《高斯定理 數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高斯定理 數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1高斯定理高斯定理摘要：摘要：高斯定理是電磁學(xué)的一條重要定理，它不僅在靜電場中有重要的應(yīng)用，而且也是麥克斯韋電磁場理論中的一個重要方程。本文比較詳細的介紹了高斯定理，并提供了數(shù)學(xué)法、直接證明法等方法證明它，總結(jié)出應(yīng)用高斯定理應(yīng)注意的幾個問題，從中可以發(fā)現(xiàn)高斯定理在解決電磁學(xué)相關(guān)問題時的方便之處。最后把高斯定理推廣到萬有引力場中去。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：高斯定理；應(yīng)用；萬有引力場Gaussian theoremAbstract:Abstract: Gaussian theorem is an important theorem of electromagnetism. It not only has
2、important application in electrostatic field, but also is an important equation in Maxwell electromagnetic field theory. This thesis introduces the Gaussian theorem in detail and proves it by using many methods such as the mathematical method and the direct proof method etc.It also introduces the se
3、veral problems that we should pay attention to when we apply and use Gaussian theorem. It can be found convenient when we use the Gaussian theorem to solve the problems related to the electromagnetism. The last part of this thesis is to introduce the Gauss Theorem to the Gravitational Field.Key word
4、s: Gaussian theorem; Application; Gravitational field2目目 錄錄1 高斯定理的表述高斯定理的表述.11.1 數(shù)學(xué)上的高斯公式.11.2 靜電場的高斯定理.11.3 磁場的高斯定理.22.1.1 靜電場的高斯定理.22.1.2 磁場的高斯定理.42.2 高斯定理的直接證明.52.3 高斯定理的另一種證明.63 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用.84 4 將高斯定理推廣到萬有引力場中將高斯定理推廣到萬有引力場中.114.1 靜電場和萬有引力場中有關(guān)量的類比.114.2 萬有引力場中的引力場強度矢量.114.3 萬有引力場中的高斯定理.125 結(jié)束語
5、結(jié)束語.12參考文獻參考文獻.14謝辭謝辭.153引言引言高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理學(xué)研究方面，應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)用高斯定理求曲面積分、靜電場、非靜電場或磁場非常方便，特別是求電場強度或者磁感應(yīng)強度。雖然有時候應(yīng)用高斯定理求解電磁學(xué)問題很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的運用高斯定理解決電磁學(xué)問題，我們首先應(yīng)對高斯定理有一定的了解。1 高斯定理的表述高斯定理的表述1.1 數(shù)學(xué)上的高斯公式數(shù)學(xué)上的高斯公式 設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面所圍成，若函數(shù)在上VS,P Q RV連續(xù)，且有一階連續(xù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，則 11SVPQRdxdydzPdydzQdzdxRdxdyxyz 其中的方
