偏微分方程數(shù)值解法的MATLAB源碼學(xué)練結(jié)合

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1、 [原創(chuàng)]偏微分方程數(shù)值解法的MATLAB源碼【更新完畢】 說明：由于偏微分的程序都比較長，比其他的算法稍復(fù)雜一些，所以另開一貼，專門上傳偏微分的程序 謝謝大家的支持！ 其他的數(shù)值算法見： ..//Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=8245004 1、古典顯式格式求解拋物型偏微分方程（一維熱傳導(dǎo)方程） function [U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典顯式格式求解拋物型偏微分方程 %[U x t]=PDEParabolic

2、ClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) % %方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值條件：u(x,0)=phi(x) %邊值條件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %輸出參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示初值，第一列和最后一列表示邊值，第二行表示第2層…… % x -空間變量 % t -時間變量 %輸入?yún)?shù)：uX -空間變量x的取值上限 % uT -時間變量t的取值上限 % phi -初值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) %

3、psi1 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % psi2 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % M -沿x軸的等分區(qū)間數(shù) % N -沿t軸的等分區(qū)間數(shù) % C -系數(shù)，默認(rèn)情況下C=1 % %應(yīng)用舉例： %uX=1;uT=0.2;M=15;N=100;C=1; %phi=inline(sin(pi*x));psi1=inline(0);psi2=inline(0); %[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C); %設(shè)置參數(shù)C的默認(rèn)值 if nargin==7 C=

4、1; end %計算步長 dx=uX/M;%x的步長 dt=uT/N;%t的步長 x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt; r=C*dt/dx/dx;%步長比 r1=1-2*r; if r > 0.5 disp(r > 0.5,不穩(wěn)定) end %計算初值和邊值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end %逐層求解 for j=1

5、:N for i=2:M U(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j); end end U=U; %作出圖形 mesh(x,t,U); title(古典顯式格式，一維熱傳導(dǎo)方程的解的圖像) xlabel(空間變量 x) ylabel(時間變量 t) zlabel(一維熱傳導(dǎo)方程的解 U) return; 古典顯式格式不穩(wěn)定情況 古典顯式格式穩(wěn)定情況 2、古典隱式格式求解拋物型偏微分方程（一維熱傳導(dǎo)方程） function [U x t]=PDEParabolicClass

6、icalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典隱式格式求解拋物型偏微分方程 %[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) % %方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值條件：u(x,0)=phi(x) %邊值條件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %輸出參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示初值，第一列和最后一列表示邊值，第二行表示第2層…… % x -空間變量 %

7、t -時間變量 %輸入?yún)?shù)：uX -空間變量x的取值上限 % uT -時間變量t的取值上限 % phi -初值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % psi1 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % psi2 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % M -沿x軸的等分區(qū)間數(shù) % N -沿t軸的等分區(qū)間數(shù) % C -系數(shù)，默認(rèn)情況下C=1 % %應(yīng)用舉例： %uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;C=1; %phi=inline(sin(pi*x));psi1=inline(0);psi2=inline(0); %[U x t]=PDEParaboli

8、cClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C); %設(shè)置參數(shù)C的默認(rèn)值 if nargin==7 C=1; end %計算步長 dx=uX/M;%x的步長 dt=uT/N;%t的步長 x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt; r=C*dt/dx/dx;%步長比 Diag=zeros(1,M-1);%矩陣的對角線元素 Low=zeros(1,M-2);%矩陣的下對角線元素 Up=zeros(1,M-2);%矩陣的上對角線元素 for i=1:M-2 Diag(i)=1+2*r;

9、Low(i)=-r; Up(i)=-r; end Diag(M-1)=1+2*r; %計算初值和邊值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end %逐層求解，需要使用追趕法（調(diào)用函數(shù)EqtsForwardAndBackward） for j=1:N b1=zeros(M-1,1); b1(1)=r*U(1,j+1); b1(M-1)=r*U(M+1,j+1

