高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機變量的分布列一學案 新人教A版選修23

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1、 2.1.2　離散型隨機變量的分布列(一) 學習目標　1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念.2.了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.3.掌握離散型隨機變量分布列的表示方法和性質(zhì)． 知識點　離散型隨機變量的分布列 思考　擲一枚骰子，所得點數(shù)為X，則X可取哪些數(shù)字？X取不同的值時，其概率分別是多少？你能用表格表示X與P的對應關(guān)系嗎？ 答案　(1)x＝1,2,3,4,5,6，概率均為. (2)X與P的對應關(guān)系為 X 1 2 3 4 5 6 P 梳理　(1)離散型隨機變量的分布列的概念 一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為

2、x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列． (2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②＝1. 1．在離散型隨機變量分布列中每一個可能值對應的概率可以為任意的實數(shù)．(　　) 2．在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之積．(　　) 3．在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為

3、1.(　√　)  類型一　離散型隨機變量分布列的性質(zhì) 例1　設隨機變量X的分布列為P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常數(shù)a的值； (2)求P； (3)求P. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 解　(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝. (2)∵P＝k(k＝1,2,3,4,5)， ∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. (3)當

4、1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n. 跟蹤訓練1　(1)設隨機變量ξ只能取5,6,7，…，16這12個值，且取每一個值概率均相等，若P(ξ

5、＝. ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝. 類型二　求離散型隨機變量的分布列 例2　已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 分別求出隨機變量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　兩個相關(guān)的隨機變量分布列的求法 解　由η1＝ξ知，對于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3時，η1的值分別為－1，－，0，，1，， 所以η1的分布列為 η1 －1 － 0 1 P 由η2＝ξ2知，對于ξ的不同取值－2,2及－1

6、,1，η2分別取相同的值4與1，即η2取4這個值的概率應是ξ?。?與2的概率與的和，η2取1這個值的概率應是ξ?。?與1的概率與的和，所以η2的分布列為 η2 0 1 4 9 P 反思與感悟　(1)若ξ是一個隨機變量，a，b是常數(shù)，則η＝aξ＋b也是一個隨機變量，推廣到一般情況有：若ξ是隨機變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則η＝f(ξ)也是隨機變量，也就是說，隨機變量的某些函數(shù)值也是隨機變量，并且若ξ為離散型隨機變量，則η＝f(ξ)也為離散型隨機變量． (2)已知離散型隨機變量ξ的分布列，求離散型隨機變量η＝f(ξ)的分布列的關(guān)鍵是弄清楚ξ取每一個值時對

7、應的η的值，再把η取相同的值時所對應的事件的概率相加，列出概率分布列即可． 跟蹤訓練2　已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 分別求出隨機變量η1＝－ξ＋，η2＝ξ2－2ξ的分布列． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　兩個相關(guān)隨機變量分布列的求法 解　由η1＝－ξ＋，對于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝，，，－，－，－，相應的概率值為，，，，，. 故η1的分布列為 η1 － － － P 由η2＝ξ2－2ξ，對于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得

8、η2＝8,3,0，－1,0,3. 所以P(η2＝8)＝，P(η2＝3)＝＋＝， P(η2＝0)＝＋＝，P(η2＝－1)＝. 故η2的分布列為 η2 8 3 0 －1 P 例3　某班有學生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．現(xiàn)從中抽1人，其血型為隨機變量X，求X的分布列． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　將O，A，B，AB四種血型分別編號為1,2,3,4， 則X的可能取值為1,2,3,4. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝

9、＝. 故X的分布列為 X 1 2 3 4 P 反思與感悟　求離散型隨機變量分布列的步驟 (1)首先確定隨機變量X的取值； (2)求出每個取值對應的概率； (3)列表對應，即為分布列． 跟蹤訓練3　一袋中裝有5個球，編號分別為1,2,3,4,5.在袋中同時取3個球，以X表示取出的3個球中的最小號碼，寫出隨機變量X的分布列． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　隨機變量X的可能取值為1,2,3. 當X＝1時，即取出的3個球中最小號碼為1，則其他2個球只能在編號為2,3,4,5的4個球中取，故有P(X＝1)＝＝＝；

10、當X＝2時，即取出的3個球中最小號碼為2，則其他2個球只能在編號為3,4,5的3個球中取，故有P(X＝2)＝＝； 當X＝3時，即取出的3個球中最小號碼為3，則其他2個球只能是編號為4,5的2個球，故有P(X＝3)＝＝. 因此，X的分布列為 X 1 2 3 P 類型三　離散型隨機變量的分布列的綜合應用 例4　袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù)． (1)求袋中

11、原有的白球的個數(shù)； (2)求隨機變量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　排列、組合知識在分布列中的應用 解　(1)設袋中原有n個白球，由題意知 ＝＝＝， 可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3個白球． (2)由題意，ξ的可能取值為1,2,3,4,5. P(ξ＝1)＝； P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝； P(ξ＝5)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 P (3)因為甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，記

12、“甲取到白球”為事件A， 則P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝. 反思與感悟　求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定ξ的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出ξ取各個值的概率，即必須解決好兩個問題，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一個值時的概率． 跟蹤訓練4　北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮．現(xiàn)有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表： 福娃名稱 貝貝 晶晶 歡歡 迎迎 妮妮 數(shù)量 1 2 3 1 1 從中隨機地選取5只． (1)求選取的5只恰好組成完整的“奧