6、向為外發(fā)向。11 式稱為高斯公式1。S1.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理一半徑為 的球面包圍一位于球心的點電荷，在這個球面上，場強的rSqE方向處處垂直于球面，且的大小相等,都是。通過這個球面的電E204qErS通量為 222200004444eSSSqqqqE dSdSdSrrrr 其中是球面積分，等于。從此例中可以看出，通過球面的電通量只SdS 24 rS與其中的電量有關(guān)，與高斯面的半徑 無關(guān)。若將球面變?yōu)槿我忾]合曲面，qrS由電場線的連續(xù)性可知，通過該閉合曲面的電通量認(rèn)為。0q若閉合曲面內(nèi)是負(fù)電荷，則的方向處處與面元取相反，可計算SqEdS 4穿過面的電通量為。若電荷在閉合曲面之外
7、，它的電場線就會穿S0/qqS入又穿出面，通過面的電通量為零2。SS如果閉合面內(nèi)有若干個電荷，由場強疊加原理可知，通過S123,nq q q q面的電通量為 S11101nnneiiiSSSiiiE dSE dSE dSq 此式表明，在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意一閉合曲面的電通量，等于包圍在該面內(nèi)的所有電荷的代數(shù)和的分之一，這就是真空中的高斯定理。通常把閉0合曲面稱為高斯面，對于連續(xù)分布的電荷，電荷體密度為，則上式可以表S述為01 eSVE dSdV 1.3 磁場的高斯定理磁場的高斯定理 由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內(nèi)部出來，否則這條磁力線就不會閉合
8、了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進入曲面的磁通量為負(fù)，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為零。這個規(guī)律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。用式子表示： 0SB dS 與靜電場中的高斯定理相比較，兩者有著本質(zhì)上的區(qū)別。在靜電場中，由于自然界中存在著獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，只要閉合面內(nèi)有凈余的正或者負(fù)電荷，穿過閉合面的電通量就不等于零，即靜電場是有源場；而在磁場中，由于自然界中沒有單獨的磁極存在，極和極是不能分離的，磁NS感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零，即磁場是無源場2。2 高斯定理的證明高斯定理的證明2
9、.1 高斯定理的數(shù)學(xué)證明高斯定理的數(shù)學(xué)證明2.1.1 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理靜電場中高斯定理的證明主要分以下四種情況：5(a)點電荷在球面中心，點電荷的電場強度為 球面的電通量q3014qErr為 21232200001114444SSSqqE dSr dSdSrrrr (b)點電荷在任意閉曲面外，閉曲面的通量為S 223300333011()441114SSSSqqE dSr dSxdydzydxdzzdxdyrrqxdydzydxdzzdxdyrrr 根據(jù)高斯公式 23SVPQRdxdydzPdydzQdzdxRdxdyxyz 并考慮到在內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，故 22 式可以用高3
10、33,xyzPQRrrrS斯公式計算。將 22 式代入 23 式得3030333033301414111404SSSSVqE dSr dSrqxdydzydxdzzdxdyrqxdydzydxdzzdxdyrrrxyzqrrrdxdydzxyz (c)點電荷在任意閉曲面內(nèi)在任意閉曲面內(nèi)以點電荷為球心作一輔助球面，其法向朝內(nèi)，根據(jù)Sq1S21 式可知點電荷在閉曲面的電通量為零，即：q1SS10SSE dSE dS 24120SSSqE dSE dSE dS 其中式 24 中和大小相等，法向相反。1S2S6(d)點電荷系在閉曲面內(nèi)外設(shè)閉曲面內(nèi)的點電荷為；閉曲面外的點電荷為根據(jù)23,nq q qq