10、); b=U(2:M,j)+b1; U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b); end U=U; %作出圖形 mesh(x,t,U); title(古典隱式格式，一維熱傳導(dǎo)方程的解的圖像) xlabel(空間變量 x) ylabel(時間變量 t) zlabel(一維熱傳導(dǎo)方程的解 U) return; 此算法需要使用追趕法求解三對角線性方程組，這個算法在上一篇帖子中已經(jīng)給出，為了方便，再給出來 追趕法解三對角線性方程組 function x=EqtsForwardAnd

11、Backward(L,D,U,b) %追趕法求解三對角線性方程組Ax=b %x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b) %x:三對角線性方程組的解 %L:三對角矩陣的下對角線，行向量 %D:三對角矩陣的對角線，行向量 %U:三對角矩陣的上對角線，行向量 %b:線性方程組Ax=b中的b，列向量 % %應(yīng)用舉例: %L=[-1 -2 -3];D=[2 3 4 5];U=[-1 -2 -3];b=[6 1 -2 1]; %x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b) %檢查參數(shù)的輸入是否正確 n=length(D);m=le

12、ngth(b); n1=length(L);n2=length(U); if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= m disp(輸入?yún)?shù)有誤！) x= ; return; end %追的過程 for i=2:n L(i-1)=L(i-1)/D(i-1); D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1); end x=zeros(n,1); x(1)=b(1); for i=2:n x(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1); end %趕的過程 x(n)=x(n)/D(n); for i=n-1

13、:-1:1 x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i); end return; 古典隱式格式 在以后的程序中，我們都取C=1，不再作為一個輸入?yún)?shù)處理 3、Crank-Nicolson隱式格式求解拋物型偏微分方程 需要調(diào)用追趕法的程序 function [U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N) %Crank-Nicolson隱式格式求解拋物型偏微分方程 %[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N) % %方程：u_t=

14、u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值條件：u(x,0)=phi(x) %邊值條件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %輸出參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示初值，第一列和最后一列表示邊值，第二行表示第2層…… % x -空間變量 % t -時間變量 %輸入?yún)?shù)：uX -空間變量x的取值上限 % uT -時間變量t的取值上限 % phi -初值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % psi1 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % psi2 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % M -沿x軸的等分

15、區(qū)間數(shù) % N -沿t軸的等分區(qū)間數(shù) % %應(yīng)用舉例： %uX=1;uT=0.2;M=50;N=50; %phi=inline(sin(pi*x));psi1=inline(0);psi2=inline(0); %[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N); %計算步長 dx=uX/M;%x的步長 dt=uT/N;%t的步長 x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt; r=dt/dx/dx;%步長比 Diag=zeros(1,M-1);%矩陣的對角線元素 Low=zeros(1,M-2

16、);%矩陣的下對角線元素 Up=zeros(1,M-2);%矩陣的上對角線元素 for i=1:M-2 Diag(i)=1+r; Low(i)=-r/2; Up(i)=-r/2; end Diag(M-1)=1+r; %計算初值和邊值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end B=zeros(M-1,M-1); for i=1:M-2 B(i,i)=

17、1-r; B(i,i+1)=r/2; B(i+1,i)=r/2; end B(M-1,M-1)=1-r; %逐層求解，需要使用追趕法（調(diào)用函數(shù)EqtsForwardAndBackward） for j=1:N b1=zeros(M-1,1); b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2; b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2; b=B*U(2:M,j)+b1; U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b); end U=U; %作出圖

18、形 mesh(x,t,U); title(Crank-Nicolson隱式格式，一維熱傳導(dǎo)方程的解的圖像) xlabel(空間變量 x) ylabel(時間變量 t) zlabel(一維熱傳導(dǎo)方程的解 U) return; Crank-Nicolson隱式格式 4、正方形區(qū)域Laplace方程Diriclet問題的求解 需要調(diào)用Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法求解線性方程組 function [U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,t

