開普勒三定律以及萬有引力定律

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1、行星運(yùn)動(dòng)（一）開普勒三定律以及萬有引力定律 二. 知識(shí)要點(diǎn)： （一）開普勒有關(guān)行星運(yùn)動(dòng)的三大規(guī)律： 1. 所有的行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 2. 對(duì)每一個(gè)行星而言，太陽行星的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。 3. 所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。其表達(dá)式為：，其中R是橢圓的軌道的半長(zhǎng)軸，T是行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期，k是一個(gè)與行星無關(guān)的常量。 （二）萬有引力定律： 1. 內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都是互相吸引的。兩個(gè)物體間的引力大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比。 2. 公式：。其中，稱

2、為萬有引力恒量。 3. 萬有引力定律的適用條件： 萬有引力定律適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的引力，具體有以下三種情況： （1）兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的尺度，兩物體可視為質(zhì)點(diǎn)，例如：行星繞太陽的旋轉(zhuǎn) （2）兩個(gè)均勻的球體間，其距離為兩球心的距離 （3）一個(gè)均勻的球體與一個(gè)形狀、大小均可忽略不計(jì)的物體即質(zhì)點(diǎn)之間，其距離為質(zhì)點(diǎn)與球心的距離。 4. 發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的重要意義： 它把地面上物體的運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律統(tǒng)一起來，第一次揭示了自然界中一種基本的相互作用力，使人們解放了思想，樹立了認(rèn)識(shí)宇宙自然規(guī)律的信心。 （三）引力常量的測(cè)定：卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn) （四）萬有引力和重力：

3、 重力是萬有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要的向心力。重力實(shí)際上是萬有引力的一個(gè)分力。另一個(gè)分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要的向心力，如圖所示，由于緯度的變化，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度隨緯度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大。通常的計(jì)算中因重力和萬有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即，常用來計(jì)算星球表面重力加速度的大小。在地球的同一緯度處，隨物體離地面高度的增大而減小，即。在赤道處，物體的萬有引力分解的兩個(gè)分力和剛好在一條直線上，則有：所以因地球自轉(zhuǎn)角速度很小，所以。 （五）對(duì)萬有引力定律的理解： 1.

4、 萬有引力的普遍性：萬有引力是普遍存在于宇宙中任何有質(zhì)量物體之間的基本的相互作用之一，任何客觀存在的兩部分有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互作用力。 2. 萬有引力的相互性：兩個(gè)物體相互作用的引力，是一對(duì)作用力和反作用力。它們大小相等，方向相反，分別作用在兩個(gè)物體上。 3. 萬有引力的特殊性：兩個(gè)物體間的萬有引力，只與他們本身的質(zhì)量和距離有關(guān)，和所在的空間的性質(zhì)無關(guān)，和周圍有無其它物體的存在無關(guān)。 三. 疑難辨析： 1. 既然任何兩個(gè)物體間都存在引力，為什么當(dāng)放在水平地面上的木塊A和木塊B很接近時(shí)，它們并沒有吸在一起？ 答：由于木塊的質(zhì)量相對(duì)于地球的質(zhì)量而言非常小，因此兩

5、木塊很接近時(shí)盡管距離不大，但它們間的引力相對(duì)于地球?qū)δ緣KA和地球?qū)δ緣KB的引力而言是微乎其微的，不足以克服地面對(duì)木塊的最大靜摩擦力，兩木塊不能吸在一起。 2. 由萬有引力定律公式可知，當(dāng)時(shí)，。這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？ 答：這個(gè)結(jié)論不對(duì)！ 萬有引力定律公式只適用于求兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)（或兩個(gè)物體均可視為質(zhì)點(diǎn)）之間的萬有引力（若兩個(gè)物體不能視為質(zhì)點(diǎn)，則要將它們分割成許多小塊（質(zhì)點(diǎn)），然后用此式去計(jì)算每一對(duì)小塊間的引力，最后將其中一個(gè)物體所受的各個(gè)引力進(jìn)行矢量合成）。 既然，就不能將兩個(gè)物體視為質(zhì)點(diǎn)了！我們不能將物理問題純數(shù)學(xué)化！ 3. 圖1中，A、B均為勻質(zhì)實(shí)心球，質(zhì)量分別為和，半徑分別為、，兩球面的最近距