13、運會吉祥物”的概率； (2)若完整的選取奧運會吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推，設X表示所得的分數(shù)，求X的分布列． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　排列、組合知識在分布列中的應用 解　(1)選取的5只恰好組成完整的“奧運會吉祥物”的概率P＝＝＝. (2)X的取值為100,80,60,40. P(X＝100)＝＝， P(X＝80)＝＝， P(X＝60)＝＝＝， P(X＝40)＝＝. 所以X的分布列為 X 100 80 60 40 P 1．已知隨機變量X的分布列如下： X

14、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m 則P(X＝10)等于(　　) A. B. C. D. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　C 解析　P(X＝10)＝1－－…－＝. 2．已知隨機變量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)等于(　　) X －1 0 1 P a b c A. B. C. D. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　D 解析　∵a

15、，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c. 由分布列的性質(zhì)得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝. ∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1) ＝1－P(X＝0)＝1－＝. 3．已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 則下列計算結(jié)果錯誤的是(　　) A．a(chǎn)＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　C 解析　易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，故C錯誤．

16、4．設ξ是一個離散型隨機變量，其分布列為 ξ －1 0 1 P 1－2q q2 則P(ξ≤0)＝________. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案?。? 解析　由分布列的性質(zhì)，得1－2q≥0，q2≥0， ＋(1－2q)＋q2＝1， 所以q＝1－，q＝1＋(舍去)． P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0) ＝＋1－2＝－. 5．將一枚骰子擲兩次，求兩次擲出的最大點數(shù)ξ的分布列． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　由題意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)， 則P(ξ＝

17、1)＝＝； P(ξ＝2)＝＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝； P(ξ＝5)＝＝＝； P(ξ＝6)＝＝. 所以拋擲兩次擲出的最大點數(shù)構(gòu)成的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 1．離散型隨機變量的分布列，不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一個值時的概率的大小，從而反映了隨機變量在隨機試驗中取值的分布情況． 2．一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和． 一、選擇題 1．設隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么(　　)

18、 A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n＝9 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　由分布列的性質(zhì)求參數(shù) 答案　C 解析　由題意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3， ∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10. 2．若隨機變量η的分布列如下： η －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 則當P(η

19、布列的性質(zhì)求參數(shù) 答案　C 解析　由分布列知， P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P(η<2)＝0.8，故1

20、 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點的概率為(　　) A. B. C. D. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　B 解析　由題意知解得b＝. ∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P(ξ＝1)＝. 5．設離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若隨機變量Y＝X－2，則P(Y＝2)等于(　　) A．0.3 B．0.4

21、C．0.6 D．0.7 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　A 解析　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3. 6．拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(X≤4)等于(　　) A. B. C. D. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　A 解析　根據(jù)題意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．拋擲兩枚骰子，按所得的點數(shù)共36個基本事件，而X＝2對應(1,1)，X＝3對應(1,2)，(2,1)，X＝4

22、對應(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝. 7．已知隨機變量ξ只能取三個值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差的取值范圍是(　　) A. B. C．[－3,3] D．[0,1] 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求參數(shù) 答案　B 解析　設隨機變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質(zhì)，得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1， 故a＝.由解得－≤d≤. 二、填空題 8．一批產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的

23、兩倍，三級品為二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量ξ，則P＝________. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　 解析　設二級品有k個，則一級品有2k個，三級品有個，總數(shù)為k個．∴ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ∴P＝P(ξ＝1)＝. 9．由于電腦故障，使得隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20 根據(jù)該表可知X取奇數(shù)值時的概率是________．

24、 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　0.6 解析　由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇數(shù)值時的概率為P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 10．把3枚骰子全部擲出，設出現(xiàn)6點的骰子個數(shù)是X，則有P(X<2)＝________. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　 解析　P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 11．將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數(shù)記為X，則X

25、的分布列是________． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 答案　 X 1 2 3 P 解析　由題意知X＝1,2,3. P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. ∴X的分布列為 X 1 2 3 P 三、解答題 12．設S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S. (1)設“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉事件A包含的基本事件； (2)設ξ＝m2，求ξ的分布列． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　(1)由

26、x2－x－6≤0， 得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0， 所以事件A包含的基本事件為 (－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有 P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝9)＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 4 9 P 13．將一枚骰子擲兩次，第一次擲出的點數(shù)減去第二次擲出的點數(shù)的差為X，求X的分布列． 考點　離散型隨機變量的

27、分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　第一次擲出的點數(shù)與第二次擲出的點數(shù)的差X的可能取值為－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5， 則P(X＝－5)＝， P(X＝－4)＝＝， …， P(X＝5)＝. 故X的分布列為 X －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 P 四、探究與拓展 14．袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中任取4個球，取到1個紅球得1分，取到1個黑球得3分，記得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點

28、　排列、組合知識在分布列中的應用 答案　 解析　取出的4個球中紅球的個數(shù)可能為4,3,2,1，相應的黑球個數(shù)為0,1,2,3，其得分ξ＝4,6,8,10，則P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝＋＝. 15．在一次購物抽獎活動中，假設某10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎．某顧客從此10張獎券中任抽2張，求： (1)該顧客中獎的概率； (2)該顧客獲得的獎品總價值X的分布列，并求出P(5≤X≤25)的值． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用 題點　排列、組合知識在分布列中的應用 解　(1)該顧客中

29、獎的概率P＝1－＝1－＝. (2)X的可能取值為0,10,20,50,60. P(X＝0)＝＝， P(X＝10)＝＝， P(X＝20)＝＝， P(X＝50)＝＝， P(X＝60)＝＝. 故隨機變量X的分布列為 X 0 10 20 50 60 P 所以P(5≤X≤25)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＝＋＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375