高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修21
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1、 第三課 空間向量與立體幾何 [核心速填] 1.空間向量的有關(guān)定理和推論 (1)共線向量定理:對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb. (2)共線向量定理的推論:若,不共線,則P,A,B三點(diǎn)共線的充要條件是=λ+μ,且λ+μ=1. (3)共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得p=xa+yb. (4)共面向量定理的推論:已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,則P,A,B,C四點(diǎn)共面的充要條件是=x+y+z(其中x+y+z=1). (5)空間向量基本定理:如果三
2、個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,其中{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底. 2.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). (1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3), a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), λa=(λa1,λa2,λa3), ab=a1b1+a2b2+a3b3. (2)重要結(jié)論: a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R); a⊥b?ab=0?a1b1+a2b2+a3b3=0. 3.模、夾角和距離公式 (1
3、)設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則 ①|(zhì)a|==; ②cos〈a,b〉==. (2)設(shè)A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),則 dAB=||=. 4.空間向量的結(jié)論與線面位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系 (1)設(shè)直線l的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面α的法向量v=(a2,b2,c2), 則l∥α?u⊥v?uv=0?a1a2+b1b2+c1c2=0,l⊥α?u∥v?u=kv?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k∈R). (2)設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為u,v,則
4、 l∥m?a∥b?a=kb,k∈R; l⊥m?a⊥b?ab=0; l∥α?a⊥u?au=0; l⊥α?a∥u?a=ku,k∈R; α∥β?u∥v?u=kv,k∈R; α⊥β?u⊥v?uv=0. 5.空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2的夾角θ滿足cos θ=|cos〈m1,m2〉|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m,n,則直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ=|cos〈m,n〉|. (3)求二面角的大?。? (ⅰ)如圖31①,AB,CD是二面角αlβ的兩個(gè)半平面α,β內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=
5、〈,〉. 圖31 (ⅱ)如圖31②③,n1,n2分別是二面角αlβ的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉. [體系構(gòu)建] [題型探究] 空間向量的基本概念及運(yùn)算 如圖32,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論: 圖32 ①+++=0; ②+--=0; ③-+-=0; ④=; ⑤=0. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________. [解析] 容易推出-+-=+=0,所以③正確;又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,SA=SB
6、=SC=SD=2,所以=22cos∠ASB,=22cos∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是=,因此④正確,其余三個(gè)都不正確,故正確結(jié)論的序號(hào)是③④. [答案]?、邰? [規(guī)律方法] 1.空間向量的線性運(yùn)算包括加、減及數(shù)乘運(yùn)算,選定空間不共面的三個(gè)向量作為基向量,并用它們表示出目標(biāo)向量,這是用向量法解決立體幾何問(wèn)題的基本要求,解題時(shí)可結(jié)合已知和所求,根據(jù)圖形,利用向量運(yùn)算法則表示所需向量. 2.空間向量的數(shù)量積 (1)空間向量的數(shù)量積的定義表達(dá)式ab=|a||b|cos〈a,b〉及其變式cos〈a,b〉=是兩個(gè)重要公式. (2)空間向量的數(shù)量積的其他變式是解決立體幾何問(wèn)題的重要公式,如
7、a2=|a|2,a在b上的投影=|a|cos θ等. [跟蹤訓(xùn)練] 1.如圖33,已知ABCDA′B′C′D′是平行六面體. 設(shè)M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面BCC′B′對(duì)角線BC′上的分點(diǎn),設(shè)=α+β+γ,則α+β+γ=________. 圖33 [連接BD,則M為BD的中點(diǎn), =+=+=(+)+(+)=(-+)+(+)=++. ∴α=,β=,γ=.∴α+β+γ=.] 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,則x=( ) A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D
8、.(6,6,-6) (2)已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),a∥b,b⊥C. ①求向量a,b,c; ②求a+c與b+c所成角的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342183】 [解析] (1)由b=x-2a得x=4a+2b, 又4a+2b=4(2,3,-4)+2(-4,-3,-2)=(0,6,-20), 所以x=(0,6,-20). [答案] B (2)①∵向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c, ∴,解得 ∴向量a=(-1,1,2),b=(1,-1,-2),c=(3,1,1). ②∵a+c=(2,
9、2,3),b+c=(4,0,-1), ∴(a+c)(b+c)=24+20+3(-1)=5, |a+c|==,|b+c|==, ∴a+c與b+c所成角的余弦值為=. [規(guī)律方法] 熟記空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式 設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), (1)加減運(yùn)算:ab=(x1x2,y1y2,z1z2). (2)數(shù)量積運(yùn)算:ab=x1x2+y1y2+z1z2. (3)向量夾角:cos〈a,b〉=. (4)向量長(zhǎng)度:設(shè)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),則||=. 提醒:在利用坐標(biāo)運(yùn)算公式時(shí)注意先對(duì)向量式子進(jìn)行化簡(jiǎn)再運(yùn)算. [跟蹤訓(xùn)練] 2.在
10、空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),則△ABC一定是( ) A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 C [∵=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),∴||==,||==,||==,∴||2+||2=||2,∴△ABC一定為直角三角形.] 利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題 在四棱錐PABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點(diǎn). (1)求證:BM∥平面PAD; (2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使MN⊥平面PBD?若存在,確定