6、離為，雖大于和，但兩球半徑均不可忽略，怎樣求A、B兩球間萬有引力的大??？（引力常量為G） 圖1 答：兩個(gè)勻質(zhì)實(shí)心球間的萬有引力等效于把兩球體的質(zhì)量分別集中于各自的球心的質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力。 A、B間萬有引力的大小為。 4. 一質(zhì)量分布均勻、粗細(xì)均勻、半徑為、質(zhì)量為的細(xì)圓環(huán)豎直放置。若在環(huán)心O的正上方挖一小缺口（對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為），如圖2所示，則其余部分對(duì)置于環(huán)心O處的質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的引力是多大？方向如何？（引力常量為G） 圖2 答：若是完整的細(xì)圓環(huán)（不挖小缺口），因?yàn)橥恢睆絻啥颂幍年P(guān)于 O對(duì)稱的兩小段圓弧對(duì)置于O處的質(zhì)點(diǎn)的引力等大反向，所以整個(gè)圓環(huán)對(duì)置于O處的質(zhì)點(diǎn)的引力為

7、零。 顯然，在環(huán)心O的正上方挖去一小缺口（對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為，對(duì)應(yīng)的質(zhì)量為）后，圓環(huán)的剩余部分對(duì)置于O處的質(zhì)點(diǎn)的引力方向豎直向下，大小為 。 5. 在地球表面的物體所受的重力是否等于地球?qū)υ撐矬w的引力？ 答：嚴(yán)格地講，除在兩極外，地球表面的物體所受的重力不等于地球?qū)υ撐矬w的引力，因?yàn)榈厍蛟诓煌５刈赞D(zhuǎn)，除在兩極外，地面上的一切物體隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)，這些圓周平面垂直于地軸而和緯線相合。某物體隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由地球?qū)υ撐矬w引力的一個(gè)分力來提供，地球?qū)υ撐矬w引力的另一個(gè)分力等于該物體所受的重力。例如圖3中放在P處的物體所受的重力等于地球?qū)λ囊εc它隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力的矢量差（說明：若

8、物體在赤道上，則，由于與同向，且）。 圖3 需要指出，某物體所受的重力與地球?qū)υ撐矬w的引力的差值是很小的。以需要向心力最大的赤道上的物體為例，通過有關(guān)計(jì)算表明，該物體需要的向心力僅為地球?qū)λ囊Φ?.34%，即重力為引力的99.66%。同學(xué)們可以計(jì)算一下。 有興趣的同學(xué)還可想象，假如地球自轉(zhuǎn)的角速度增大，大到某一數(shù)值，使赤道上某物體需要的等于，那么該物體將要“漂浮”起來！ 【典型例題】 1. 計(jì)算物體間的萬有引力 [例1] 一個(gè)物體在地球表面所受的重力為，則在距地面高度為地球半徑的2倍時(shí)，所受的引力為（ ） A. B. C. D. 解

9、析：當(dāng)物體在地球表面時(shí)有：① 當(dāng)物體在距地面高度為地球半徑的2倍時(shí)有：② 由①、②解得：故正確的選項(xiàng)為D。 [例2] 如圖所示，一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體，緊貼球的邊緣挖去一個(gè)半徑為的球形空穴后，對(duì)位于球心和空虛中心連線上、于球心相距的質(zhì)點(diǎn)的引力是多大？ 解析：完整的均勻球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)的引力為，這個(gè)引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力，與半徑為的小球?qū)|(zhì)點(diǎn)的引力之和，即。 設(shè)半徑為的小球質(zhì)量為，則 所以挖去球穴后的剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)的引力： 點(diǎn)評(píng)：有的同學(xué)認(rèn)為，應(yīng)先設(shè)法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的質(zhì)量集中于這個(gè)重心上，引用萬有引力公式求解，事

