浙江省普通高?！皩Ｉ尽甭?lián)考《高等數(shù)學(一)》試卷

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1、 精品文檔 2007 年浙江省普通高?！皩Ｉ尽甭?lián)考《高等數(shù)學（一） 》試卷 題號 一 二 三 四 總分 得 分 考試說明： 1、考試時間為 150 分鐘； 2、滿分為 150 分； 3、答案請寫在試卷紙上，用藍色或黑色墨水的鋼筆、圓珠筆答卷，否則無效； 4、密封線左邊各項要求填寫清楚完整。 一、填空題：（只需在橫線上直接寫出答案，不必寫出計算過 得分 閱卷人 程，本題共有 8 個空格，每一空格 5 分，共 40 分） 1 ． 函 1

2、 的 定 義 域 是 數(shù) y lg x 2 ______________________ 。 2．設 y5sin 3 x ，則 dy 。 dx ____________________ _____________ 3．極限 lim 1 xn 1 x2 dx _________________________ 。 n 0 4．積分 cot x 。 dx 1 sin x __________ __________ ___________ 5．設 y

3、 1 1 , 則 y 5 __________ _____________ 。 1 x 1 x 6．積分 sin7 x sin9 xdx ________________________________ 。 0 7．設 u sin 2x y ex 3y ，則 du __________ ______________ 。 8．微分方程 xdx x2 y y3 y dy 0 的通解 . 精品文檔 ________________________ 。

4、 二．選擇題：（本題共有 4 個小題，每一個小題 5 分，共 20 得分 閱卷人 分，每個小題給出的選項中，只有一項符合要求） 3 x 1 sin 1 x 1 1是 f x 1．設 f x x 1 ，則 x 的 【 】。 3x2 2 ln x x 1 A . 連續(xù)點， B . 跳躍間斷點， C . 無窮間斷點， D . 振蕩間斷點。 2. 下列結(jié)論中正確的是

5、 【 】。 A . 若 lim an 1 1，則 lim an 存在， n an n B . 若 lim an A ，則 lim an 1 lim an 1 n 1， n n an lim an n C . 若 lim an A ， lim bn B ，則 lim (an )b n AB ， n

6、 n n D . 若數(shù)列 a2n 收斂，且 a2n a2n 1 0 n ，則數(shù)列 an 收斂。 xsin t sin x 1 3 ． 設x x 1 t t dt ， 則 當 x 0 時 ， x 是 x 的 dt ， 0 t 0 【 】。 A . 高階無窮小， B . 等價無窮小， C . 同階但非等價無窮

7、小， D . 低階無窮小。 t x ln t ，則 lim dy 4．已知函數(shù) 【 】。 y ln t x e dx t 2 1 2 1 A . e ， B . e2 ， C . e ， D . e2 。 三．計算題：（計算題必須寫出必要的計算過程，只寫出答案的不給分，本題共 10 個小題， 每小題 7 分，共 70 分）

8、 . 精品文檔 1．設 y ln cos2 x ，求 dy 。 1 ln 4 x dx 2 y ln x 2 y 2 y dy 。 arctan 所確定的 是 x 的函數(shù)，求 ．由方程 x dx

9、 3．計算極限 lim 1 cos x 。 x 0 x . 精品文檔 4．計算積分 e3 sin x 2 cosxdx 。 xex 5．計算積分 x 2 dx 。 1 e 6．計算積分 4 e2 x tan x 1 2

10、dx 。 0 - 2x y 3z 0 - - 7．求經(jīng)過點 1,1,1 且平行于直線 的直線方程。 - - - x 2 y 5z 1 - - - - - - - - - - - - - -

11、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

12、 - - . - - - - - - - - - - - - - - 精品文檔 8．計算積分y x dxdy ，其中 D : x2 y2 a2 。 D 9 a ，函數(shù) f x f x x f x 滿足 f a t dt 1 ，求 ．任給有理數(shù) 0

13、 10．將函數(shù) f x x 1 在點 x0 1 處展開成冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間（端點不考慮）。 3 x 四．綜合題： （本題共 3 小題，共 20 分） 1．（本題 10 分）設直線 y ax 與拋物線 y x 2 所圍成的圖形的面積為 S1 ，直線 y ax, x 1 . 精品文檔 與拋物

14、線 y x 2 所圍成的面積為 S2 ，當 a 1時，，試確定 a 的值，使得 S S1 S2 最小。 1 x 1 x x2 f x dx 2．（本題 6 分）證明： 0 [ x 2 f y dy] dx 0 3．（本題 4 分）當 0 x 時，求證 sin x x 。 2

15、 . 精品文檔 《高等數(shù)學（一） 》答案 一．填空題： 1． 2,3 3. 2． y 3sin 2 x cos x5 sin 3 x ln 5 3． 0 sin x 4． ln C 1 sin x 5． y 52 5! 1 x 6 4 6． 9 7． du 2 cos 2x y ex 3 y

16、 dx cos 2x y 3ex 3 y dy 8． ln x2 y 2 y 2 C 二．選擇題： 1。 A， 2。D， 3。C， 4。D。 三．計算題： 1．解。 y 2ln cos x 1 ln 1 ln 4 x

17、 2 1 4 ln 3 x 1 ln 3 x y 2 tan x x 2 tan x 2 2 1 ln 4 x ln 4 x x 1 2。解：方程兩邊對 x 求導數(shù)，得