11、1nq ；上述討論可得 11101nnniiiSSSiiiE dSEdSE dSq 這就是靜電場中的高斯定理3。2.1.2 磁場的高斯定理磁場的高斯定理磁場中高斯定理的證明主要分以下四種情況：(a)電流元在球面中心Idl由磁通量的定義和畢奧薩法爾定律為了方便，把簡0024IdlrdBr dB 寫為，則可得電流元的磁感應(yīng)強度對球面的磁通量為B 00002244SSSIdlrIrdSB dSdSdlrr 因為，所以0/rdS 0SB dS (b)電流元在任意閉曲面外Idl電流元的磁感應(yīng)強度對閉曲面的磁通量為 0024SSIdlrB dSdSr 因為，并設(shè)，則rxiy jzkdldlkdlrydli
12、xdl j 代入原式得 0022244SSSIdlIdlryxB dSdSdydzdxdzrrr 根據(jù)高斯公式 SVPQRdxdydzPdydzQdzdxRdxdyxyz 同理可得 00222044SSSIdlIdlryxB dSdSdydzdxdzrrr (c)電流元在任意閉曲面內(nèi)Idl7以此類推，在閉曲面內(nèi)，以電流元為球心作一輔助球面，因為S1S10SSB dSB dS 所以 1 0SSB dSB dS (d)電流元在閉曲面上Idl由上述易知，所有的電流元在閉曲面上的磁通量也為零，即0SB dS 這正是磁場的高斯定理4。2.2 高斯定理的直接證明高斯定理的直接證明圖圖 1 1如圖 1 所示
13、，電荷量為的帶電體中任一點處的電荷密度為,則由電場Q1( )r 強度定義知該帶電體在空間 點產(chǎn)生的電場強度為 r 2511130( )4VrERdVR 式中為原點位矢，為原點到場點的位矢。將對任意閉合曲面求1r 1Rrr ES面積分，即得 261SVE dSEdV 由 25 式可得81111113300( )( )1144VVrrERdVR dVRR 由于算符是對的微分算符，與 無關(guān)，故r1r 27111121111300111111000111( )( )44( )11( ) 4( )()4VVVVRErdVrdVRRrrR dVrrr dV 式中最后一步用到了函數(shù)的篩選性，將式 27 代入
14、式 25 中得：10( )SVrE dSdV (1)當(dāng)電荷包含在閉合曲面內(nèi)時，則 QS100( )SVrQE dSdV (2)當(dāng)電荷的不包含在閉合曲面內(nèi)時，則QS10( )0SVrE dSdV 由此高斯定理得證。2.3 高斯定理的另一種證明高斯定理的另一種證明圖圖 2 2如圖 2 所示，設(shè)有一電量為孤立的正點電荷，現(xiàn)以點電荷所在處為球心，q任意 為半徑作一球面為高斯面，球面上任意點的場強為 方向沿r304qErr徑向離開球心，和球面上該點的法線正方向相同。通過該閉合曲面的電通量為 9與半徑 無232200004444eSSSqqqqE dSr dSdSrrrr r關(guān)。這一結(jié)果根據(jù)電通量的定義表
15、明, 電量為的正點荷發(fā)出條電場線, q0/q由于電通量與半徑無關(guān), 說明電場線是不間斷的；若為負(fù)電荷, 則表明有q條電場線匯集到這個負(fù)點電荷上, 同樣這些電場線也是不間斷的。由于電0q場線是不間斷的, 面外電荷不影響閉合曲面的電通量?，F(xiàn)在我們設(shè)想這個點電荷不位于球心而位于球面內(nèi)任意點處,那么據(jù)以上分析同樣得穿過這個閉合球面的電通量亦為?，F(xiàn)在我們進一步設(shè)想, 電量為的點電荷不是位于球面內(nèi)0/qq而是位于任意的閉合曲面內(nèi), 則同樣得到結(jié)論, 通過這個閉合曲面的電通量。0/q若一閉合曲面內(nèi)包含個點電荷, 其中個是正的, 個是負(fù)的。N()M MNNM設(shè)個正點電荷所帶的總電量為, 則這個點電荷發(fā)出條不間