10、實(shí)上這是不正確的。因?yàn)橛?jì)算萬有引力的公式，只能適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻的球體，挖去球穴后的剩余部分已不再是均勻球了，所以不能直接使用公式計(jì)算引力。本題巧妙地利用了“填補(bǔ)法”將萬有引力的計(jì)算轉(zhuǎn)化，使它符合公式的適用條件。 2. 計(jì)算地球（或星球）表面的重力加速度 [例3] 設(shè)地球表面的重力加速度為，物體在距地心（是地球半徑）處，由于地球的作用而產(chǎn)生的重力加速度，則：為（ ） A. 1 B. C. D. 解析：由得：所以：，故正確的選項(xiàng)為D。 3. 計(jì)算物體對(duì)地球表面的壓力 [例4] 地球質(zhì)量，半徑，試計(jì)算的物體分別在地球的北極及赤道地面上時(shí)對(duì)地面的

11、壓力。 解析：由于北極在地球的自轉(zhuǎn)軸上，物體在此處不需要向心力，所以地面對(duì)物體的支持力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力。 故 根據(jù)牛頓第三定律，物體對(duì)地面的壓力與地面對(duì)物體的支持力大小相等，方向相反。即，方向沿半徑之向地球的球心。 由于地球的自轉(zhuǎn)，在赤道上的物體需要有一個(gè)向心力，而這個(gè)向心力是由于物體受到的合外力來提供，而物體在赤道上受到萬有引力F和地面對(duì)物體的支持力作用，由得：，代入數(shù)值，計(jì)算得到 ，所以，在赤道上物體對(duì)地面的壓力大小為，方向沿半徑指向地球球心。 4. 計(jì)算地球（或星球）的質(zhì)量或平均密度 [例5] 地核的體積約為整個(gè)地球體積的16%，地核的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的34%

12、，經(jīng)估算，地核的平均密度為 kg/m3。（結(jié)果取兩位有效數(shù)字，引力常量，地球半徑） 解析：題目中將地核的體積和質(zhì)量聯(lián)系起來，本身就對(duì)解題思路做了明顯的提示，即先求地球的密度，再求地核的密度，由于此題是估算，可以利用地球表面的重力加速度與地球的質(zhì)量、半徑的關(guān)系求出地球的質(zhì)量，進(jìn)而確定地球的密度，由的地球的平均密度為，代入數(shù)據(jù)得，據(jù)題設(shè)得，，由得：，則地核的平均密度為。 【模擬試題】 1. 人們對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)有“地心說”和“日心說”兩種，下列敘述中正確的是（ ） A. 太陽東升西落的現(xiàn)實(shí)，說明“地心說”是有科學(xué)道理的 B. “日心說”否定了“地心說”是科學(xué)

13、的，因此“日心說”是完美的學(xué)說 C. “日心說”是人類認(rèn)識(shí)自然過程中的又一進(jìn)步，但也存在一定的缺陷 D. 以上說法均不正確 2. 下列事例中，不是由萬有引力起決定作用的物理現(xiàn)象是（ ） A. 月亮總是在不停地繞著地球轉(zhuǎn)動(dòng) B. 地球周圍包圍著稠密的大氣層，它們不會(huì)散發(fā)到太空去 C. 潮汐 D. 把許多碎鉛塊壓緊，就成一塊鉛塊 3. 好多科學(xué)家認(rèn)為，在冥王星的外面存在太陽系的第十顆行星，假如第十顆行星真的存在，關(guān)于第十顆行星的下列判斷，肯定正確的是（ ） A. 自轉(zhuǎn)周期一定比地球大 B. 公轉(zhuǎn)周期一定比地球大 C. 質(zhì)量一定比地球大 D. 密度一定比地球大

14、4. 已知下面哪組數(shù)據(jù)可以計(jì)算出地球的質(zhì)量（引力常數(shù)G為已知）（ ） A. 月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期及月球到地球中心的距離 B. 地球“同步衛(wèi)星”離地面的高度 C. 地球繞太陽運(yùn)行的周期及地球到太陽中心的距離 D. 人造地球衛(wèi)星在地面附近的遠(yuǎn)行速度和運(yùn)行周期 5. 下列說法中正確的是（ ） A. 總結(jié)出關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)三條定律的科學(xué)家是開普勒 B. 總結(jié)出萬有引力定律的物理學(xué)家是伽俐略 C. 總結(jié)出萬有引力定律的物理學(xué)家是牛頓 D. 第一次測(cè)量出萬有引力常量的物理學(xué)家是卡文迪許 6. 對(duì)萬有引力定律表達(dá)式，下列說法正確的是（ ） A. 公式中F應(yīng)理解為、所受引力