19、ype) %正方形區(qū)域Laplace方程的Diriclet邊值問題的差分求解 %此程序需要調(diào)用Jacobi迭代法或者Guass-Seidel迭代法求解線性方程組 %[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type) % %方程：u_xx+u_yy=0 0<=x,y<=ub %邊值條件：u(0,y)=phi1(y) % u(ub,y)=phi2(y) % u(x,0)=psi1(x) % u(x,ub)=psi2(x) % %輸出參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示y=0

20、時的值，第二行表示第y=h時的值…… % x -橫坐標(biāo) % y -縱坐標(biāo) %輸入?yún)?shù)：ub -變量邊界值的上限 % phi1,phi2,psi1,psi2 -邊界函數(shù)，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % M -橫縱坐標(biāo)的等分區(qū)間數(shù) % type -求解差分方程的迭代格式，若type=Jacobi，采用Jacobi迭代格式 % 若type=GS，采用Guass-Seidel迭代格式。默認(rèn)情況下，type=GS % %應(yīng)用舉例： %ub=4;M=20; %phi1=inline(y*(4-y));phi2=inline(0);psi1=inline(s

21、in(pi*x/4));psi2=inline(0); %[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,GS); if nargin==6 type=GS; end %步長 h=ub/M; %橫縱坐標(biāo) x=(0:M)*h; y=(0:M)*h; %差分格式的矩陣形式AU=K %構(gòu)造矩陣A M2=(M-1)^2; A=zeros(M2); for i=1:M2 A(i,i)=4; end for i=1:M2-1 if mod(i,M-1)~=0

22、 A(i,i+1)=-1; A(i+1,i)=-1; end end for i=1:M2-M+1 A(i,i+M-1)=-1; A(i+M-1,i)=-1; end U=zeros(M+1); %邊值條件 for i=1:M+1 U(i,1)=psi1((i-1)*h); U(i,M+1)=psi2((i-1)*h); U(1,i)=phi1((i-1)*h); U(M+1,i)=phi2((i-1)*h); end %構(gòu)造K K=zeros(M2,1); for i=1:M-1 K(i)=U(i+1,

23、1); K(M2-i+1)=U(i+1,M+1); end K(1)=K(1)+U(1,2); K(M-1)=K(M-1)+U(M+1,2); K(M2-M+2)=K(M2-M+2)+U(1,M); K(M2)=K(M2)+U(M+1,M); for i=2:M-2 K((M-1)*(i-1)+1)=U(1,i+1); K((M-1)*i)=U(M+1,i+1); end x0=ones(M2,1); switch type %調(diào)用Guass-Seidel迭代法求解線性方程組AU=K case Jacobi X=EqtsJacob

24、i(A,K,x0); %調(diào)用Guass-Seidel迭代法求解線性方程組AU=K case GS X=EqtsGS(A,K,x0); otherwise disp(差分格式類型輸入錯誤) return; end %把求解結(jié)果化成矩陣型式 for i=2:M for j=2:M U(j,i)=X(j-1+(M-1)*(i-2)); end end U=U; %作出圖形 mesh(x,y,U); title(五點差分格式Laplace方程Diriclet問題的解的圖像) xlabel(x) ylabel(y)

25、 zlabel(Laplace方程Diriclet問題的解 U) return; 正方形區(qū)域Laplace方程五點差分格式 5、一階雙曲型方程的差分方法 function [U x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type) %一階雙曲型方程的差分格式 %[U x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type) % %方程:u_t+C*u_x=0 0 <= t <= uT, 0 <= x <= uX %初值條件:u(x,0)=phi(x)