18、 1 xy y 2x 2y xy y 2x 2 yy xy y 2x 2 yy 1 y 2 x 2 x2 y2 x 2 y 2 x 2 y 2 x x 2 y y 2 x y y 2 x y 。

19、 x 2 y 3．解 :令 t x ， lim 1 cos x lim 1 cost sin t 1 x t 2 lim 2t 2 x 0 t o t o 4．解：原式＝ 1 e3 sin x 2

20、d 3sin x 2 1 e3 sin x 2 C 3 3 5．解： xex dx ＝ xd( ex 1) xd 1 x 1 1 ex 2 1 ex 2 x 1 e x 1 e x dx e 1 . 精品文檔 ＝ x d e x 1 ex x l

21、n 1 e x C x 1 x ln 1 ex C ex 1 e x 1 1 ex 6．解： 4 e2 x tan x 2 1 dx ＝ 0 4 e2 x sec2 x 2 tan x dx 4 e2 x sec2 xdx 2 4 e2 x tan xdx ＝ 0 0 0 ＝ e2 x tan x 04 2 4 e2 x tan xdx 2 4 e2 x tan

22、 xdx e2x tan x 04 e 2 0 0 2x y 3z 0 7．解：平行于直線 的直線的方向向量應是 x 2 y 5z 1 i j k S 2 1 3 i 7 j 3k 1 2 5 所求直線方程為 x 1 y 1 z 1 1 7 3 x 2 2 a 2 8.解：I y xdxdy D : y D

23、 2 2 2 2 令 x cos , y sin x y a 2 a 2 I d 0 cos sin d 0 3 5 a 4 (cos sin )d 4 sin cos d 3 0 4 3 a sin cos 4

24、 sin cos 2 cos 5 0 3 4 3  2 5 4  cos sin d 5 sin 4 4 a 2 1 1 2 2 2 4 2 3 3 3 a 9．解：原方程兩邊對 x 求導數(shù)得 f x f a x (1) f x f (a x) f a a x f ( x)

25、 f x 滿足 f x f x 0 ( 2) 由原方程令 x 0 得 f 0 1 由 (1) f 0 f a 方程 (2)對應的特征方程為 2 1 0 即 i . 精品文檔 ( 2)有通解 f x c1 cos x f 0 1 得 c1 1 即 f x f x sin x c2 cos x c2 cos a f x 1 sin a  c2 sin x cos x c

26、2 sin x f 0 c2 f a cosa c2 sin a cos x cos a sin x 1 sin a 10．解： f x x 1 2 1 1 1 x 1 1 1 x 2 1 x 2

27、 x 1 x 1 n x 1 n 1 2 n 0 2 n 0 2 收斂區(qū)間為 x 1 1 即 1 x 3 2

28、 四、綜合題： 1．解： 當 0 a 時 y ax 與 y x 2 的交點坐標是 和 ( a, a 2 ) 1 (0,0) S S1 S2 0a ax x 2 dx

29、1a x 2 ax a 3 a 3 1 a3 a a 3 a 3 a 1 2 3 3 2 3 2 3 S a a2 1 令 S a 0 a 1 2 2 S a 2a 0 在 0 a 1 時Smin S 1

30、2 2 2 6 當 a 0 時 y ax 與 y x2的交點坐標是 (0,0) 和(a, a2 ) S S1 S2 a0 ax x2 dx 10 x 2 ax dx a3 a 3 1 a a 3 a 1 2 3 3 2 6 2 3

31、 S a a 2 1 0 S a 在 a 時單調(diào)減小 . 2 2 0 1 故在 a 時 為 S a 的最小值 S 0 Smin 0 ,S0 3 又

32、 2 - 2 2 2 1 1 6 6 2 2 3 2 2 3 在 a 時 的最小值在 a 1 時取到 1 S 2

33、 Smin S 1 2 2 2 6 . 精品文檔 2．解法一：用二重積分交換積分次序即可證得。 I 1 x f y dy dx 積分區(qū)域 x 2 y x y 2 x y 0 x 2 0 x 1 0 y 1

34、 1 y f y dx dy 1 y y 2 f y dy 1 x x 2 f x dx 0 y2 0 0 解法二：用一元函數(shù)分部積分法可證得 1 x x 1 1 x f y

35、dy 0 0 xd 0 x2 f y dy dx x x2 x2 fy dy 10 x 2 1 x f x 2xf x2 dx 10 2x 2 f x2 1 x f x

36、 2 1 2x 2 f x 2 1 1 x f x dx 0 dx 0 2 x2 1 x 從 0 1 第一個積分

37、 令 u x u dx du u 從0 1 2 u 1 2x 2 f x 2 dx 1 u 1 1 u f u du 1 x f x dx 0 0 2uf du 0 0

38、 2 u 第二個積分 令 v x, x v2 , dx 2vdv 1 1 1 1 1 2 1 2 0 2 x f x dx 0 2 vf v 2vdv 0v f v dv 0 x f x dx 1 x f y dy dx 0 x2

39、 3 證明：令  1 x x 2 f x dx 0 sin x 1 f x x 2 x cos x sin x x x x cos tan f x 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 當 0 x 時, cos x 0, tan x x , f x 0 2 2 2

40、 從而 f x 在 0, 內(nèi)單調(diào)減少 , f x f 0 0 x sin x 1 x x 即 2 x 即sin 2 . 精品文檔 .