15、之和 B. 公式中G為引力常量，它是由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的 C. 當(dāng)趨近于零時(shí)，萬有引力趨近于無窮大 D. 、受到的引力總是大小相等，方向相反，是一對(duì)平衡力 7. 假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，則仍靜止在赤道附近的物體變大的物理量是（ ） A. 地球的萬有引力 B. 自轉(zhuǎn)向心力 C. 地面的支持力 D. 重力 8. 設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間開采后，月球仍可看作是均勻的球體，月球仍沿開采前的圓周軌道運(yùn)動(dòng)，則與開采前相比（ ） A. 地球與月球間的萬有引力將變大 B. 地球與月球間的萬有引力將變小 C. 月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變長(zhǎng) D.

16、 月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變短 9. 某天體半徑是地球半徑的K倍，密度是地球的P倍，則該天體表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 10. 假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比；火星的半徑與地球的半徑之比，那么火星表面的重力加速度與地球表面處的重力加速度之比為（ ） A. B. C. D. 11. 在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種學(xué)說叫做“宇宙膨脹說”，這種學(xué)說認(rèn)為萬有引力常量G在緩慢地減小。根據(jù)這一理論，在很久很久以前，太陽系中地球的公轉(zhuǎn)情況與現(xiàn)在相比（

17、 ） A. 公轉(zhuǎn)半徑較大 B. 公轉(zhuǎn)周期T較小 C. 公轉(zhuǎn)速率較大 D. 公轉(zhuǎn)角速度較小 12. 兩個(gè)質(zhì)量都為的小球，當(dāng)它們相距時(shí)，它們之間的萬有引力為 N。 13. 某行星的半徑是地球半徑的4倍，質(zhì)量是地球的48倍，那么該行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 倍。 14. 如果地球自轉(zhuǎn)速度加快可以使赤道上的物體克服地球引力而脫離地面飄浮起來，這時(shí)地球自轉(zhuǎn)的最大周期T= （地球半徑為R，地面重力加速度為）。 15. 地球表面重力加速度為，在離地面高處的重力加速度 g（已知地球半徑為） 16. 已知火星的半徑是地

18、球半徑的，火星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的。如果地球上質(zhì)量為的人到火星上去，則可知，此人在火星表面的質(zhì)量為 kg，重力是 N；在火星表面由于火星的引力產(chǎn)生的加速度大小為 m/s2，在地面上可舉質(zhì)量杠鈴的人，到火星上用同樣的力可舉的質(zhì)量為 kg。（地球表面重力加速度為） 17. 中子星是由密集的中子組成的星體，具有極大的密度。通過觀察已知某中子星的自轉(zhuǎn)速度，該中子星并沒有因?yàn)樽赞D(zhuǎn)而解體，根據(jù)這些事實(shí)人們可以推知中子星的密度。試寫出中子星的密度最小值的表達(dá)式為 ，計(jì)算出該中子星的密度至少為 kg/m3。（假設(shè)中子通過萬有引力結(jié)合成

19、球狀星體，保留2位有效數(shù)字） 18. 在某星球上，宇航員用彈簧稱得質(zhì)量為的砝碼重為F，乘宇宙飛船在靠近該星球表面空間飛行，測(cè)得其環(huán)繞周期是T。根據(jù)上述數(shù)據(jù)，試求該星球的質(zhì)量。 19. 一行星與地球運(yùn)動(dòng)情況相似，此行星一晝夜為，若彈簧秤在其赤道上比兩極處測(cè)同一物體的重力時(shí)讀數(shù)小了10%，則此行星的平均密度多大？ （） 【試題答案】 1. C 2. D 3. B 4. AD 5. ACD 6. B 7. B 8. BD 9. C 10. A 11. BC 12. 13. 3 14. 15. 16. 60，240，4，150 17. ， 18. 19.