16、斷的MMQM0/MQ電場線；個負(fù)點電荷所帶的總量為， 則這個負(fù)點電荷匯集NMN MQNM條不間斷的電場線，據(jù)電通量的定義,發(fā)出的即穿出閉合曲面為正, 0MNQ匯集的即進人閉合曲面的為負(fù), 所以通過閉合曲面的電通量為 00|MNMeSQQE dS 即 0MMNeSQQE dS 這里有可能出現(xiàn)面內(nèi)一些正電荷發(fā)出的電場線沒有穿出閉合曲面而直接匯集到負(fù)電荷上，也就是說，負(fù)電荷匯集的電場線不是由閉合曲面外來的，而是由閉合曲面內(nèi)來的，這并不影響我們的結(jié)論。因此就一般情況而言，若任一閉合曲面內(nèi)包圍的凈余電荷為，則12,nq qq穿過這個閉合曲面的電通量為 101neiSiE dSq 由此，高斯定理得證5。1
17、03 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用高斯定理的一個重要應(yīng)用，是用來計算帶電體周圍電場的電場強度。雖然高斯定理的適用范圍很廣，但用它求帶電體的電場分布時有很大的局限性，只對那些電荷分布高度對稱的帶電體，才能使用高斯定理求場強。在選擇高斯面時，應(yīng)注意：場強是面積元處的，隨的不同，也不同；場強1EdS EdS E2是全部帶電體系中（無論在高斯面內(nèi)還是在高斯面外）所有電荷產(chǎn)生的總場E強，而只是對高斯面內(nèi)的電荷求和，這是因為高斯面外的電荷對總通量1niiq沒有貢獻，但不是對場強沒有貢獻；高斯面內(nèi)所包圍的電荷等于零時，e3不一定等于零，只說明通過高斯面的電通量等于零；高斯定理雖由庫侖ES4定律引申而來，但它
18、的適用范圍廣，而不論對靜止電荷還是運動電荷都適用，但應(yīng)用時，必須在電場具有某種對稱性時（球、軸、面對稱） ，才有可能；在5應(yīng)用高斯定理時，除應(yīng)注意到場強具有對稱性外，對高斯面的選取還應(yīng)注意到：所選高斯面應(yīng)平行電場線或垂直電場線；當(dāng)高斯面法向與電場線平行時，高斯面上的場強的大小應(yīng)處處相等，這樣可提出積分號外，積分被簡化為對面EE元的取和。利用高斯定理求場強的一般步驟：（1）進行對稱性分析，即由電荷分布的對稱性，分析電場分布的對稱性，判斷能否用高斯定理來求電場強度的分布（常見的對稱性有球?qū)ΨQ性、軸對稱性、面對稱性等） ，這是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點；（2）根據(jù)場強分布的特點，作適當(dāng)?shù)母咚姑?，要?/p>
19、：待求場強的場點應(yīng)在此高斯面上，穿過該高斯面的電通量容易計算；一般地，高斯面各面元的法線矢量與平行或垂直，與平行時，的大小要求處處相等，使得能nEnEEE提到積分號外面；（3）計算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯E dS 定理求出場強。應(yīng)該指出，在某些情況下（對稱） ，應(yīng)用高斯定理是比較簡單的，但一般情11況下，以點電荷場強公式和疊加原理以相互補充，還有其它的方法，應(yīng)根據(jù)具體情況選用。利用高斯定理，可簡捷地求得具有對稱性的帶電體場源（如球型、圓柱形、無限長和無限大平板型等）的空間場強分布。計算的關(guān)鍵在于選取合適的閉合曲面高斯面。高斯定理的應(yīng)用舉例例一：求無限長均勻帶電直線的電場
20、分布，已知線上線電荷密度為。圖圖 3 3解法一：（利用庫侖定律求解） 如圖 3 所示，我們選擇電荷元為長度上所帶電量，即，在dqdldqdldq點產(chǎn)生的元場強的大小 P204dldEr為計算該積分，首先必須統(tǒng)一積分變量。為便于計算，將變量 和 統(tǒng)一lr用表達。由圖 3 可知，由又可以得secrRtanlRtanlR，代入及 后，可得 2secdlRd dlr04ddER 對于每一個正 軸上的長度，一定存在另一個對稱的負(fù)軸上的，YdlYdl這兩個長度上的電荷元在點產(chǎn)生的場強分量相互抵消，因此求總場強時我PY們只需對積分。注意，積分限為和，則有xdEcosxdEdE222200022cossin4
21、42xEdEdRRR 12圖圖 4 4解法二：（利用高斯定理求解） 帶電直線的電場分布具有軸對稱性，考慮離直線距離為的一點處的場RP強（如圖 4 所示） 。由于空間各向同性而帶電直線為無限長，且均勻帶電，所E以電場分布具有軸對稱性，因而點的電場方向唯一的可能是垂直于帶電直線P而沿徑向，并且和點在同一圓柱面（以帶電直線為軸）上的各點的場強大小P也都相等，而且方向都沿徑向。作一個通過點，以帶電直線為軸，高為 的圓筒形封閉面為高斯面，通PlS過面的電通量為 S1tbeSSSSE dSE dSE dSE dS 在面的上、下底面（和）上，場強方向與底面平行，因此，上式等號右StSbS側(cè)后面兩項等于零。而