11、N的位置;若不存在,說(shuō)明理由. [思路探究] (1)證明向量垂直于平面PAD的一個(gè)法向量即可; (2)假設(shè)存在點(diǎn)N,設(shè)出其坐標(biāo),利用⊥,⊥,列方程求其坐標(biāo)即可. [解] 以A為原點(diǎn),以AB,AD,AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1), (1)證明:∵=(0,1,1), 平面PAD的一個(gè)法向量為n=(1,0,0), ∴n=0,即⊥n, 又BM?平面PAD,∴BM∥平面PAD. (2)=(-1,2,0),=(1,0,-2), 假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N,使MN⊥平面PB
12、D. 設(shè)N(0,y,z),則=(-1,y-1,z-1), 從而MN⊥BD,MN⊥PB, ∴即 ∴∴N,∴在平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N,使MN⊥平面PBD. [規(guī)律方法] 利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系 (1)線線平行: 證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量. (2)線線垂直: 證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直. (3)線面平行: ①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直; ②證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量; ③利用共面向量定理,即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)兩不共線向量線性表示. (4)線面垂直: ①證明直線的
13、方向向量與平面的法向量平行; ②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題. (5)面面平行: ①證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線向量); ②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題. (6)面面垂直: ①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直; ②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問(wèn)題. [跟蹤訓(xùn)練] 3.如圖34,長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別在BB1,DD1上,且AM⊥A1B,AN⊥A1D. 圖34 (1)求證:A1C⊥平面AMN. (2)當(dāng)AB=2,AD=2,A1A=3時(shí),問(wèn)在線段AA1上是否存在一點(diǎn)P使得C1P∥平面AMN,若存在,試確定P的位置. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):4634
14、2184】 [解] (1)證明:因?yàn)镃B⊥平面AA1B1B,AM?平面AA1B1B, 所以CB⊥AM,又因?yàn)锳M⊥A1B,A1B∩CB=B, 所以AM⊥平面A1BC, 所以A1C⊥AM, 同理可證A1C⊥AN, 又AM∩AN=A, 所以A1C⊥平面AMN. (2)以C為原點(diǎn),CD所在直線為x軸,CB所在直線為y軸,CC1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 因?yàn)锳B=2,AD=2,A1A=3, 所以C(0,0,0),A1(2,2,3),C1(0,0,3),=(2,2,3), 由(1)知CA1⊥平面AMN, 故平面AMN的一個(gè)法向量為=(2,2,3). 設(shè)線段AA1
15、上存在一點(diǎn)P(2,2,t),使得C1P∥平面AMN,則=(2,2,t-3), 因?yàn)镃1P∥平面AMN, 所以=4+4+3t-9=0, 解得t=.所以P, 所以線段AA1上存在一點(diǎn)P,使得C1P∥平面AMN. 利用空間向量求空間角 如圖35,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90,BC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),CD=BE=,O為BC的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起,得到如圖(2)所示的四棱錐A′BCDE,其中A′O=. (1) (2) 圖35 (1)證明:A′O⊥平面BCDE; (2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值. [思路探究] (1
16、)利用勾股定理可證A′O⊥OD,A′O⊥OE,從而證得A′O⊥平面BCDE;(2)用“三垂線”法作二面角的平面角后求解或用向量法求兩個(gè)平面的法向量的夾角. [解] (1)證明:由題意,得OC=3,AC=3,AD=2. 如圖,連接OD,OE,在△OCD中,由余弦定理,得 OD==. 由翻折不變性,知A′D=2, 所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD. 同理可證A′O⊥OE. 又因?yàn)镺D∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE. (2)如圖,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接A′H. 因?yàn)锳′O⊥平面BCDE,OH⊥CD, 所以A′H⊥CD. 所以∠
17、A′HO為二面角A′CDB的平面角. 結(jié)合圖(1)可知,H為AC的中點(diǎn),故OH=, 從而A′H==. 所以cos∠A′HO==. 所以二面角A′CDB的平面角的余弦值為. [規(guī)律方法] 用向量法求空間角的注意點(diǎn) (1)異面直線所成角:兩異面直線所成角的范圍為0<θ≤90,需找到兩異面直線的方向向量,借助方向向量所成角求解. (2)直線與平面所成的角:要求直線a與平面α所成的角θ,先求這個(gè)平面α的法向量n與直線a的方向向量a夾角的余弦cos〈n,a〉,易知θ=〈n,a〉-或者-〈n,a〉. (3)二面角:如圖36,有兩個(gè)平面α與β,分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與n2,則
18、平面α與β所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ),所以首先應(yīng)判斷二面角是銳角還是鈍角. 圖36 [跟蹤訓(xùn)練] 4.在如圖37所示的圓臺(tái)中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O′的直徑,F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線. 圖37 (1)已知G,H分別為EC,F(xiàn)B的中點(diǎn),求證:GH∥平面ABC. (2)已知EF=FB=AC=2,AB=BC,求二面角FBCA的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342185】 [解] (1)證明:設(shè)CF的中點(diǎn)為I,連接GI,HI. 在△CEF中,因?yàn)辄c(diǎn)G,I分別是CE,CF的中點(diǎn), 所以GI∥EF. 又EF∥OB,所以GI∥OB. 在△CFB
19、中,因?yàn)镠,I分別是FB,CF的中點(diǎn), 所以HI∥BC. 又HI∩GI=I,BC∩OB=B, 所以平面GHI∥平面ABC. 因?yàn)镚H?平面GHI, 所以GH∥平面ABC. (2)連接OO′,則OO′⊥平面ABC. 又AB=BC,且AC是圓O的直徑, 所以BO⊥AC. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由題意得B(0,2,0),C(-2,0,0). 過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M, 所以FM==3, 可得F(0,,3). 故=(-2,-2,0),=(0,-,3). 設(shè)m=(x,y,z)是平面BCF的法向量. 由 可得 可得平面BCF的一個(gè)法向量m=. 因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量n=(0,0,1), 所以cos〈m,n〉==, 所以二面角FBCA的余弦值為. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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