GCT 數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性、凹凸性與極值

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1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 四、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)四、曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性與極值凹凸性與極值 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 第三三章 二、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 三、最大值與最小值問題最大值與最小值問題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理定理 1. 設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證證: 無妨設(shè),0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfx

2、f),(21xxI0故. )()(21xfxf這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),證畢目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xOy12目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxO說明說明: 1) 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32x

3、y 2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 證明20 x時(shí), 不等式.2sinxx證證: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上連續(xù)在則xf，上可導(dǎo)在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(內(nèi)單調(diào)遞減在因此xf從而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(處左連續(xù)在又xf因此且證證證明 * 證明0tanxx令,tan)(xxx則xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上遞減在x從而0)0()

4、(x即),0(,0tan2xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1:,),()(內(nèi)有定義在設(shè)函數(shù)baxf, ),(0bax ，的一個(gè)鄰域若存在0 x在其中當(dāng)0 xx 時(shí), )()(0 xfxf(1) 則稱 為 的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極大值極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極小值極小值 .)(0 xf極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .二、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:3x1x4x2x5xOxaby41,xx為極大值點(diǎn)52,xx為極小值點(diǎn)

5、3x不是極值點(diǎn)2) 對常見函數(shù), 函數(shù)極值的可能點(diǎn)集合為： 駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì).31292)(23xxxxf例如例如 ,1x為極大值點(diǎn), 2) 1 (f是極大值 1)2(f是極小值 2x為極小值點(diǎn), 函數(shù)12xOy12目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2 (極值第一判別法極值第一判別法),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),0時(shí)由小到大通過當(dāng)xx(1) )(xf “左左正正右右負(fù)負(fù)” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負(fù)負(fù)右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf(自證)點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放暫停目錄

6、上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxxf的極值 .解解:1) 求導(dǎo)數(shù)32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求極值可疑點(diǎn)令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判別x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是極大值點(diǎn)， 其極大值為0)0(f是極小值點(diǎn)， 其極小值為52x33. 0)(52f目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3 (極值第二判別法極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù) , 且處具有在點(diǎn)設(shè)函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則 在點(diǎn) 取極大值 ;)(xf0 x

7、,0)()2(0 xf若則 在點(diǎn) 取極小值 .)(xf0 x證證: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00時(shí)當(dāng)xx0)(0 xxxf時(shí)，故當(dāng)00 xxx;0)( xf時(shí)，當(dāng)00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判別法知.)(0取極大值在xxf(2) 類似可證 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求函數(shù)1) 1()(32 xxf的極值 . 解解: 1) 求導(dǎo)數(shù),) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求駐點(diǎn)令,0)( xf得駐點(diǎn)1,0, 1321xxx3) 判別因,06)

8、0( f故 為極小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判別法判別.,1)(左右鄰域內(nèi)不變號在由于xxf.1)(沒有極值在xxf1xy1O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、最大值與最小值問題最大值與最小值問題 ,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點(diǎn)極值點(diǎn)或端點(diǎn)端點(diǎn)處達(dá)到 .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn))(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf目錄 上頁 下頁 返回

9、結(jié)束 特別特別: 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),)(xf,ba 當(dāng) 在 上單調(diào)單調(diào)時(shí),)(xf,ba最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應(yīng)用問題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例5. 求函數(shù)xxxxf1292)(23在閉區(qū)間,2541上的最大值和最小值 .解解: 顯然, ,)(2541Cxf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx1

10、21862xx內(nèi)有極值可疑點(diǎn)在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函數(shù)在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx412512xyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 存在一個(gè)取得最大利潤的生產(chǎn)水平? 如果存在, 找出它來.售出該產(chǎn)品 x 千件的收入是例例6. 設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品 x 千件的成本是解解: 售出 x 千件產(chǎn)品的利潤為)()()(xCxRxp6123)(2xxxp得令,0)( xp586. 0221x問是否3)(xxC,1562xx ,9)(xxRxxx66