22、在側(cè)面（）上各點的方向與各該點的法線方向相同，1SE所以有 112SssE dSE dSEdSERl 此封閉面內(nèi)包圍的電荷 intql由高斯定理得 02lERl由此得 02ER由上所述，解法一與解法二的結(jié)果相同，由解法一和解法二比較可知，當(dāng)條件允許時，利用高斯定理計算場強分布要簡便得多。134 將高斯定理推廣到萬有引力場中將高斯定理推廣到萬有引力場中4.1 靜電場和萬有引力場中有關(guān)量的類比靜電場和萬有引力場中有關(guān)量的類比靜電學(xué)中的庫侖定律： 122014rq qFer41牛頓萬有引力定律： 122rm mFGer42 以上 41、42 兩式在數(shù)學(xué)形式上完全等同。比較兩式可得如下結(jié)論：電學(xué)1中相
23、當(dāng)于力學(xué)中的，為了記憶的方便，我們記為（下同）于014G014G是有 014 G43 上式中電學(xué)中電12212112208.85 10(),6.67 10()CNmGN mkg2荷相當(dāng)于力學(xué)中的質(zhì)量，于是有qm 44qm4.2 萬有引力場中的引力場強度矢量萬有引力場中的引力場強度矢量 靜電場中點電荷在電場中受到的電場力為 45FqE 經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點在引力場中受到的重力為 46Pmg 和電場強度類似，在萬有引力場中定義一個引力場強度矢量（以下簡稱引力場強），則 g 14 47 Eg 且規(guī)定：試探質(zhì)點在引力場中某點受到的力與其質(zhì)量之比定義為引力場中f該點的引力場強 48fgm 如果已知引力場中某點
24、的引力場強，則質(zhì)點在該處受到的引力可由下式g 給出 49fmg 4.3 萬有引力場中的高斯定理萬有引力場中的高斯定理一般說來，引力場中的某點的是該點位置 的矢量函數(shù)，對于多個質(zhì)點g r產(chǎn)生的引力場，引力場強滿足疊加原理。有了萬有引力場強的定義后，就可以仿照電通量的概念，在引力場中定義引力場強通量。對某面積微元的引eg力場強通量：。其中是引力場強與面積微元的夾cosgdg dSgdS g dS 角，因此，對某面的總引力場強通量為S 410 gSg dS 有了引力場強通量的概念，就可以討論穿過閉合曲面引力場強通量的問題。仿照電場中高斯定理的證明過程可以證明引力場中的高斯定理。由43、44、47 式
25、，并考慮到閉合曲面面積微元的法線正方向定義后，不難得到穿過某閉合曲面的引力場強通量應(yīng)滿足S 411014iiSSE dSqg dSgm 上式稱為萬有引力場中的高斯定理，與靜電場中的高斯定理具有相似的形式。根據(jù)散度的定義，我們可以將 411 式寫成相應(yīng)的微分形式 41204EgG 此式說明萬有引力場是一種有源場，它的源可認(rèn)為就是質(zhì)量分布6。155 結(jié)束語結(jié)束語根據(jù)上述分析可知，對于電電磁學(xué)中重要的基本定理之一的高斯定理，我們可以運用數(shù)學(xué)法、直接法等方法來證明，在電磁學(xué)中，當(dāng)條件允許時，利用高斯定理可以很方便的解決相關(guān)的問題。參考文獻參考文獻1 高等數(shù)學(xué)第二冊（第三版）M.北京：高等教育出版社，1996 年第 3 版：2342352 張丹海、宏小達.簡明大學(xué)物理（第二版）M.北京：科學(xué)出版社，2008 年第 2 版：173176 1962003 籍延坤.大連鐵道學(xué)院學(xué)報J.2004 年 9 月第 25 卷第 3 期：13-154 梁燦彬、秦光戎等.電磁學(xué)（第二版）M.北京：高等教育出版社，2004 年第二版：1424 1821855 郭慧成.吉林師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）J.2006 年 5 月第 2 期：1036 陳國云.駱成洪等.南昌大學(xué)學(xué)報J.2008 年 12 月第 30 卷第 4 期：354358
高斯定理 數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文
