n， 得Sn＝n2＋n＝－2＋a1 (a1<0)， 由二次函數(shù)性質(zhì)可知n＝＝10.5時，Sn最小． 但n∈N*，故n＝10或11時Sn取得最小值． 三、解答題 11．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通項公式； (2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值． 解

9、　(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得 可解得 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝11－2n. (2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2. 因為Sn＝－(n－5)2＋25， 所以當(dāng)n＝5時，Sn取得最大值． 12．已知等差數(shù)列{an}中，記Sn是它的前n項和，若S2＝16，S4＝24，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn. 解　由S2＝16，S4＝24，得 即　解得 所以等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝11－2n (n∈N*)． (1)當(dāng)n≤5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n. (2)當(dāng)n≥

10、6時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn ＝2(－52＋105)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50， 故Tn＝ 能力提升 13．?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn＝3n－2n2 (n∈N*)，則當(dāng)n≥2時，下列不等式成立的是(　　) A．Sn>na1>nan B．Sn>nan>na1 C．na1>Sn>nan D．nan>Sn>na1 答案　C 解析　方法一　由an＝， 解得an＝5－4n. ∴a1＝5－41＝1，∴na1＝n， ∴n

11、an＝5n－4n2， ∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0. Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0. ∴na1>Sn>nan. 方法二　∵an＝5－4n， ∴當(dāng)n＝2時，Sn＝－2， na1＝2，nan＝－6， ∴na1>Sn>nan. 14．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d的范圍； (2)問前幾項的和最大，并說明理由． 解　(1)根據(jù)題意，有：　整理得： 解之得：－

12、2＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0， ∴a6>0. ∴數(shù)列{an}的前6項和S6最大． 1．公式an＝Sn－Sn－1并非對所有的n∈N*都成立，而只對n≥2的正整數(shù)才成立．由Sn求通項公式an＝f(n)時，要分n＝1和n≥2兩種情況分別計算，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示． 2．求等差數(shù)列前n項和的最值 (1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項和的最值，但要注意n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀． (2)通項法：當(dāng)a1>0，d<0，時，Sn取得最大值；當(dāng)a1<0，d>0，時，Sn取得最小值． 3．求等差數(shù)列{an}前n項的絕對值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負(fù)項的分界點． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！