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1、
《電路計算機輔助設計》
基于C#的線性網絡方程的LU分解法
基于C#的線性網絡方程的LU分解法
1 引言
線性網絡方程是模擬電路常需要處理的問題，也是各個線性系統需要面對的。線性網絡方程組的解關系到工程的各個方面，因而研究它的解的算法很有必要。LU分解法是一種線性網絡方程求解的一種算法，它的效率比較高，具有工程可實踐性。
2 算法框圖
LU的算法框圖如圖1所示。
圖1 LU分解法算法框圖
從框圖可以看出，LU分解法的難點在于各階順序主子式的判定和進行LU分解求解方程。
采用求解各階數據主子式的行列式
2、值，我采用了劃三角矩陣的辦法求解。其中最后做成的可視化界面的.exe 中，只校驗了n階行列式。
圖2為軟件的主界面圖。
圖2 軟件主界面圖
3 LU分解法算法描述
LU分解法的分解通式為：
lim=aim-k=1m-1likukmi=m,m+1,…..n (3.1)
umi=(ami-k=1m-1lmkuki)/lmm i=m+1,m2,…..n (3.2)
式(3.1)與(3.2)交替進行分解。正是由于該特性，所以可以將LU矩陣壓縮在一個n*n的矩陣中，從而減少了存儲空間開銷。
由Ly=b，
3、可以解除參數矩陣y的值。
y1=b1l11, yi=(bi-j=1i-1lijyji=2,3,…..n (3.3)
由Ux=y,可以得出最后的解矩陣x為：
xn=yn, xi=yi-j=i+1nuijxji=n-1,n-2,…..1 (3.4)
4 仿真結果
4.1 LU分解正誤仿真
先進行系數矩陣是否為零判定，再給出解結果，測試數據如下：
測試數據一:
n=6;
系數矩陣為：
1 3 4 5 2 3
3 4 2 1 5 6
3 2 2 3 4 3
4 3 2 1 3 4
5 2 1
4、2 3 2
3 4 2 1 3 2
向量吧為：
3 2 4 2 3 2
結果為
x向量
0.266187050359712 -0.683453237410071 0.978417266187049 0.0791366906474829 0.949640287769783 -0.474820143884892 此結果用matlab驗證符合。
與matlab效率比較
以上述6階結果為例進行效率比較，由于C#各種控件響應耽誤測試時間，所以只以裸算法進行效率比較。
經過實踐，由于階數太低，行列式計算時間復雜度為n^
5、3（與高斯消元法相似）,各階行列式驗證時間復雜度1+2^3+…+n^3=n^2(n+1)^2/4,LU分解法的時間復雜度為n^2加上回代的2n，所以總復雜度約為n^4，所以20階計算量大約為160000，C#測不出時間（都為0），所以無法給出效率比較。
通過上網查閱，可以知道LU分解法有超過9種算法，本設計所用算法，為Crout分解，其分解適用于手算，且沒有處理其他情況，而matlab采用更為復雜的分解，適用于計算機處理，效率應該低于本例的Crout分解，這里只能給出定性比較。
5 算法時間空間復雜度分析
由4.2節(jié)分析LU分解法如果只驗證n階行列式,復雜度為n^3+n^2+2n，即O（
6、n^3）,如果使用高斯消元法，則驗證n階行列式與消元過程類似，只需加上回代的n^2，總體來說小于LU分解法+驗證。所以考慮利用驗證n階行列式的算法選擇，可能選擇高斯消元法效率比LU分解法高，但單從解方程角度，LU分解法的效率小于高斯消元法。
對于行列式的驗證，化三角矩陣的算法比直接求解n!*(nlogn)，行分解n!*(nlogn)方法，效率高的多。但如果不求值的驗證方法，或許有比化三角求值方法效率更高的判定方法，這樣LU分解法效率就可以體現。
此外對于LU分解法，Crout分解法的L矩陣對角元素不能為零，或是很小的數，否則計算會出現趨近于無窮大的值導致數據溢出出錯。數學上，可以用選主元的
7、方法避免，但工程上多是進行重新對電路建模來處理，暫時不知道如何來做可以比選主元效率更高，有待研究。
至于空間復雜度，主要是兩個動態(tài)申請的系數矩陣和LU矩陣，復雜度為O(n^2)。
6 心得與體會
由于是第一次使用開發(fā)可視化軟件，所以上手起來有一定難度，就選擇了難度相對低的C#語言進行開發(fā)，花了一些時間學習，好在有一些Matlab GUI編輯經驗，學起來容易一些。我的編程過程是，先對算法進行校驗，再做到可視化中去，這樣的編程流程對開發(fā)降低了很大難度。
C#語言功能強大，且容易實現可視化，上手比C++容易，適合新手進行學習開發(fā)，是一個比較好的開發(fā)工具。
關于最后寫報告的一些理論分析，還是做了不少準備，從中也學到了很多。總而言之，該門課程，總體還是很有收獲的，對SPICE的了解也更進一步。
電路計算機輔助設計基于C的線性網絡方程的LU分解法
