高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程專題強化訓練 新人教A版選修21

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1、 第二章 圓錐曲線與方程 專題強化訓練(二) (建議用時:45分鐘) [基礎達標練] 一、選擇題 1.已知F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當a分別為3和5時,點P的軌跡分別為 (  ) A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線 C.雙曲線的一支和一條射線 D.雙曲線的一支和一條直線 C [依題意,得|F1F2|=10.當a=3時,|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|,可知點P的軌跡為雙曲線的右支;當a=5時,|PF1|-|PF2|=2a=10=|F1F2|,可知點P的軌跡為以F2為端點的一條射線.故選C.] 2.與橢

2、圓9x2+4y2=36有相同焦點,且短軸長為2的橢圓的標準方程為 (  ) A.+=1  B.x2+=1 C.+y2=1 D.+=1 B [橢圓9x2+4y2=36可化為+=1,可知焦點在y軸上,焦點坐標為(0,),故可設所求橢圓方程為+=1(a>b>0),則c=.又2b=2,即b=1,所以a2=b2+c2=6,則所求橢圓的標準方程為x2+=1.] 3.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線互相垂直,則雙曲線的離心率e=(  ) 【導學號:46342122】 A.  B.2   C.   D.3 A [由題意知-=-1,即=1, ∴e2=1+=2,即e=.]

3、 4.直線y=與雙曲線-y2=1交點的個數(shù)是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 B [雙曲線的漸近線方程為y=x,則直線y=與雙曲線的一條漸近線平行,所以直線與雙曲線只有一個交點.] 5.若直線mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有交點,則過點P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點個數(shù)為(  ) A.2 B.1 C.0 D.0或1 A [由題意,得>2,所以m2+n2<4,則-2

4、拋物線的標準方程為________. x2=4y [由題意知e=1,則=1,從而2p=4.拋物線方程為x2=4y.] 7.橢圓的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,短軸的一個端點為A,且三角形F1AF2是頂角為120的等腰三角形,則此橢圓的離心率為________.  [由題意知|F1A|=|F2A|=a,|F1F2|=2C.由余弦定理得4c2=a2+a2-2a2cos 120. 即3a2=4c2,所以e2==. 所以e=.] 8.點P(8,1)平分雙曲線x2-4y2=4的一條弦,則這條弦所在直線的方程是________. 2x-y-15=0 [設弦的兩個端點分別為A(x1,y1),B(x2,

5、y2) 則 ②-①整理得 =,又x1+x2=16,y1+y2=2. 所以=2,即弦所在的直線的斜率為2. 故弦所在的直線方程為2x-y-15=0.] 三、解答題 9.已知橢圓的一個頂點為A(0,-1),焦點在x軸上,右焦點到直線x-y+2=0的距離為3. (1)求橢圓的方程. (2)設橢圓與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點M,N,當|AM|=|AN|時,求m的取值范圍. 【導學號:46342123】 [解] (1)依題意可設橢圓方程為 +y2=1(a>1), 則右焦點F(,0), 由題設,知=3, 解得a2=3,故所求橢圓的方程為+y2=1. (2)

6、設點P為弦MN的中點,由 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 由于直線與橢圓有兩個交點, 所以Δ>0,即m2<3k2+1, ① 所以xP==-, 從而yP=kxP+m=, 所以kAP==-, 又|AM|=|AN|,所以AP⊥MN, 則-=-,即2m=3k2+1, ② 把②代入①得2m>m2,解得00,解得m>, 故所求m的取值范圍是. 10.已知橢圓C經過點A,兩個焦點為(-1,0),(1,0). (1)求橢圓C的方程; (2)E,F(xiàn)

7、是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值. [解] (1)由題意,c=1,設橢圓的方程為+=1. 因為A在橢圓上,所以+=1, 解得b2=3或b2=-(舍去). 所以橢圓的方程為+=1. (2)證明:設直線AE的方程為y=k(x-1)+, 代入+=1, 得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0, 設E(xE,yE),F(xiàn)(xF,yF), 所以xE=,yE=kxE+-k. 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以-k代k,可得 xF=,yF=-kxF++k. 所以直線EF的斜率 kEF

8、===. 即直線EF的斜率為定值,其值為. [能力提升練] 1.設F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k=(  ) A.   B.1    C.    D.2 D [由題意得點P的坐標為(1,2).把點P的坐標代入y=(k>0)得k=12=2,故選D.] 2.已知雙曲線C的兩條漸近線為l1,l2,過右焦點F作FB∥l1且交l2于點B,過點B作BA⊥l2且交l1于點A.若AF⊥x軸,則雙曲線C的離心率為(  ) A. B. C. D.2 B [如圖,延長AF交l2于A1,則易得|OA|=|OA1|.在△OAA1中,F(xiàn)為AA

9、1的中點,而BF∥OA,所以B為OA1的中點. 又AB⊥OA1,于是△OAA1中邊OA1上的高線與中線重合,從而△OAA1為等邊三角形,所以邊OA即直線l1與x軸的夾角為30,所以e==.] 3.與雙曲線-=1有公共焦點,且過點(3,2)的雙曲線的標準方程為________. 【導學號:46342124】 -=1 [法一:設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0).又點(3,2)在雙曲線上,故-=1.又a2+b2=16+4=20,得a2=12,b2=8,則雙曲線的標準方程為-=1. 法二:設雙曲線的標準方程為-=1(-4

10、,則雙曲線的標準方程為-=1.] 4.已知O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線C:y2=4x的焦點,P為C上一點,若|PF|=4,則△POF的面積為________. 2 [設點P(x0,y0),則點P到準線x=-的距離為x0+,由拋物線的定義,得x0+=4,所以x0=3,則|y0|=2,故△POF的面積為2=2.] 5.已知橢圓G:+y2=1.過點(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A,B兩點. (1)求橢圓G的焦點坐標和離心率; (2)將|AB|表示為m的函數(shù),并求|AB|的最大值. [解] (1)由已知得a=2,b=1,所以c==. 所以橢圓G的焦點坐標為(-,0),(,0)

11、, 離心率為e==. (2)由題意知|m|≥1. 當m=1時,切線l的方程為x=1,點A,B的坐標分別為,. 此時|AB|=. 當m=-1時,同理可得|AB|=. 當|m|>1時,設切線l的方程為y=k(x-m). 由 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則 x1+x2=,x1x2=. 又由l與圓x2+y2=1相切,得=1, 即m2k2=k2+1. 所以|AB|= = ==. 由于當m=1時,|AB|=, 所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). 因為|AB|==≤2, 當且僅當m=時,|AB|=2, 所以|AB|的最大值為2. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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