26、 % %輸出參數(shù):U -解矩陣，第一行表示初值，第二行表示第2個時間層…… % x -橫坐標(biāo) % t -縱坐標(biāo)，時間 %輸入?yún)?shù):uX -變量x的上界 % uT -變量t的上界 % M -變量x的等分區(qū)間數(shù) % N -變量t的等分區(qū)間數(shù) % C -系數(shù) % phi -初值條件函數(shù)，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % psi1,psi2 -邊值條件函數(shù)，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù) % type -差分格式，從下列值中選取 % -type=LaxFriedrichs，采用Lax-Friedrichs差分格式求解 % -type=C

27、ourantIsaacsonRees，采用Courant-Isaacson-Rees差分格式求解 % -type=LeapFrog，采用Leap-Frog（蛙跳）差分格式求解 % -type=LaxWendroff，采用Lax-Wendroff差分格式求解 % -type=CrankNicolson，采用Crank-Nicolson差分格式求解，此格式需調(diào)用追趕法 % 求解三對角線性方程組 % h=uX/M;%變量x的步長 k=uT/N;%變量t的步長 r=k/h;%步長比 x=(0:M)*h; t=(0:N)*k; U=ze

28、ros(M+1,N+1); %初值條件 for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end %邊值條件 for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); %U(1,j)=NaN; %U(M+1,j)=NaN; end switch type %Lax-Friedrichs差分格式 case LaxFriedrichs if abs(C*r)>1 disp(|C*r|>1，Lax-Friedrichs差分格式不穩(wěn)定！) end %逐

29、層求解 for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j))/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2; end end %Courant-Isaacson-Rees差分格式 case CourantIsaacsonRees if C<0 disp(C<0，采用前差公式) if C*r<-1 disp(Courant-Isaacson-Lees差分格式不穩(wěn)定！) end %逐層求解

30、for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=(1+C*r)*U(i,j)-C*r*U(i+1,j); end end else disp(C>0，采用后差公式) if C*r>1 disp(Courant-Isaacson-Lees差分格式不穩(wěn)定！) end %逐層求解 for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=C*r*U(i-1,j)+(1-C*r)*U(i,j); end

31、 end end %Leap-Frog（蛙跳）差分格式 case LeapFrog phi2=input(請輸入第二層初值條件函數(shù)：psi2=); if abs(C*r)>1 disp(|C*r|>1，Leap-Frog差分格式不穩(wěn)定！) end %第二層初值條件 for i=1:M+1 U(i,2)=phi2(x(i)); end %逐層求解 for j=2:N for i=2:M U(i,j+1)=U(i,j-1)-C*r*(U(i+1,j)-U

32、(i-1,j)); end end %Lax-Wendroff差分格式 case LaxWendroff if abs(C*r)>1 disp(|C*r|>1，Lax-Wendroff差分格式不穩(wěn)定！) end %逐層求解 for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2+C^2*r^2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j))/2; end end %Cra

33、nk-Nicolson隱式差分格式，需調(diào)用追趕法求解三對角線性方程組的算法 case CrankNicolson Diag=zeros(1,M-1);%矩陣的對角線元素 Low=zeros(1,M-2);%矩陣的下對角線元素 Up=zeros(1,M-2);%矩陣的上對角線元素 for i=1:M-2 Diag(i)=4; Low(i)=-r*C; Up(i)=r*C; end Diag(M-1)=4; B=zeros(M-1,M-1); for i=1:M-2 B(i,i

34、)=4; B(i,i+1)=-r*C; B(i+1,i)=r*C; end B(M-1,M-1)=4; %逐層求解，需要使用追趕法（調(diào)用函數(shù)EqtsForwardAndBackward） for j=1:N b1=zeros(M-1,1); b1(1)=r*C*(U(1,j+1)+U(1,j))/2; b1(M-1)=-r*C*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2; b=B*U(2:M,j)+b1; U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b); end otherwise disp(差分格式類型輸入有誤！) return; end U=U; %作出圖形 mesh(x,t,U); title([type 格式求解一階雙曲型方程的解的圖像]); xlabel(空間變量 x); ylabel(時間變量 t); zlabel(一階雙曲型方程的解 U); return; 16 練題