11、23,126)( xxp又,0)(1 xp0)(2 xp故在 x2 = 3.414千件處達(dá)到最大利潤, 而在 x1= 0.586千件處發(fā)生局部最大虧損. y)(xp22Ox22)24(32xx414. 3222x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中)(xC稱為邊際成本)(xR稱為邊際收入)(xp稱為邊際利潤由此例分析過程可見, 在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上, 0)( xp即邊際收入邊際成本（見右圖）22yOx22xxxxC156)(23成本函數(shù)xxR9)(收入函數(shù))()(xCxR即收益最大虧損最大目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 AB定義定義2 . 設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù) ,

12、21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是凸凸的 .四、曲線的凹凸與拐點(diǎn)四、曲線的凹凸與拐點(diǎn)yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn) .yOx拐點(diǎn)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 內(nèi),0)( xf則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;(2) 在 I 內(nèi),0)( xf則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .證證:,21Ixx利用一階泰勒公式可得)()(1fxf)()(2fxf兩

13、式相加22!21)(12xx )()(21ff ,0)(時(shí)當(dāng) xf說明 (1) 成立; (2) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)證畢,221xx 記)(f )(1x)(f )(2x!2)(2f 22)(x!2)(1f 21)(x)(2)()(21fxfxf),(2)()(21fxfxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyO例例7. 判斷曲線4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 時(shí)，當(dāng)0 x;0 y,0時(shí)x, 0 y故曲線4xy 在),(上是向上凹的.說明說明:1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理, 可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線)(xfy ,0連續(xù)在點(diǎn)x0)(0 x

14、f或不存在,但)(xf 在 兩側(cè)異號異號,0 x則點(diǎn))(,(00 xfx是曲線)(xfy 的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 求曲線3xy 的拐點(diǎn). 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線3xy 的拐點(diǎn) .Oxy凹凸目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxy24362 )(3632xx對應(yīng)271121,1yy例例9. 求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令0 y得,03221xx3) 列表判別)0,(),0(3

15、2),(32y xy0320012711故該曲線在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及),(271132均為拐點(diǎn).上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132xyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作作 業(yè)業(yè)第三節(jié) P84頁頁 練習(xí)題練習(xí)題3.1 1, 2, 3.P87-88頁頁 練習(xí)題練習(xí)題3.2 1, 2, 3.P92-93頁頁 練習(xí)題練習(xí)題3.3 3.P103-104頁頁 綜合習(xí)題三綜合習(xí)題三 4, 6, 9.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別（條件是充要的）Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞增Ixxf

16、,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點(diǎn) : 導(dǎo)數(shù)為0 或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)(2) 第一充分條件)(xf 過0 x由正正變負(fù)負(fù))(0 xf為極大值)(xf 過0 x由負(fù)負(fù)變正正)(0 xf為極小值(3) 第二充分條件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf為極大值)(0 xf為極小值0)(,0)(00 xfxf定理3 注：當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí), 不等于極值不存在 .目錄 上頁

17、 下頁 返回 結(jié)束 最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別 .4. 連續(xù)函數(shù)的最值目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試問 為何值時(shí),axxaxf3sin31sin)(32x在時(shí)取得極值,還是極小.解解: )(xf由題意應(yīng)有0)(32 f2a又 )(xf2233()2sinf 時(shí)取得極大值：在2)(axf3)(32f1.,3coscosxxa)(3cos)cos(3232a,3sin3sin2xx 0求出該極值, 并指出它是極大即0121a目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè))(xfy 是方程042 yyy的一個(gè)解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf則)(xf在)(0 x(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示提示:,)(代入方程將xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明:20 x當(dāng)時(shí), 有.2sinxx 證明證明: 令xxxF2sin)(, 0)0(F, 則)(xFxxFsin)( )(xF是凸凸函數(shù))(xF即xx2sin)20( x3 .0)2(F2cosx0)2(),0(minFF0(自證)第五節(jié) y)(xF2Ox