甘肅省名校2021-2022學年高三上學期第一次月考 數(shù)學（理）試題【含答案】

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1、2021-2022年度高三學年上學期第一次月考 數(shù)學試卷（理科） 考試時間：120分鐘 滿分：150分 一.選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的） 1.已知全集，集合，，則（ ） A． B． C． D． 2.已知向量則（ ） A． B． C． D．5 3.若，則（ ） A. B. C. 1 D. 4.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等

2、，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（ ） A．錢 B．錢 C．錢 D．錢 5.若數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列的前項和為（ ） A. B. C. D. 6.已知菱形ABCD的邊長為4，點M是線段CD的中點，，則=（ ） A． B． C． D． 7.已知, 則的面積為（ ） A． B． C．

3、 D． 8.如圖是函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|)的部分圖象，則f()＝（ ） A．－ B．－1 C．1 D． 9.將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值是（ ） A. B. C. D. 10.函數(shù)的部分圖象大致為（ ） A．B．C．D． 11.已知數(shù)列的前n項和，若，恒成立，則實數(shù)的最大值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不等實根

4、，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 二．填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13.已知奇函數(shù)滿足，且當時，，則的值為 . 14.已知，，則的值為 . 15.遞增的等比數(shù)列的每一項都是正數(shù)，設(shè)其前項的和為，若 則 . 16.已知是邊長為2的等邊三角形，，當三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為__________． 三．解答題：（本題共6小題，共70分，解答題應寫出文字說明證明過程或演算步驟） 17.（本題滿分10分） 已知向量，，，設(shè) （Ⅰ）若，求函數(shù)的最大值和最小值； （Ⅱ）若，且，求的值.

5、 18.（本題滿分12分） 數(shù)列的前項和為，，，等差數(shù)列的公差大于0.已知，且成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和. 19.（本題滿分12分） 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且． （Ⅰ）求角A的大?。? （Ⅱ）若的面積為，求外接圓面積的最小值． 20.（本題滿分12分） 已知數(shù)列，，滿足，. （Ⅰ）令，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若，證明：. 21.（本題滿分12分） 已知，分別是橢圓的左，右焦點，，當在上且垂直軸時，. （Ⅰ）求的標

6、準方程； （Ⅱ）A為的左頂點，為的上頂點，是上第四象限內(nèi)一點，與軸交于點，與軸交于點. 求證：四邊形的面積是定值. 22.（本題滿分12分） 已知，. （Ⅰ）求在處的切線方程； （Ⅱ）若不等式對任意成立，求的最大整數(shù)解； （Ⅲ）的兩個零點為，且為的唯一極值點，求證：. 2021-2022年度高三學年上學期第一次月考 數(shù)學答案（理科） 1． 選擇題 1～6 CBADCA 7～12 BADACA 二．填空題 13.1 14. 15.364 16. 三．解答題：（本題共6小題，共70分，解答題應寫出文字說明

7、證明過程或演算步驟） 17．解：（Ⅰ）因為向量， 則函數(shù) ， 若，則， 所以當，即時，； 當，即時，. （Ⅱ）由，得， 因為，則，又， 所以， 則， 所以. 18．解：（Ⅰ）因為，所以， 所以， 即， 當時，，所以， 所以是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列， 所以. （Ⅱ）設(shè)公差為，由，得， 因為成等比數(shù)列， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以， 所以. 所以， 因為， 所以， . 19．解：（Ⅰ）因為， 所以， 所以，即． 因為，所以，所以． 因為，所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，則． 因為的面積為，所以，所以． 由余弦定理可得

8、，則． 設(shè)外接圓的半徑為r，則，即， 故外接圓的面積，當且僅當時，等號成立． 即當時，外接圓面積的最小值為． 20．解：（Ⅰ），， 又，兩邊同除以，可得，即， 所以是公差為2的等差數(shù)列. 又，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，， 則，① ，② 由①②，得 ， . 又，，， 即. 21．解：（Ⅰ）由題意知，，，則， 得，又，，解得， 所以的標準方程是. （Ⅱ）由題意知，，設(shè)，，， 因為，，三點共線，則，解得， ，，三點共線，則，解得， ，，， . . 22．解：（Ⅰ）所以定義域為， ，，， 所以切線方程為； （Ⅱ）等價于， ，記，， 所以為上的遞增函數(shù)，且，， 所以，使得，即， 所以在上遞減，在上遞增，且， 所以的最大整數(shù)解為； （Ⅲ）證明：， 得， 當，；，； 所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，而要使有兩個零點，要滿足， 即； 因為，，令，由， ，即， ， 而要證， 只需證，即證，即證， 由，只需證， 令，則， 令，則， 故在上遞增，， 故在上遞增，， ．